В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

а произведение элемента х па число о равно ьд (о . агой х); 5. Докажите, что для любых элементов х и у линейного пространства разность х — у существует и единственна. Л 2. Подпрострвнства линейного пространства Основные понятия и теоремы Определение. Подмножество М элементов линейного пространства В называется пвдпрвстранством пространства Л, если выполнены два условия: 1) Чх и у из М сумма х+ у есть элемент из ЛХ; 2) Чх Е ЛТ и чо (о число) произведение о х есть элемент из Л1. Теорема 1. Любое надпространство само является линейным пространством. Рассмотрим важный пример подпространства линейного пространства П.

Пусть хыхз,...,х, элементы из В. Линейной комбинацией этих элементов с коэффициентами сы ..., сн называется сумма ~срх . Линейной оболочкой элементов хм та, ...,хе называется р=1 множество всевозможных линейных комбинаций этих элементов. Обозначаетсн линейная оболочка так: Е(хмхз,...,х,). Совокуп- ХМ. Надпространства линейного простронсгпеа ность элементов хы хз, ..., х„называется порождающей систелгой линейной оболочки Х(хм хз, ..., хн).

Теорема 2. Линейная оболочка Х(х,,хг,...,х„) является подпространсгпоолг линейного пространства Л. Пусть ЛХ подпространство линейного пространства Л и элемент хо из Л не принадлежит ДХ. Рассмотрим множество Г всех элементов р С Л, представимых в виде р = хо + х, где з: С ДХ. Множество Г называется гиперплоскостью, полученной в результате сдвига подпространства М вдоль элемента хо. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение подпространства линейного пространства. 2. Является ли множество рациональных чисел подпространством линейного пространства вещественных чисел над полем вещественных чисел? 3.

Является ли многкество рациональных чисел подпространством линейного пространства нещестненных чисел над полем рациональных чисел? 4. Прямая 1 параллельна плоскости Р, 1'г н 'гг множества всех векторов, параллельных соответственно прямой? и плоскости Р. Докажите, что 13 †. подпространство линейного пространства 1сг. 5. Является ли подпространством линейного пространства В само Л? 6.

Докажите, что множество, содержащее только нулевой элемент В, является подпространством, причем наименьшим среди подпространств линейного пространства Л (т. е. подпространством, содержащимся в любом другом подпространстве пространства В). 7. Сформулируйте определение линейной оболочки. 8. Какое линейное пространство образует линейная оболочка, порождаемая системой функций Хс(х) = 1, Хг(х) = х, ..., Х'„(х) = х'? 9. Подпространством какого линейного пространства является линейная оболочка Х(хихг), гле: Х вЂ” 11 Х 3'1 а) х| =соей хг =жпй б) хг = 1, хг = 0 2 1 в)х'= О 1, тг= г) хг = — г-~-1, хг =1 — 1Д где 1, 1 координатные векторы. Какова геометрическая интерпретация последней линейной оболочки'! 10. Докажите, что: а) линейная оболочка не изменится, если в порождающей системе поменять местами какие-либо ее элементы: б) Х (х, Зх) = Х (х).

Примеры решения задач 1. Доказать, что все векторы, параллельные данной прямой, образуют подпространство линейного пространства векторов ьгз. Ь Если векторы х и у параллельны данной прямой, то их сумма Гл. П. Линейные нреетранетеа зо х+у и вектор гех (и любое число) также параллельны этой прямой. Таким образом, для данного множества векторов выполнены оба условия, входящие в определение подпространства, и поэтому векторы, параллельные данной прямой, образуют подпространство линейного пространства 1з.а 2. Дана однородная система т линейных уравнений си неизвестными хыхг,"",хн аыхг + а1гхг + ...

+ агнхн = О нг,х, + аггхг+ ... + агах =О аеих~+ангхг+" +птаха =О Решение системы будем записывать в ниде столбца Х с элементами хы хг, ..., х,, Столбец Х есть элемент линейного пространства Т„ столбцов с п, элементами. Доказать, что множество всех решений данной системы является подпространством пространства Т„.

гЛ Запишем данную систему в матричном виде: АХ = О, где А = = (ао) т х и-гиатрица коэффициентов системы,. О нулевой столбец. Если Х1 и Хг -"- решения системы, т. е. АЛ, = О, .г, = 1,2, то Х1+ Хг и о. Хг (ге число) также ее решения, поскольку А(Хг + Лг) = АХг + АХг = О+ О = О и А(гиХг) = оАХ1 — — ееО = О. Следовательно, для множества решений данной системы выполнены оба условия, фигурирующих в определении подпространства, и поэтому это множество решений янляется подпространством линейного пространства Тн. а 3.

Доказать, что любое подпространство содержит нулевой элемент д. По определению подпространства М, если х б ЛХ, то и ох б ЛХ, где о любое число. Положин о = О, получим О. х = 9 Е ЛХ. д 4. Доказать, что множество М всех функций Х(х), удовлетвориющих условию Х( — 2) = О, является подпространством линейного пространства функций, определенных на числовой прямой. Проверим выполнение двух условий, определяющих подпространсгво.

Если Х(х) и д(х) Е М, то Х( — 2) = О, д( — 2) = О, и поэгому Х( — 2) + д( — 2) = О и гл Х( — 2) = О (се любое число). Следовательно, Х(х) + д(х) и о. Х(х) принадлежат множеству М, и поэтому ЛХ подпространстно. а 5. Доказать, что гиперплоскость це является подпространстном. Пусть гиперплоскость Г получена в результате сдвига подпространства ЛХ вдоль элемента ха. Согласно определению гиперплоскости ха ф ЛХ. Предположим, что Г подпространство. Тогда д Е Г (см. задачу 3), а значит, д можно представить в виде д = хо + х, где х Е М. Отсюда следует,что хо = — х, и поэтому ха Е ЛХ.

Таким образом, полу- ГМ. Надпространства линейного пространства чили противоречие с условием хо ф ЛХ. Следовательно, 0 ф Г, и потому Г нс является подпрострацством (см. задачу 3). д 6. Доказать, что Т,(хы хл,...., т,) = л.(хг + хз,хг,..., хт,), т. е. прибавление к элементу порождающей системы другого ее элемента нс изменяет линейной оболочки.

Чтобы доказать, что два множества совпадают, нужно показать, что каждый элемент первого множества является элементом второго и, обратно, каждый элемент второго множестна является элементом перного множества. Пусть х Е 1,(хч, хг, ..., х,„), т. е. х = ~~ срхр. Элер=1 мент х можно представить в виде линейной комбинации элементов порождающей системы второй оболочки: т х = сг (хг + хг) + (сг — сг )хг + ~ с,х,.

р.= 3 Итак, х б л(хт+хз,хз,...,х ). Обратно; каждый элемент второй оболочки есть линейная комбинация элементов хг,хг, ...,х, т. е, принадлежит первой оболочке. Таким образом, Ь(хы хг, ..., х ) = Д(хт Ч- хг, хз, ", х ). д Задачи н упражнения для самостоятельной работы 6. Докажите, что любое подпространство само являетсн линейным пространством.

7. Выясните, является ли подпространством линейного пространства, указанного в скобках (обозначения те же, что и в Ч 1): а) множество векторов, параллельных данной плоскости (1гз); б) множество столбцов с п элементами, сумма которых равна нулю (7'„); в) множество многочленов Р(х) степени, не превосходящей п, удовлетворяющих условию Р(0) = и, где а - данное число (Р(п)); г) множество симметричных квадратных матриц п-го порядка (Н„"); д) множество векторов х, для которых скалярное произведение (х,хо) = а, где хо данный вектор, а данное число (Ьзз); е) множество векторов х, для которых векторное произведение (х,хо) = а, где хо и а - данные векторы (1'з); ж) множество матриц, удовлетворяющих условию АХ = ХА., где А — данная п х и-матрица (Н„"); з) множество многочленов Р(х) степени, не превосходящей п, удовлетворяющих условию Р(1) = Р( — 1) (Рп).

Гл. П. Линейные проегпранотеа 32 8. Какова геометрическая интерпретация подпространства векторов, удовлетворяющих условию (хе --- данный ненулевой вектор); а) (х,хе) =0; б) ~х,хо) =й? 9. Докажите, что линейная оболочка Цхч,хю ...,х„,) не изменится при следующих действиях с элементами порождающей системы; а) умножение элемента на число а ф 0; б) прибавление к элементу линейной комбинации других элементов порождающей системы; в) вычеркивание из порождающей системы нулевого элемента (если он там есть); г) вычеркивание элемента, являющегося линейной комбинацией других элементов порождающей системы. 10.

Докажите истинность равенств: Е(х3 ) хз) = Ь(ха) х1)~ Ь(хг — х2, хг + х2) = 1 (х1, хз); Цх,2х,Зх,В) = 1Дх); ЦЗхг -ь 2хз,х1 — бхз) = зДхыхз): Ц1,хз — 2х,х+хз) =Ц1,х,хз); г(1 езе 2езе + езл 2 зх + осе 2ге + З) г(1 ее езр езе) 11. Дайте геометрическую интерпретацию линейной оболочки в пространстве рз геометрических векторов, порождающая система которой состоит из: а) одного ненулевого всктора; б) двух коллицеарных векторов; в) двух неколлинсарных векторов; г) трех компланарных векторов; д) трех некомпланарных векторов.

12. Докажите, что линейная оболочка столбцов матрицы А содержит линейную оболочку столбцов матрицы А В. 'З 3. Линейная зависимость н независимость элементов линейного пространства Основные понятия и теоремы О п р е д ел е н и е. Элементы хы хз, ..., х„линейного пространства П называются линейно заеисилыжи, если существует их линейная ком)и бинапия ~~ срхр, равная нулевому элементу, в которой не все коэфр=1 фициенты с равны нулю. Элементы тм т, ..., хе называются линейно т независимыми, если равенство ~ ~срхр — — 0 имеет место только тогда, р.=1 43.

Линейная зависимость и независимость элементов 33 когда с„= О, р = 1,2, ...,и. Теорема 3. з?ззя того чтобы элементы хмх, ...,х„были линейно зависимы, необход мо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих элементов был линейной колзбинаиией остальных. Совокупность элементов, каждый их которых есть элемент системы хмхз, ...,х„, называетса подсистемой этой системы.

Теорема 4, а) Если элементьь подсистемы линейно зависимы, то элементы всей системы также линейно зависимы. б) Если элементы системы линейно независимы, то элементы любой ее подсистелзы также линейно независимы. Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение линейной зависимости и линейной независимости элементов линейного пространства. 2. Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависимости элементов.

3. Являются ли линейно зависимыми: а) два неколлинеарных вектора; б) три аомпланарных вектора; в) три некомпланарных вектора; г) функции вшх и сов х на сегменте ~0, к,?2); д) функции 1з = 2в1пз х, 1 = 1, ?з = Зсовз х на сегмеате ~а,б)? Ответы обоснуйте. 4. Явлнются ли линейно зависимыми элементы линейного пространства Рй а) х и йх; б) хихз, ...,х,б; в) и, если?? = Тз? Ответы обоснуйте. Примеры решения задач 1. Доказать теорему 4. а) Пусть элементы некоторой подсистемы линейно зависимы. Рассмотрим линейную комбинацию этих элементов, равнуьо нулевому элементу д, в которой не все коэффициенты равны нулю.

К этой линейной комбинации прибавим линейную комбинацию остальных элементов системы с нулевыми коэффициентами. Получим вновь нулевой элемент д. Таким образом, существует линейная комбинация элементов системы, ранная В, в которой не все коэффициенты равны нулю. Это и означает, что элементы всей системы линейно зависимы. б) Пусть элементы системы линейно независимы. Предположим, что элементы какой-то подсистемы линейно зависимы. Но тогда согласно доказанному в и. а) элементы всей системы также линейно Э В Чь Втчхзььяяе Гл. П.

Характеристики

Список файлов книги