В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Найдите матрицу- обратного перехода. 4. Напишите формулы преобразования координат элемента при преобразовании базиса. Гл, Гй Линейные пространства 55 Итак, х = — 2ео + Зео. а А '=— а затем находим произведение А ~В: 2 1 1 1 2 2 7/2 3. Найти разложение элемента р(х) = хз + х+ 1 пространства Рз по базисУ Рв —— 1, Ро — — х + а, Р = (х+ а)з, Рз — — (х + а)з.
Го Поскольку (х + а)з = аз + 2ах + хз, (х+ а)з = а + За х+ Захе + хз, то матРица А пеРехода от базиса 1, х, ха о хт к базисУ Ро, Р„Ра, Рз име- ет вид .4= '(о о Находим обратную матрицу: =(о о 1 1 и составляем столбец Хо = 1 аз ат 2а Заз 1 За О 1 аз аз — 2а Заз 1 — За О 1 из координат элемента р(х) = хз + х + 1 в базисе 1, х, хз, хз. По формуле (3) находим столбец Х 2.
В пРостРанстве Нз Даны тРи базиса: еы ео; Ги 7а и дм дз, пРичем то = е1 — ез,,6 = ео + ей о д1 = Зео + ез, дз = 5ес + 2ез. Найти матрицу перехода от базиса (ы 7а к базису ды дз. По опРеделению матРица пеРехода от базиса еы ез к базисУ )ы 7а 11 есть матрица А = 1 1), а матрица перехода от базиса еиез к оо 3 51 базису дыдо есть матрица В = ~1 2(. По формуле (Ц имеем й" = = еА, д = еВ. Из первого равенства находим е = 7" А '. Подставляя во второе равенство, получаем д = 7 А 'В. Таким обРазом, матРицей пеРехода от базиса 7м (з к базисУ ды де является матрица А 'В.
Вычисляем матрицу А ': 4 б. Преобразование базиса и координат координат элемента рЯ в базисе ро,рырярз.' 1 — а — а з 1+ За 2 1 Следовательно, искомое разложение имеет вид р(х) = (1 — а, — а )ро'1х) + 11 + За )рт(х) — Заро(х) + 1 . рз(х), или х + х+ 1 = 11 — а — а' ) + (1 + Заз)(х + а) — За1х + а) + (х + а)' . ( сов у в1тз у япу сову /' 14) Вычисляем матрицу А т(у) обратного перехода: ( сову в1пу ') 'т — япу сову/' Отметим, что обратный переход от базиса Г,д' к базису т, ) есть поворот базиса на угол ( — у), и поэтому матрицу этого перехода можно найти по формуле 14), заменив у на ( — у): А '(у) = А( — у) = . д сову ьшуч) — япу сову/' Задачи и упражнения для самостоятельной работы 45. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если; а) поменять местами два элемента первого базиса; б) поменять мостами два элемента второго базиса; в) записать элементы обоих базисов в обратном порядке".
Отметим, что это представление для р(х) можно получить с помощью формулы Тейлора, разложив функцию р1х) по степеням х+ а. а 4. Пусть 1,1 координатные векторы прямоугольной системы координат на плоскости. Найти матрицу перехода от базиса т, 1 к базису 1~, з~, повернутому на угол у по отношению к базису 1, з. Найти матрицу обратного перехода от базиса Р,д' к базису 1,т.
Ь Координаты векторов 1', о в базисе т, 1 имеют вид Г = 1сов у, яп о), 1' = 1 — вшу,сову) (объясните, почему). Пользуясь определением, составляем матрицу А(у) перехода от базиса Кд к базису Г,дй Гж П. Линейные нрастранетеа 46. Даны кооРдинаты элементов 1г, Гз,1з,х в базисе ег,ез,сз пРостранства Нз. Докажите, что элементы Гы 6, 5 образуют базис пространства Вз и найдите координаты элемента т в этом базисе, если столбцы Гн координат элементов 1н (й = 1,2,3) и столбец Х координат элемента х в базисе ем еаоел имеют вид: а) Гг = 1 , Гз = 0 , Гз = 0 , Х = 1 б)Г;= 1, Га — — 1, Гз — — 2, Х= 9 в)Г1= -1, Гз= 1, Гз= 1, Х= 1 1 47.
Найдите координаты элемента Х = 1 в базисе 1 линейного пространства Тл. 48. В линейном пространстве Тз даны два базиса: Найдите: а) матрицу перехода от базиса 1г, Гз, гз к базису дг,дз,дз,. б) матрицу обратного перехода; н) координаты элементов г1 и дз в каждом из базисов: г) координаты элемента д = 2йг + ЗЬ вЂ” Хз в базисе ды да,дз. 49. Найдите матрицу перехода от базиса 1, х, х~, ...,х" пространства Р„ к базису 1, т.
— а.(х — а)з,...,(х — а)". 50. Разложите элемент хл †.г + 2 пРостРанства Ре по базисУ 1, х — 3, (х — 3), (х — 3)з, (х — 3) . Х 7. Изоморфизл» линейнь»х пространств 51. Даны векторы Х» = 1+ 2 + 1с, Ха = » — 2 + 1с, 1з = 21 + 31», К» — — 1 — 2+ 1», Кг = 2» — 2 — 1», Кз = 3» — 21+ 1», х = 5» — 41», где 1,1, 1» — координатные векторы прямоугольной системы координат в пространстве. Найдите координаты вектора х в базисах Х»,Хз,Хз и я»,цэ,цз, а также матрицы перехода от базиса ХыХз, Хз к базису я», аз, аз и обратного перехода. 52. Элемент Х[х) = 3 — е* + 4ез' + 2сзз линейной оболочки Х[2,с*— — е-",ез' + еэз,ез — 1) разложите по базису Х» — — 1+ еи + сз'+ с" Хз = е' + ез' + с" Хз = сзе + е" Хл = сзе.
53. Пусть 1, »,1» координатные векторы прямоугольной системы координат в пространстве. Найдите матрицу перехода от базиса 1, ».,1» к базису 1', »',1»', если; а)»',2', 1сы — — векторы, симметричные векторам», 1, 1» относитель„х — 1 уч-2 но прямой 1 — 2 2' б) Г,~' проекции векторов 1,1 на плоскость л + у + в — 5 = О, а 1»' = [1' х 2') векторное произведение векторов Г и 2' (проекцией вектора АВ на плоскость я называется вектор А'В', где А' и В' проекции точек А и В на плоскость л); в) 1',1',1»» -- векторы, полученные поворотом векторов 1,11» на 120' вокруг прямой х = у = е. 2 7.
Изоморфнзм линейных пространств Основные понятия и теоремы Говорят, что ме»кду элементами мноя»еств ЛХ и Х»Х' установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу х из множества Л! поставлен в соответствие определенный элемент х' из множества ЛХ', так что при этом каждый элемент х' из ЛХ' оказывается сопоставленным одному элементу х из ЛХ. Сопоставление элементу х элемента х' будем обозначать так: х <-~х'. Элемент х' называетсн образом элемента х, а элемент х прообразол» элемента х'.
Определение. Два линейных пространства В и Х»' (»»ад одним и тем же числовым полем) называются изол»ор»рнь»л»и, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, удовлетворяющее следующим двум условиям. Гл. П. Линейные пространства 60 1'. Сумме прообразов х и у соответствует сумма их образов х' и у', т. е. если х «-» х' и у «-» у'., то х + у «-» х' + у'. 2'. Произведению прообраза х на число и соответствует произведение образа х' элемента х на это число, т. е.
если х «-» х', то ох «-» ох'. Взаимно однозначное соответствие элементов линейных пространств, удовлетворяющее условинм 1' и 2', называется иэоморфиэмом линейных пространств. Обозначение: Л вЂ” Л'. От»летим, что если Л Л', то 0 «+ 0', где 0 и 0' - нулевые элеьленты пространств Л и Л'. Теорема 11. Два линейньлх пространства?над однилл и тем лле числоеьлм тлолем) одиникоеой размерности иэоморфньл, и, обратно, деа изоморфных линейных пространства имеют одинаковые размерности. Например, пространство Нт матриц с размерами т х и изоморфно пространству Р „ , многочленов степени, не превосходящей нл х и, — 1, так как размерность каждого из этих пространств равна т .и. Контрольные вопросы и задания 1.
Что означают слова "ме»кду элементами двух множеств установлено взаимно однозначное соответствие"? 2. Какие линейные пространства называются изоморфными? 3. Может ли образом (прообразоьл) нулевого элемента быть ненулевой элемент? 4. Могут ли линейное пространство и его надпространство, не совпадающее со всем пространством, быть изоморфными? 5. Изоморфны ли линейное пространство Тэ столбцов с тремя элементамн и линейное пространство Рл многочленов степени не выше 3? Ответ обоснуйте. б. Приведите примеры трех линейных пространств,изоморфпых линейному пространству Т„ столбцов с ц элементами. Примеры решения задач 1.
Доказать, что если Л Л'., то 0 «-» 0'., где 0 и 0' . нулевые элементы пространств Л и Л'. Пусть Л Л', х «-»х'. В силу условия 2' изоморфизма линейных пространств элементу О х из пространства Л сопоставляетсп элемент О . х' из Л'. Так как О х = 0 и О х' = 0', то, следовательно, элементу 0 сопоставляется элемент 0'. А 2. Доказать, что если линейные пространства Л и Л' изоморфны, то линейно независимым элементам хл, ..., хт пространства Л соответствуют линейно независимые элементы х'„..., х' пространства Л'.
р 7. Озоморфизл~ линейных пространств 61 Предположим, что элементы хы ..., х линейно независимы, а их образы х'„..., х, 'линейно зависимы. Тогда существует линейная комбинация элеллентов х', ..., х'„„равная нулевому элементу 0', не все коэффициенты которой равны нулю. В силу изоморфизма пространств В и В' эта линейная комбинация является образом линейной комбинации элементов ты ...,х с теми же коэффициентами. С друтой стороны, элемент 0' является образом нулевого элемента В пространства Л. Следовательно, указанная линейная комбинация элементов хы ..., хсо не все коэффициенты которой равны нулю, равна нулевому элементу В, и потому элементы хы ...,х,„линейно зависимы, что противоречит условию. Полученное противоречие доказывает, что элементы х',, ...., хт также линейно независимы.
А 3. Указать соответствие между элементами линейных пространств Тз и Рг, являющееся изоморфизмом. Рассмотрим базис ег = О, ег = 1, ез = О в прост- Ранстве Тз и базис Ро(х) = 1, 1д(х) = т, Рг(х) = хг в пРост/с 'у ранстве Р . Элемент р = сг пространства Тз в базисе сы ег, ез сз имеет координаты сы сг, сз, так как р = с,е, + сгег + свею Поставим элементу р пространства Тз в соответствие элемент у' пространства Рг, имеющий в базисе ро,рырг те же координаты сп, ог, сз, т.
е. У' есть многочлен сг + сгх+ сзхг. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждый элемент однозначно определяется своими координатами в данном базисе. При этом соответствии сумме прообразов соответствует сумма их образов, так как при сложении элементов их координаты складываются.
Аналогично, для любого числа о элементу о у пространства Тз соответствует элемент о. у' пространства Рг. Следовательно, указанное соответствие есть изоморфизм. А 4. Какие пространства Н„матриц с размерами гп х гз изоморфны пространству Тв столбцов с шестью элементами? Размерности пространств Нт и Тв равны соответственно тп и 6. Из теоремы 11 следует, что пространства Н„ и Тв изоморфны тогда и только тогда, когда гп . и, = 6. Следовательно, пространства Нв,Но,Нзг,Нз изоморфны пространству То. Отметим, что пространство Нв это пространство матриц с размерами 6 х 1, т.
е, это само пространство Тс. Разумеется, любое линейное пространство изоморфно самому себе, д Гл, П. Линейные пространства Задачи и упражнения для самостоятельной работы 54. Докажите, что если Л Л' и элементы хе,.т ат пространства Л линейно зависимы, то их образы л', ..., х',„также линейно зависиллы. 55. Докажите теорему 11: если с1цп Л = Дцп Л', то Л Л', и, обратно, если Л Л', то с1ппЛ = с1ппЛ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
