В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Положим 1'1 =:З1, Е2 — Х2 О12Е1 где а12 = (хьчс1) (ез,е1) '. Такой выбор коэффициента а12 обеспечивает ортогональность е1 и сз. (сз,ез) = О. Далее, положим 2 ЕЗ = ХЗ вЂ” азЗЕ1 — азэез = ХЗ вЂ” ~ азЗЕО 2=1 где а12 = (хз, с1) (с„с1) ', азз = (хз, ез) (сз, сз) . Такой выбор коэффиЦиентов азз и азз обеспечивает оРтогональность ез к элементам сз и сз (пронерьте это).
и так далее. Иа внм шаге (т < й) полагаем т — 1 Сж = Х вЂ” ~~1 аппе„ где ап„= (Х„„Е,) (ЕО Ез) -1 (2) Такой выбор коэффициентов аз,„обеспечивает ортогональность с к элементам ез,...,е„, 1. В результате к шагов описанная проЦЕДУРа ДаЕт ПОПаРНО ОРтОГОНаЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Еы ..., Еь..':1!О1КНО ДОКазать, что эти элелзенты линейно независимы. Применив процедуру ортогонализации к произвольному базису З"1, ..., З'и ПрОСтраиотва Еп (ИЛИ Е ), ПОЛУЧИМ баЗИС ИЗ П ПОПарНО ОртО- гональных элементов с1, ..., е„(ортогональннй базис). Чтобы сделать его ортонормированным, нужно каждый элемент ез умножить на чис- 1 С1 Еп ло —. Полученные н результате элементы дз = —, ...., до =— 'зе,'з 'ЗЕ1)! ' ' $ГЕп~а образуют ортонормированный базис пространства Е„(или Е„).
3. Разложение элементов по ортонормированному бачиСу. ПуотЬ Ез,..пап -- ОртОПОринранаННЫй баЗИС В ЕНКЛИдОВОМ ИЛИ п унитарном пространстве, х = ~ х,ез -- разложение произвольного г=1 элемента х по данному базису. Тогда координаты х, элемента х выражаются формулой хз = (х, ез), 1 = 1, ..., и. Скалярное произведение (х,с,) называется проекцией элелента х на элемент ез.
Таким образом, координаты произвольного элемента Гл. 1'с'. Евнлидсвы и унитпарныв пространства 4. Выражение скалнрного произведения через координаты элементов в ортонормированном базисе. Пусть е», ..., ев -- ортонормиронанный базис в евклидовом пространстве Е, (или унитарном пространстве Е„), х = ~ х;ео у = ~ д, е, - . произвольные элементы з=! этого пространства.
Тогда для скалярного произведения элементов х и у имеют место следующие выражения: в евклидоном пространстве Е„ ( у) = ~ х»у» (3) в унитарном пространстве Е„ (х,д) = ~х;,уо (4) Из (3) и (4) следуют формулы, выражающие норму элемента через его координаты в ортонормированном базисе: в пространстве Е„ »*» = (~с*;>') ': в пространстве Е„ Контрольные вопросы и задания 1. Какие элементы евклидова пространства называются ортогональными? 2. В пространстве С[0, Ц скалярное произведение функций 1(х) и у(х) определено формулой ! (1, у) = /Т(х)у(х) 4х. с ! Ортогонвльны ли функции»»(х) = 1 и Ях) = х — —, 1»(х) и 1»(х) = 2 = осе х, ~з(х) и 1з(х)? 3. Докажите, что если элементы х! и хз ортогоаальны, то элементы с!х! и сгхз также ортоганвльны при любых числах с! и сз.
евклидова (унитарного) пространства в ортонормированном базисе равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные эле- менты. бЯ. Ортонорзсированныб базис 91 4. Докажите, что если ненулевые элементы х и ц евклидова пространства ортогопальпы, то они линейно незанисимы. Верно ли обратное утверждение? 5. Что такое ортогональный базис? Что такое ортонормированный базис? Приведите примеры ортонормировавных базисов. б. Опишите процедуру построения ортонормиронанного базиса на основе произвольного базиса (процедуру ортогонализации).
7. Сколько ортонормированных базисов существует в данном и-мерном енклидовом пространстве? 8. Напишите формулу для координат произвольного элемента в ортонормированиом базисе. 9. Напишите формулу скалярного произведения элементов х и ц через их координаты в ортонормированном базисе евклидова (унитарного) пространства? 10. Как выражается норма произвольного элемента через его координаты в оргонормированном базисе евклидова (унитарного) пространства? Примеры решения задач 1. а) Доказать теорему Пифагора в евклидовом пространстве: если (х, у) = О, то ()х+ дцз = 'цх()з+ ()у((з.
б) Доказать обратную теорему; если ух+ у()з = 'цх()з+ ))у()з, то (х,р) = О. Ь Вычислим квадрат нормы элемента х+ бс 'ух + у уз = (х -~- у, х + у) = (х, х) + 2 (х, у) ф (д, р) = = 'цх()з + 2(х,р) + !)у()~. Отсюда следует: а) если (х,р) = О, то ()х+ Пз = ()х(!з + ()злз; б) обратно, если йх+ уД = 'цхйз + йууз, то (аду) = О. А 2. Пусть элементы еы ..., еь получены в результате процедуры ортогонализации из элементов хы ..., хь по формулагб (1), ~2). Доказать, что линейная оболочка Ьз — — Ь(еы ..., еь) совпадает с линейной оболочкой з а = Ь(хы ..., хн).
Ь Докажем сначала, что Ь| С Ьз. Для этого достаточно показать, что Чт (т = 1,...,Й) е„, Е Хз. По формуле (1) при т = 1 и гп = 2 имеем ез — — хы ез = хз — аш, ез — — хз — ашхы т. е. элементы ез и ез являются линейными комбинациями элементов хы хз. Далее применим метод математической индукции. Пусть элементы еы ..., еш г янляются линейными комбинациями элементов хы ...,.с ы тогда сум~п — 3 ма ~~ а, е, в формуле (1) также явлнется линейной комбинацией з=-1 элементов хы ..., хш з и, следовательно, элемент е,„- -. это линейная Гл. 1'е'.
Евнлидовы и унитарнеее пространства комбинация элементов хг,...,х . Поэтому е„, е Ез (гн = 1,...,1) и, значит, Ь~ С Ез. Докаягем теперь, что Ьз С 11. С этой целью формулу (1) перепишем в виде т — 1 тч =е1, х =е„,+ ~ а, ео т=2,...,14. Отсюда следует, что Чт (т, = 1, ..., Й) х,„является линейной комби- нацией элементов е1, ..., е, т. е. т.,„С А1. Поэтому Аз С Е1. Из соот- ношений Тз с Т1 и Ь1 С Ез следует, что линейные оболочки Ь1 и Аз совпадают. А 3. Элементы хг,ха,хз,хл евклидова пРостРанства Ез имеют следуюшие разложении по ортонормированному базису е1,.,.,еьк т1 = = е1 + ез — ел + 2ев, тз = е1 + ез — ел — 2ев, хз = е1 + Зез, хл = 2ез + +ел + бе;; Ь = Цх1, хз, хз, хл) — — линейнан оболочка данных элементов.
Требуетсн: а) построить ортонормированный базис линейной оболочки Т; б) дополнить этот базис до ортонормированного базиса пространства Ез. с1 а) Из координат элементов х1,...,х4 в данном базисе составим столбцы 1 1 О О Хз= 1 — 1 — 1 2 — 2 1 О 3, Х4= О О и рассмотрим матрицу А из этих столбцов Вычислим ее ранг. Нетрудно проверить, что Х4 = Х1 — 2Лз+Хз. Поэтому последний столбец можно удалить из матрицы А, не изменив ее ранга. Выделенный рамкой минор третьего порядка отличен от нуля, т. е. является базисным минором матрицы. Отсюда следует, что столбцы Х1, Лл, Хз линейно независимы и, значит, элементы х1, ха, хз образуют базис линейной оболочки Ь.
К этому базису применим процедуру ортогонализации. Используя формулу (1), получаем (новые базисные элементы обозначим у1, уа, уз) У1 — — х1, Уэ = хз — ашУ1 Уз = хз а14У1 аззУз. 92. Орзпонорлзированннб базис 93 Коэффициенты а; определяем последовательно по формуле (2). Сна- чала находим азг (при вычислении скалярных произведений пользу- емся формулой (3)): — 1 1 ош = (хг а ) '(уз дз) 1 Итак, дг = хз = ег+ез — оп+ 2ев, дг = хг+ — уз = 7 — 2ез — Зез). Далее, по формуле (2) имеем 4 азз = (хз Уг) ' Ьы Уз) = — — агз = (хз. Уг) ' (Уг, 7' 4 — (2ез + 2ез— 7 2 Уг) 3' Поэтому 4 2 1 дз = хз — — дз — — дг = — ( — сч + 5ез+ 4ез). 7 3 3 Построенные элементы ды дг, дз образуют ортогональный базис в Ь. Разделив каждый элемент на его норму, получим ортонормированный базис в Ь: б) Займемся теперь дополнением базиса дыдг, дз до ортонормированного базиса пространства сз.
С этой целью найденз такие элеменз ты х = ~х,ез пространства Ез, которые ортогональны элементам з=1 ды дг, дз, т. е, удовлетворяют условиям (х, д,) = О, г = 1, 2, 3. Эти условия дают однородную систему линейных уравнений относи- тельно неизвестных координат хы ..., хз элемента т, < хз+ хз — ха+ 2хз = О, 2хз + 2хз — 2хз — Зхз — — О, — х) +5хз+4х4 = О. Так как ранг матрицы системы равен 3, то размерность пространства решений равна 5 — 3 = 2, т. е.
фундаментальная совокупность решений состоит из двух решений. Для нахождения фундаментальной совокупности решений перепишем систему в виде з хз — ха + 2хз = — хы 2хз — 2хз — Зхз = — 2хз, 5хз + 4хз = хы дз Ь!! дг =— дз пдг9 дз =— дз Ь~! 1 = — (ез + ез — ез + 2ез), ъ'7 1 (2ез + 2ез — 2ез — Зез), ъ'21 1 = — ( — ез + 5ез + 4ез). нз42 Гл. 11'. Евнлидовы и унитарные пространства Полагая сначала х1 = 3, хг = О, получаем хз = — 1, хл = 2, хз = О; полагая затем хг — — О, хг — — 1., находим хз = хл = хз = О. Таким образом, фундаментальная совокупность решений состоит из двух 3 О О 1 линейно независимых решений Хл = — 1 и Ль — — О, которым 2 О О О соответствуют линейно независимые элементы х4 = Звг — ез + 2ел и хв = сг, ортогональные к элементам дыда,дз.
Более того, элементы хл и хз ортогональны, так как (хл,хз) = О. Разделим хл на его норму: хл 1 да = = (Зе~ — сз + 2ел), и положим ди = хи = ег. Элсмснты да, ...,ди образуют искомый ортонормированный базис в пространстве Еь. а 4. В пространстве Рг многочлснов степени, не превосходящей 2, скалярное произведение определено формулой (сьь пример 2 на с. 82): (У,д) =У(-1) д(-1)+У(О) д(О)+У(1) д(1). Построить ортонормированный базис в евклидовом пространстве Рг. Ь Возьмем в пространстве Рг какой-нибудь базис, например, р1 —— = 1, Рг = х, Рз = хг, и постРоим оРтогональный базис Уы Уг, Уз, пользуясь формулами (1), (2). Положим У1 = Ры У = Рг — аггуы Уз = Рз — агзуг — а зуг. По формулам (2) имеем аш = (рг,уг) (уыдг), а~з = (рз уа) (умуг) агз —— (рз, уг) (уг, уг) Входящие сюда скалярные произведения находим с помощью заданной формулы скалярного произведения: ~р„д,) =(р„р,) =~-1) 1+О.1+1 1=О, (рз,уг) = ( — 1)г 1+ Ог 1+ 1л 1 = 2, (Уыуг) =1 1+1 1+1 1=3.
2 Отсюда следует, что агг = О и поэтому уг = рг = х. Кроме того, а1з = —. 3 Далее, имеем (Рз, Уг) = ( — 1) ( — 1) + Ог О+ 1г 1 = О и, следователь- 2 . 2 но, агз = О и дз = рз — — рг = х г 3 3 Таким образом, построен ортогональный базис: г 2 уг=1, уг=х, уз=х 3 дя. Ортвнврлтирвванная оазис Нормируя элементы ут, уз, уз (т. е. доля каждый из цих на свою норму), получаем ортопормированный оазис ем ею ез.
Так как (ум уз) = 2 = 3; (уг,уз) = 2 (уз,уз) = —, то д, 1 уз х уз 5 г Г2 ет = — = —, ег = — '= —, аз = — = з(-х — з1 —. А ~~у,~~ Я: ~(у,~(,2 (уз~~ Ч2 ~ 3 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 11. Ненулевые элементы хт, ..., хь евклидова (унитарного) пространства попарно ортогональпы, т. е, (х„х,) = 0 при т ф тй Докажите, что элементы хы ..., хь линейно независимы.
12. В линейном пространстве Рг многочленов степени, пе превосходящей 2, скалярное произведение элементов 1(х) и д(х) задано формулой 1 (1,д) = / 1(х)д(х)дх. Постройте ортонормированный базис пространства Рг с помощью процедуры ортогонализации, исходя из базиса 1,х,хг. 13.
Многочлены, определенные формулами ,1ь Ро(х) = 1 1ь(х) ь ' ь (( 1 называются лтнвгвчленалги Лежандра (множитель „выбран 2" И так, что выполняется раневство Рь(1) = 1) . Докажите, что много- члены Лежандра Ро(х), Рт(х), ..., Р„,(х) образуют ортогональный базис в свклидовом пространстве Р„многочлсцов степени, не превосходящей и, если скалярное произведение введено по формуле из упр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
