В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 16
Текст из файла (страница 16)
12. 14. Докажите, что функции 1, зш х, соз х, зш 2х, соз 2х, ..., зш пх, соз пх образуют ортогональный базис линейной оболочки этих функций, если скалярное произведение произвольных элементов 1(:г) и д(х) линейной оболочки определено формулой У д) = /1(х) д(х)Лх 15. Пусть элементы ст, сщ ..., сь получены с помощью процедуры ортогонализации из элементов хы ...,хзо т. е.
по формулам (1), (2). Докажите, что: а) если элементы хы ..., хь линейно независимы, то элементы ет, ег, ..., еь также линейно независимы; Гл. ХУ. Евнлидовы и унипзарные пространства б) если элементы хт, ..., ху линейно зависимы, то в процессе ортогонализации какой-то из элементов еы ез, ..., еь окажется нулевым элементом. 16. Примените процедуру ортогонализации к элементам хы хз, хз евклидова пространства, если: а) х1 = ез — 2ез + 2ез, хз = — ез — ез, тз = 5е1 — Зез — 7ез, гДе е~, .ез, ез " ортонормированный базис евклидова пространства; б) х~ = е1 + ез + ез + е4, хз = Зет + Зез — ез — е4, хз = -2е~ + + без + 8ел, гДе еы ез, ез, е4 . оРтоноРмиРованный базис евклидова пространства. 17.
Разложения элементов хз и хз евклидова пространства 54 по ор- тоноРмиРованцомУ базисУ еы ез, ез, ел имеют виД: а) хз = ет — 2ез + ез + Зе4 хз = 2сз + ез — Зез -~- ел; б) хт = е1 — ез + ез — Зе4, хз = -ае1 + ег + 5ез. 1') Покажите, что элементы хг и хз ортогональны. 2') Найдите все элементы пространства 54, ортогональныо элементам тз и хз. 3') Дополните элезиенты хз и хз до ортогонального базиса пространства 54. 18. Дана система элементов в евклидовом пространстве: а) из упр. 16 а); б) из упр. 16 б); в) из упр. 1 7 а); г) из у пр.
17 б); Д) хт = ез + ез — ез + 2ел + Зез, ха = ет + ег + ез + 2ет + Зез, тЗ = Ез + Е4 — 2ЕЗ, Х4 = -ЕЗ + ЗЕЗ вЂ” Е4 — 5Еси ГДЕ Ез,,..,св ОР- тонормированный базис евклидова пространства Ез. 1') Найдите размерность и базис линейной оболочки Х, данной системы элементов.
2') Постройте ортонормированный базис линейной оболочки Х,. 3') Дополните ортонормированный базис линейной оболочки Х ло ортонормированного базиса всего евклидова пространства. 3 3. Разложение евклидова пространства на прямую сумму взаимно ортогональных подпространств. Альтернатива Фредгольма для квадратной системы линейных уравнений Основные понятия и теоремы 1. Разложение евклидова пространства на прямую сумму взаимно ортогональных подпространств.
Пусть ЛХ надпространство евклидова пространства Е„. Элемент з называется орпеогональнылт надпространству ЛХ (обозначение: г Х ЛХ), если г ХУ. Разложение евклидова пространства 97 ортогоналец каждому элементу из ЛХ. Ортогональным дополнением к надпространству ЛХ называетсн совокупность всех элементов евклидова пространства с".„, ортогональных М. Ортогональное дополнение к подпространству М обозначим ЛХ~. Пусть Х,с и Х,г — два подпространства линейного пространства Л.
О п р е д ел е н и е. Говорят, что пространство Л представляет собой прямую сумму подпространств Х,| и Х,з, если для любого элемента х из пространства Л имеет место единственное представление в виде суммы х = х| + хз, где х| б Х,|, хз с Х.з. Тот факт, что пространство Л является прямой суммой подпространств Вс и Хг, записывают так: Теорема 3.
Пусть М надпространство евклидова пространства с„, ЛХт — ортогональное дополнение к М. Тогда; 1) ортогональное дополнение Мт является подпростринством пространства Е„, 2) Ев = М |й ЛХ~, т. е. для любого элемента х из Е„имеет место единственное представление в виде сул|мы х = у+ г, где у й М, гЕЛХ 3) размерность всего пространства Е„равна сумме размерностей надпространств М и ЛХт, т. е. с1пп И+ с1ппМ с = и; 4) (ЛХ~)~ = М, т. е.
ортогональным дополнением к ортогональному дополнению Мт является само подпространство ЛХ. Если х = у + г, .где у б М, г б ЛХлч то у называется проекцией элемента х на подпространство ЛХ, г перпендикуляром, опущенным из элемента х на надпространство ЛХ, а норма (длина) элемента г называетсн расстоянием элемента х до подпространства ЛХ. Если при этом г ф У, у У= У, то х называешься на лонной к подпространству ЛХ. 2. Альтернатива Фредгольма для системы ть линейных уравнений с п неизвестными.
Рассмотрим систеыы линейных уравнений .4Х = В, Ж АХ = О. (2) .4тХ = О, (3) где А = (а,з) и х п-матрица, Х столбец неизвестных, В столбец правых частей, О . нулевой столбец (Х, В., Π— элементы евклидова пРостРанства Тв), Аг матРица, тРанспониРованнаЯ по отношению к матрице А.
Система (3) называется союзной по отношению к систен|е (2). '1'е о р е м а 4 (альтернатива Фредгольма). Либо система линейных уравнений (2) ил|еет только нулевое решение, и тогда система (1) 4 В Ф. Вузззов в ло Гл. 1'г". Евклидовы и унитарные пространства имеет единсгпвенное решение при любом столбце В, либо система (2) имеет ненулевое решение, и тогда система (1) разрешима в том и только том случае, когда В Л ЛХ, где М пространство решений союзной системьг (3), и при каждом таком столбце В система (1) имеет бесконечно много решений.
Контрольные вопросы и задания 1. Какой элемент называется ортогональным данному подпространству евклидова пространства? 2. Что такое ортогональное дополнение к подпространству ЛХ евклидова пространства? 3. Докажите, что ортогональное дополнение М" к подпространству ЛХ евклидова пространства само является подпространством этого пространства. 4. Что означает запись Х? = Хи Ф Ьэ? Докажите, что ХХ = Хп ГЭ Хг, если: а) ХХ = 1'г, 14 н Хг множества векторов, параллельных соответственно данным пересекающимся прямым; б) Л = Рз, 14 и Хг множества векторов, параллельных соотнетствепно данным прямой и плоскости, причем прямая и плоскость имеют только одну общую точку; в) Й = 'гз, Хи . множество векторов, ортогональных данному ненулевому вектору а, Аз —.- множество векторов, параллельных вектору а.
б. Верна ли символическое равенство Е„ = ЛХ Ф ЛХ ? 6. Как связаны между собой размерности подпространств ЛХ и ЛХ~ евклидова пространства Е„? 7. Что представляет собой ортогональное дополнение к ортогональному дополнению ЛХх? 8. Какой элемент евклилова пространства называется проекпией элемента х на подпространство ЛХ и какой - . перпендикуляром, опущенным нзхнаМ? 9. Дайте определение расстонния элемента х до подпространства ЛХ. 10. Сфорл4улируйте альтернативу Фрсдгольма для неоднородной системы п линейных уравнений с и неизвестными.
Примеры решения задач 1. Элементы х4, хг, х4, х4 евклидова пространства Еь имеют следующие разложения по ортонормированному базису еы...,еь.. х~ — — ег + ез — е4 + 2е;„ хз = е~ + ез — ел — 2ев, хз = е~ + Зез, х4 = = 2сз + е4 + беь. Дла элемента х = е4 + ез + ез + е4 + ев найти: а) элементы у и г в представлении х = у + г, где у Е В = Х,1хы ..., хл), х Е Х,."; б) расстояние элемента х до подпространства Х. а) Воспользуемся результатом примера 3 на с. 92, где был постРоен оРтоноРмиРованный базис д4, ...,дз пРостРанства Вь такой, го. Разложение евклидова пространство 99 что дыде,дз ортонормировапный базис линейной оболочки Х, = = Е(хы ...,х4).
Ясно, что элементы д4,дь образуют базис ортогонального дополнения Х,~. Представим х в виде х = у + ., где 5 е=~ аедьЕХ у = ~ ведь Е Х, Координаты ал можно вычислить по формуле (сьь '9' 2) ал = (х, дь). 4 Воспользуемся этой формулой для нахождения ал и ао: ал = —, ХГ4' ао =1. 4 1 Таких! образом, е = д4 + дз = — (без + 7ез — 2ез + 4ел). ,/14 7 Элемент у находим как разность х и тн у = х — е = — (е~ + 9ез + Зе4 + 7ео).
1 7 б) Расстояние элемента х до подпространства Е равно йе'9: )) )) = — ~36 +зз + 4 з-16 = 7 У 7 2. Дана однородная система линейных уравнений с п неизвестными АХ = О, где А = (а, ) т, х п-матрица, Х нулевой столбец. Столбец Х является элементом евклидова пространства Теэ а множество всех решений системы (обозначим его ЛХ) образует надпространство пространства То. Доказать, что ортогональным дополнением к надпространству ЛХ является линейная оболочка столбцов транспонированной матрицы А~. 45 Запишем строки матрицы А в виде столбцов и обозначим их Ае,..., Ат, т. е.
А, это 1-й столбец трапспонированной матрицы Ат. Введем линейную оболочку Х = ЦАз,..., Ат). Она являет- СЯ ПОДПРОСтРаиотВОМ ПРОСтРаиСтВа Тн. ЛЕВаЯ ЧаетЬ 4-ГО УРаВНЕНИЯ исходной системы есть скалярное произведение (Ан Х). Перепишем систему в виде т равенств: (Аз,Х) =Оз 1=1,...,ят. Очевидно, что любое решение Х системы ортогонально к каждому столбцу А, и, значит, ортогонально к подпространству Х; и обратно, Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
