В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 13
Текст из файла (страница 13)
д 2. В пространстве Рз многочлснов степени, не превосходящей 2, найти все многочлсны Р(х), удовлетворяющие условиям Р(1) = О, Р(2) = 3. Образуют ли эти многочлены надпространство пространства Рзу Г4 Любой многочлен Р(х) из пространства Р можно представить в виде Р(х) = ао + а4х -~- азхл, Тогда Условии Р(Ц = О, Р(2) = 3 запишутсп так: < ао+ от+ аз = О, ао + 2ат + 4аг = 3. Получилась неоднородная система двух уравнений с тремя неизвестными ао, а4, аз. Оца совместна (Ранг основной и РасшиРенной матРиЦ ранен 2) и ее общее решение можно записать в виде ао=-3+2с, а4 =3 — Зс, аз=с., где с произвольнан постоянная.
Поэтому множество многочлснов, удовлетворяющих заданным условиям, дается формулой Р(х) = — 3 + 2с+ (3 — Зс)х + схз. Это множество мцогочлсцов не является подпространством пространства Рз, так как сумма Р(х) двух многочленов Рт(х) и Рз(х) из этого множества не принадлежит данному множеству. В самом дело, Р(2) = Рт(2) + Рз(2) = 3+ 3 = 6, т, е, сумма 1л(х) ие удовлетворяет условию Р(2) = 3. д Задачи и упражнения дяя самостоятельной работы 12. Докажите совместность и найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной своей расширенной матрицей, в которой последний столбец есть столбец свободных членов: 1 3 5 — 1 4 а) (1 1 1 1 1 ) б) 5 1 1 7 2 — 1 — 3 4 1 7 7 9 1 14 23.
Неоднородные системы линейных уравнений 77 в) .; г) (000110); 4 0 4 8 0 0 5 6 — 2 7 4 1 2 23 О 0-7 23 1420 д) 2 1 0 1 10 8; е) 3-4114 О 14 59 3165 4 3 3 1 10 1 1 0 — 1 0 0 0 1 0 1 0 ж) 0 — 1 1 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0 — 1 — 1 0 0 0 2 — 1 — 1 0 0 1 — 1 / 9 21 — 15 5 10) ) ) 12 28 — 20 7 13)' 1 5 7 2 1 5 2 1 5 4 0 1 и) — 3 — 1 — 7 — 6 0 — 1 8 4 20 16 -1 4 10 3 23 20 1 3 (Основные матрицы систем уравнений пунктов а) — ж) этого упражнения взяты из соответствующих пунктов упр. 4.) 13. Докажите, что для совместности системы уравнений АХ = В необходин|о и достаточно, чтобы столбец В принадлежал линейной оболочке столбцов матрицы А.
14. Докажите совместность и найдите общее решение системы уравнений: 8, = — 3, хг +ха = 1, х1+ г2+ гав хг+тз+хе = — 3, хз+ хе+ хе = 2, х,1+ хе = — 1. 2хз — 4хл хз + 2хл хз — 2хл хз -~- 2хл хе+ 2хг 7х1 — 5хз— — Зхг+ 2хг+ 2х, — *,— — Х1 + хг + а) б) 1, 1, 15. Исследуйте на совместность систему уравнений и найдите ее общее решение при тех значениях параметра с, при которых система совместна: =О, = 2. ~Зхг+ 2хг+ хз = — 1, а) ~ 7х1 + 6хг + 5хз = с, 5х1+ 4хз+ Зхз = 2; 2сх1 + хг + хз = О, в) х1 — хг + схз = 1., (с — 6)х1+ 2хз — 4хз = 3' х1+ У2+стз 1 б) ~ хг+схг+ хз = 1, схг+ хг+ хг = 1; х1 + схз +хз — схл г) 2х1 — хз + схз х1 — Зхз — хз + 4хл Гл. 111. Системы линейных уравнений 16.
Докажите, что в каждом решении системы уравнений значения неизвестных хз и хз равны соответственно 1 и О. 17. Докажите, что существует система уравнений, для которой каж- Х= +~~ ' +сз +с' -2 +сд описывают ее общее решение? Приведите пример такой системы уравнений. 18. В пространстве Ра многочленов степени, не превосходящей 5, найдите три линейно независимых многочлена Ру(х), й = 1,2,3, удовлетворяющих условиям Ру(О) = 1, Ре(1) = О, Рр,.(2) = — 5. 2х1+ Зхз + хз + 2ха + хз+ ха+ 2хз — х + хз + хз= 6, ха+ хл = 5, Зхз+5хе+ хе= 8, хз — 8хе + 2хз = — 6 ГЛАВА 1У ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА й 1. Определение евклидова и унитарного пространства Основные понятия, формулы и теоремы 1. Понятие евклидова пространства.
О п р е д ел е н и е. Вещественное линейное пространство В называется вещественным ввклидввыл~ пространством [или просто ввклидввым пространством), если в нем введено скалярное умнолсение. элементов, т. е. указано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам х и у вещественное число [будем обозначать это число (х, у) и называть скалярным произведением элементов х и у), причем указанное правило удовлетворяет для любых х, у, г из Л и любого вещественного числа ст следующим требованиям (они называются аксиомами скалярного произведения). 1'. [х, у) = [у, х) [перестановочность или коммутативность сомножителей).
2' [х+ у, г) = [х, г) + (у, г) [распределительное свойство) 3'. [ах, у) = а(х, у). 4'. [х... х) ) О, если х ~ Ь' и [х, х) = О, если х = У. Произвольное евклидово пространство часто обозначают буквой Ь' или сед индекс и указывает размерность пространства. Примеры евклидовых пространств: а) Гз " линейное пространство геометрических векторов со скалярным произведением (х, у) = [х[ . [у] соз[х, у); б) Т„линейное пространство столбцов с а элементами, в ко- /х ~ (У '1 тором скалярное произведение столбцов х = : и у = хв Ув определено формулой [х: у) = ~ .хюуь; ь=т в) С[а,Ь] линейное пространство непрерывных на [а,Ь] функций, в котором скалярное произведение элементов х[т) и у[1) Гл. 1'и'. Евнлидввы и унитарные пространства 80 определено формулой (х, у) = /х]1)у(1) й.
2. Понятие унитарного пространства. Определение. Комплексное линейное пространство В называется нам лвнсньам вв лидввым пространством или унитарным пространством, если в нем введено скалярное умножение элементов, т. е. указано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам х и у комплексное число (будем обозначать его (х, у) и называть скалярным произведением элементов х и у), причем это правило удовлетворяет для любых х, у, л из Л и любого комплексного числа о следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения): 1) (х,у) = (у,х) *); 2) (т+у,х) = (хсз) + (усз); 3) (ох,у) = о(х,у); 4) (х, х) > О, если х ф д и (х„х) = О, если х = д.
Отметим, что аксиома 1) отличается от соответствующей аксиомы 1' длн вещественного евклидова пространства (в связи с этим см. пример 4 на с. 84). Из аксиом 1) — 3) следует, что (х, оу) = о(х, у) (х, у + ) = (х, у) + (х, а). Произвольное унитарное пространство будем обозначать буквой Е или Е„; индекс и указывает размерность пространства. Примеры унитарных пространств: а) Т„* -- линейное пространство столбцов с п, элементами, в ко( (У '1 тором скалярное произведение столбцов х = : и у = .Гп уп (хь, уь — комплексные числа) определено формулой и (х,у) = ~тьуь, Ь=1 б) С" ~о, 6] — линейное пространство непрерывных на ]а, 6] комплекснозначных функций, в котором скалярное произведение элементов х(1) = о(1) + Ц(Ь) и у(1) = б(1) + т т(1) определено формулой (х у) = /х(1)у11) с11 = /1о ' в+ 1т '1) об+а] плв оу) а) Здесь симеалем Ь ебпаиачаетси число, иемплеисие сппрнасеннее с числа л Ь.
Напомним, чте если Ь = а -~- г~З, те Ь = а — ьн д1. Определение евклидова и унитарного пространства 81 3. Выражение скалярного произведения через координаты элементов. ПУсть е1, ез, ..., ен "-. базис в евклиДовом пРостРанстве В„ п п или унитарном пространстве Е„, и пусть х = ~ хрер, у = ~ у,е,. р.=1 ч=-1 Скалярное произведение элементов х и у в евклидовом пространстве Е имеет вид (х,у) = ~ ~ар хруч, р,ч=1 где арч — — (ер,еч). Из аксиомы 1' следует, что ар = ачр. Скалярное произведение элементов х и у в унитарном пространстве Е„ имеет вид (х, у) = ~ арчхру, р ч=-1 где а „= (ер,еч).
Из аксиомы Ц следует, что а = а 4. Метрические понятия. Неравенство Коши — Буняковского. Скалярное произведение позволяет ввести в евклидовом пространстве метрические понятия длины элемента и угла между элементами. Нврл1ой (длиной) элеменчпа х евклидова пространства (вещественного или комплексного) называется число !!х!! = фх,х). В вещественном евклидовом пространстве углом между ненулевыми элементами х и у называется угол 1р, удовлетворяющий условиям сов ча = ' и О < 1р < к. Корректность такого определения угла (х, у) !!х!! !!у!! вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1. В любом ввклидввом пространстве (вещественном или квмплвкснол1) справедливо неравенство Кончи- Буняковского !(х,у)! < !!х!! !!у!!. Из неравенства (1) следует, что !соэ1р! < 1. В унитарном пространстве понятие угла между элементами не вводится. Неравенство Коши Буняковского в конкретных евклидовых пространствах: а) в вещественном пространстве Т, а н 11З н 11З г.* у. ч (Ка г) (К(нг) 1=1 1=1 Ь=1 б) в комплексном пространстве Т„* а и 1/2 н 1/2 К*.ь (Кр г) (К~ г) Гл. 1'г'. Евнлидовы и унитарные пространства в) в вещественном пространстве С[а, б) ~х[1)ВЯЖИ < (~х [1)е??) .
Цу [1)г??) г) в комплексном пространстве С'[а, б[ Ь ь 1?в ь 1?э ~х[1) у[1) Ф < ( / [х[1) [ 11?) [ / [у[1) [з Ф) Контрольные вопросы и задания К Сформулируйте определение веществспаого евклидова пространства и приведите пример такого простравства. 2. Каким образом можно ввести скалярное умно1кение элементов: в пространстве Т„; в пространстве С[а,б)? 3. Сформулируйте определение унитарного пространства и приведите пример такого пространства.
4. Каким образом можно ввести скалярное умножение элементов: в пространстве Т„: в пространстве С"[а,б)? 5. Докажите следующие свойства скалярного произведения в унитарном пространстве: а) [х,ау) = а[х,у); б) (х,у ж л) = [х, у) ж [х,е). б. Как выражается скалярное произведение элементов евклидова [унитарного) пространства через координаты элементов в произвольном базисе? 7. Как определяются норма [длина) элемента и угол ме1кду ненулевыми элементами евклидова пространства? 8.
Какое неравенство называется неравенством Коши-Буняковского? 9. Запишите выражение для нормы элемента и неравенство Коши-Буняковского в пространствах Т„, Т,*„ С[а,б), С*[а,б). Примеры решения задач 1. Доказать, что для любого элемента х евклидова пространства справедливо равенство [В,х) = О. Л Для любого элемента э: имеем О. т, = В. Используя это равенство и аксиому 3' скалярного произведения, получаем [В,х) = =[О хх)=О [хх)=О.д 2. Доказать, что в пространстве Рэ многочленов степени, не превосходящей 2, скалярное умножение элементов 1[х) и д[х) можно ввести по формуле [У,д) = У[-1) д[-1) + У[О) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
