В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если же ~~ — 1р = к Зк = — — или уу — р = —, то совру = я1п1р, вш2(1 = — соя1р, и матрица я 2 2 ' имеет вид (3). Итак, любая ортогональная 2 х 2-матрица представима либо в виде (2) (в этом случае с1010,2 = 1), либо в виде (3) (в этом случае бее Я = — 1). Чтобы дать геометрическую интерпретацию ортогональной 2 х 2-матрицы, рассмотрим линейное пространство И геометрических векторов на плоскости. Пусть 1, 3 — ортонормированный базис в пространстве 1'2.
Перейдем к другому ортонормированнон|у базису 1', Зч с помощью матрицы сл, имеющей вид (2). По формуле (1) выразим 1', Зч через 1, ЗЧ уз. Ортогональные и унитарные матрицы 105 1' = сов уз1+ взпуз3, 3' = взпуз1 — саафан. Сопоставляя их с равенством (5)з можно сделать вывод, что вектор 3' получается в результате поворота вектора 1 на угол зр, а вектор 3' в результате поворота вектора 3 на угол уз и последующей замены полученного вектора на противоположный.
Таким образом, ортогональная матрица вида (3), определитель которой равен -1, является матрицей суперпозипии (последовательного выполнения) двух преобразований -- поворота на угол 1р векторов на плоскости и зеркального отражения векторов относительно оси, определяемой вектором Г. а 2. Дана матрица 1 сову е'ы' януа. Ег"з сз' = вп1 за . езз з сов 1р . ей рз 1 аз ля где Взг, узз, узз -- произвольные вещественные числа и 1р Е ~0, я,г2]. Доказать, что Г --. унитарная матрица и вычислить обратную к ней матрицу Г Л Матрица сг является унитарной, если она обладает характеристическим свойством 1), т.
е. иь;иг = 51 . Ел=1 Проверим выполнение равенств (6). При з = у = 1 получаем (6) 2 Е иыигч = сов уз. е ю . совр. е "" + яп1р е"з . вшуз е Ь=1 = сов зр + яп' уз = 1. Аналогично, при з = у' = 2 имеем з Е иьзйьз = 1. Мы пришли к равенствам, которые, как известно из курса аналитической геометрии, выражают векторы 1' и 3', получающиеся в результате поворота векторов 1 и 3 на угол уз. Итак, ортогональная матрица вида (2), определитель которой равен 1, является матрицей поворота на угол 1р векторов на плоскости.
Если от базиса 1, 3 перейти к базису 1', 3' с помощью матрицы Я, имеющей вид (3), то вместо (5) получим равенства Гл. Ге'. Евклидова и унитарные пространства ~06 Наконец, при 1 = 1, у 2 Е иыйьз = в=ч = 2 находим е "" + вшуо е'"'( — совуо е Ц"'е"' "О) = сов со. в1п;ре'0е' "'~ — вшчр. сансов Цч'е сй = О. = совуо екп .
вшуо Итак, матрица 1л обладает свойством 1) и, следовательно, 1Г . унитарная матрица. Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой ГГ ч = Нт': соь чо е в1п(р е ьрв вш уо е влл — сов,р еце' ""е ты / ' Задачи и упражнения для самостоятельной работы ( 11/15 2/15 — 2/3 ч, О = 2/15 14/15 1/3 2/3 -1/3 2/3 является ортогональной, и вычислите обратную матрицу Я '. 26.
В трехмерном линейном пространстве Вз радиус-векторов с общим началом в точке 0 задана ось 06, проходящая через точку 0 и имеющая единичный направляющий вектор е. Определим цилиндрические координаты радиус-векторов следующим образом: на плоскости Р, проходнщей через точку О и перпендикулярной оси 06., введем полярную систему координат с полюсом в точке 0 и назовем цилиндрическими координатами радиус-вектора ОЛч1 тройку чисел (р,уо,6), где (р,,р) полярные координаты проекции точки М на плоскость Р, 6 проекция вектора Оч11 на ось 06.
Ноноротом на угол а пространства Вз вокруг оси 06 назовем преобразование, при котором каждый радиус-вектор г = 24. Найдите матрицу Я перехода от ортонормированного базиса 1,.3, 1с в пространстве Рз геометрических векторов к базису: а) У,3', — 1с: б) 1', 3', 1с; где векторы Р и 3в получаются соответственно из векторов 1 и 3 поворотом их на угол уо в плоскости этих векторов. Докажите, что су' ортогональная матрица.
Найдите обратную матрицу Я 25. Докажите, что матрица ро. Ортогональные и унитарные матрицы ~07 = ОХ1, иллеющий цилиндрические координаты (р,уо, й), переходит в радиус-вектор г' = ОЛт с цилиндрическими координатами (Р, ьо + о, 6) . Докажите, что: а) г' = гсозо+ ~е,г] а1по+ е(е,г)(1 — сола); б) ортопормированный базис 1, 1, 1с переходит при повороте векторов в пространстве Вз в другой ортонормированный базис. Найдите ллатрицу перехода от первого базиса ко второму, если е = = а1+ 03+ с1с.
27. Пусть Я матрица перехода от ортонормированного базиса 1, ь 1с к ортонормированному базису 1', 1', 1с' и бе1 Я = 1. Докажите, что векторы 1',3', 1с' можно получить соответственно из векторов 1, 1, 1с поворотом их в пространстве на некоторый угол о вокруг некоторой прямой. 28. В квантовой механике используются так называемые матрицы Паули О а =; о: ' = о Докажите, что: а) эти матрицы вместе с единичной матрицей образуют базис в пространстве 2 х 2-матриц с комплексными элементами, б) имеют место равенства оьоз = — озо1 = ттз, озоз = — озоз = = еоы алоэ = — озоь = — итз, егь — 1, й = 1, 2, 3, где 1 единичнаЯ матрица; в) каждан матрица он, й = 1,2,3, унитарная. ГЛАВА У ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 2 1. Линейные операторы в линейном пространстве Основные понятия и теоремы 1.
Определение линейного оператора. Операторозг, действую!цим в линейном пространстве Л (или преобразованиел линейного пространства Л) называется правило А, по которому каждому элементу т из Л ставится в соответствие некоторый (единственный) элемент у из Л. Элемент д называется образом элемента х при действии оператора А, а элемент х --. прообразом элемента у.
Тот факт, что элемент у соответствует элементу х при действии оператора .4, записывается так: д = Ах или у = А(х). (1) Определение. Оператор А, действующий в линейном пространстве Л, называется лииейнььи, если для любых элементов х! и хз из Л и любого числа о выполняются равенства: 1) А(х! + хз) = Ах! + Ах; 2) 4(ах!) = оАх!. 2. Примеры линейных операторов. 1) Нуль-оператор 0 ставит в соответствие каждому элементу х из Л нулевой элемент д: дх = д. 2) Тождественный или единичный оператор 1 каждому элементу х из Л сопоставляет этот же элемент: Тх = х. 3) Оператор подобия с коэффициентом подобия р задается равенством Ах = рх (Чх Е Л).
4) Оператор дифференцирования В, действующий в линейном пространстве Р„ многочленов степени, не превосходящей и, каждо- и му многочлену р(х) = гз аьт, ставит в соответствие его производь и ь=о ную р'(х) = ~ каях~ з: Рр(х) = р'(х) (заметим, что р'(х) является ь=1 элементом того же пространства Р„). 5) Оператор поворота на угол уз, действующий в пространстве рз векторов на плоскости, поворачивает каждый вектор на угол !з, причем поворот происходит против часовой стрелки, если !р > О, и по часовой стрелке, если !р < О. 9 д Линейные операторы а линейном просгпранстее 109 3. Матрица линейного оператора. Пусть А линейный оператор, действуюший в линейном пространстве Л„, и пусть е!, ег, ... ..., е„базис в этом пространстве.
Подействуем оператором А на базисные элементы и разложим образы базисных элементов Ае,, Аеьч ... ..., Ае„по тому же базису; Аер — — а„'е! + а~зев+ ... + а"е„= аале, Р = 1,2,.,чп. (2) а=1 Квадратная матрица и-го порядка А, = (ал) *) называется матрицей линейного оператора А в базисе е!,е!, ...,е . Отметим, что р-й столбец матрицы А, составлен из коэффициентов ал разложения элемента Ае„по базису е!, еьч ..., е„.
Равенства (2) можно записать в матричной форме: (3) Ае = еА,, где, как обычно, использованы обозначения: е = (е! ел ... е„) ". строка, составленная из элементов базиса, Ае = (Ае! Аез ... Ае„) строка из образов базисных элементов, а произведение еА, получается по правилу умноженин матриц: 1 х и-матрица е умножается на п х и- матрицу А,.
Пусть в базисе е!, ев, ..., ен элемент х и его образ у = Ах имеют разложения х = х'е! + хзез + ... + хне„= еХ„и у = у!е! + увел + ... ... + Упе„= е1ю где Х, и 1; столбцы из кооРдинат элементов х и у в данном базисе. Тогда из равенства (1) получаем формулу 1; =.4еХ,, (4) Формула (4) позволяет определить координаты образа у через координаты прообраза х в данном базисе, если известна матрица А, оператора А в этом базисе.
Матрица А, оператора А в базисе е!,ейч....,ен и матрица Ар того же опеРатоРа в базисе 1!, )з,...,уо свнзаны соотношением (5) где С матРица пеРехода от базиса е!,еа, ...,ев к базисУ 1!,19,...,1„: У=еС. *) В отличие от предь!дущих глав мы будем в этой главе несколько иначе обозна!ать номера элементов л!атрид, а именно номер строки будем обозначать верхним, а номер столбца нижннл! индексом (очр элемент 9-9 строки и р-го столбца) и так л е номер координаты элементе будем обозначать верхним индексом. Такие обозначенип играют важную роль при описании тензорных величин (см. гл.
УП) и широко использу!отек в физике. ОО Вл. Г Линейные операторы Определение. Операторы А и В, действующие в линейном пространстве Л, называются равными, если Чх Е В: Ах = Вх. Если операторы А и В равны, то равны и их матрицы в любом базисе. Обратно: если матрицы операторов А и В н каком-нибудь базисе равны, то равны и сами операторы. Поэтому если в линейном пространстве фиксирован базис еы ез, ..., е„„то между операторами, действующими в этом пространстве, и квадратными матрицами п-го порядка имеет место взаимно однозначное соответствие: каждому оператору А соответстнует матрица А, и, обратно, каждой матрице А соответствует (н притом только один) оператор А такой, что его матрица А, в базисе сы сг, ..., с„равна матрице А. 4.
Действия над линейными операторами. Определение. Суммой .4+ В линейных операторов А и В, действующих в линейном пространстве В, называется оператор С, действие которого на любой элемент х из В задается равенством Сх = Ах+ Вх. Сумма двух линейных операторов является линейным оператором, а матрица суммы линейных операторов (в любом базисе) равна сумме матриц этих операторов. О и редел е н и е. Произведением оА линейного оператора А, действующего в линейном пространстве В, на число о называется оператор В, действие которого на любой элемент х из Н задается равенством Вх = и(Ах). Произведение линейного оператора А на число о является линейным оператором, а матрица этого оператора (в любом базисе) равна произведению матрицы оператора А на число о. Теорема 1.
Множество Я всех линейных операторов, действующих в линейнолз пространстве В, с аведеннылш операциями сложения операторов и умножения операгпора на число образует линейное пространство. Пространство В линейных операторов, действующих в линейном пространстве П„, изоморфно пространству Н,", п х п-матр|ли. Поэтому размерности этих пространств совпадают, т. е. г11пзЯ = = с1цп Н„"= и". Определение. Произведением АВ линейных операторов А и В, действующих в линейном пространстве В, называется оператор С, действие которого на любой элемент х из Н задается равенством Сх = А(Вх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
