В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 3
Текст из файла (страница 3)
17). Гл. 1. Матрицы и определители 1б Контрольные вопросы и задания 18 Примеры решения задач Ы способ. По правилу треугольников 7? = 1 5 ( — Ц+ ( — 2) . 7 х х( — 3) + 2 4 Π— О 5 ( — 3) — ( — 2) 2 ( — 1) — 1 4 7 = 5. 2. 5. 6. 7. 8. 10.
11. 12. 13. 14. 1з. 16. 17. Объясните, что такое беспорядок в данной перестановке чисел 1, 2, ..., а. Чему равно число беспорядков в перестановке 3,2,5,4,1? Объясните, что такое определитель и-го порядка. Из скольких слагае- мых он состоит? Назовите элементы, расположенные на главной диагонали, и элемен- ты, расположенные на побочной диагонали, в определителе матрицы (а 4)4х4. Чему равен йсг(аида)„х, где Бо символ Кренекера? Треугольной жатрицей называется матрица, у которой все элементы, стонщие по одну сторону от главной или побочной диагонали, равны нулю. Чему равен определитель треугольвой матрицы? Известно, что йеь А = 1.
Чему равен йе1 Ат? Опираясь на свойство 2' определителей, докажите свойство 3'. Известно, что А 5 х 5-матрица и йес А = 3. Чему равен йеь(2А)? Изменится ли определитель, если к элементам первого столбца приба- вить соответствующие элементы всех остальных столбцов". Объисните, что такое алгебраическое дополнение данного элемента аи определителя.
41ему равно алгебраическое дополнение элемента агг мат- рицы (аа ) эх г? Объясните, что такое минор данного элемента аа матрицы. Чему равен минор элемента аш матрицы (ао)гхг? Как связаны между собой алгебраическое дополнение и лгинор данного элемента? Что значит разложить определитель по элементам данного столбца (строки)? Какая матрица называется невырожденпой'? Приведите пример невы- рожденной матрицы.
Из трех матриц А,В и С я;го порядка одна вырожденная. Чему равен йеь(АВС)? Как связаны невырожденность матрицы и существование у нее обрат- ной матрицы'1 Напишите формулу для вычисления элементов обратной матрицы. Со- ?'1 О') ставьте обратную матрицу для матрицы 1 2 3 2 1 3 3 2 1 1 2 — 3 1.
Вычислить определитель Х? = -2 5 4 О 7 — 1 4е. Определители >7 П способ. Разложим определитель Р по элементам первого столбца, а для нахождения алгебраических дополнений воспользуееися формулой .4,. = ( — 1)еьлЛХо. Получим 5 4 2 — 3 2 — 3 Р= 1. — 2.( — 1) +О = 5 (-1) — 4 7+2(2 (-1) — 7 (-3)) = 5. а 2. Вычислить определитель 2 3 — 1 4 1 0 — 7 5 — 1 6 — 3 2 4 8 — 6 1 Л Преобразуем определитель В, не меняя его значения, таким образом, чтобы все элементы первого столбца, кроме оз1 — — 1, стали равными нулю. С этой целью из первой строки вычтем вторую, умноженную на 2, к третьей строке прибавим вторую, а из четвертой строки вычтем вторую, умноженную на 4 (при этом значение определителя не изменится). Получим Разложим определитель Р по элементам первого столбца: 3 13 — 6 7д=1 ( — 1) 6 — 10 7 8 22 -19 Чтобы вычислить полученный определитель третьего порядка, снова воспользуемся разложением по элементам первого столбца: -10 7 13 -6 13 -6 22 -19 22 -19 -10 7 / = — ЦЗ.
36 — 6 ( — П5) + 8 151) = — 2006. а 3. Вывести формулу для вычисления определителя и-го порядка р с 0 0 ... 0 0 с р с 0 ... 0 0 0 с р с ... 0 0 0 0 с р ... 0 0 0 0 0 0 ... р с 0 0 0 0 ... с р 0 3 13 1 0 — 7 0 6 — 10 0 8 22 — 6 5 7 — 19 Гл. й Матрицы и определители Разложим определитель Рп по элементам первого столбца: с О О ... О О с р с ...
О О О ° р...оо Р„= рРп г — с О О О ... р с О О О ... с р Определитель во втором слагаемом справа разложим по элементам первой строки. В результате получим рекуррентную формулу Рп = РРп — г — с Рп,— з. ,з (2) Учитывая, что Рг —— р, Рз = Р с = р — сз, по рекуррентной форс р муле можно последовательно найти Рз, Рл, ... Например, Р, = рРз сгР р(рз сз) сзр рз 2сг Выведем формулу для непосредственного вычисления Рп. С этой целью разобъем число р на сумму двух слагаемых (пока неизвестных), р = а+ Ь, и запишем рекуррентную формулу (2) в двух видах: с ,з Рп — аРп г — Ь(Рп, — — Рп з) с Є— ЬРп г = а(Р„г — — Р„з).
а Выберем теперь числа а и 6 так, что аЬ = сг (для этого нужно взять а и 6 равными корням квадратного уравненин аз — рх+ сг = О, тогда а+ 6 = р и аЬ = сг). Рекуррентные формулы перепишем в виде Рп — аРп г — — 6(Рп — г — аРп з) Рп — ЬРп-г — — а(Рп г — ЬРп-з). Мы видим, что при указанном выборе чисел а и Ь величины Є— — аР„, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Ь, а величины Рп — ЬРп г — геометрическую прогрессию со знаменателем а. По формуле общего члена геометрической прогрессии получаем Рп — ЬР г = ап (Рз — ЬРг).
Рп — аРп ~ —— Ь" (Рз — аР~ ), Если а ф- 6, то из этой системы уравнений находим формулу для вы- числения Рп: Р и+ Ьп где Рг — ЬРу Рг — аРг Т=, Д= а(а — 6) ' 6(6 — а) 92. Определители гв В случае а = Ь получите формулу для вычисления 11„самостоятельно. а 4. Найти обратную матрицу для матрицы 4= 0 1 2 й Так как с1етА = 2 ~ О, то матрица А невырожденная и, следонательно, имеет обратную. Элементы Ьгд обратной матрицы находим по 1и формуле Ь, = —, где А; алгебраическое дополнение элемен- е1ее А' та а,; матрицы А. В свою очередь для вычисления .4„пользуемся формулой А, = ( — 1)е+1ЛХИ.
Имеем 1 2 — 3 Ьгг=-( — Ц О 2 — — — 2, 2 2 — 3 1 2 1 1 2 Ь1г — О 1 Ь, 2 1 02 1 1 — 3 1 Ьг1 — — ( — 1) О 2 — О, Ьгг = — О 2 — 1~ Ьгз = — ( — 1) 2 2 2 1 — 3 0 2 1 0 1 1 12 1 12 Ьэг = -(-1) О, = О, Ьзз = — = 0,5. 2 2 Итак, А = 0 ! — 1, д Замечание. Удобный практический подход к вычислению матрицы А ' состоит в следующем.
Сначала записываем транспонированную матрицу для данной матрицы А: Ат= 2 1 0 Затем составляем матрицу А*, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы Ат (матрица А* называется присоединенной по отношению к матрице А): А*= 0 2 — 2 1 И наконец, умножив матрицу А' на число —, получаем искомую е1е1 А ' обратную матрицу А Гл.
й Матрицы и определители 20 5. Найти матрицу Х, удовлетворяющую уравнению 1 2 3 5 /1 11 / — 1 От Введем обозначения А = ~1 2~, В = )ч (. Тогда данное 5(' уравнение можно записать в виде АЛ =В. Так как оет А = 1, то матрица .4 имеет обратную. Умножим обе части уравнения ца матрицу А ~ слева: А 'АХ=А 'В. Так как .4 тА = Е (единичная матрица) и ЕЛ = Х, то Х = А 'В. Итак, для нахождения матрицы Х нужно найти матрицу А ' и ум- / 2 — 11 пожить на матрицу В. Имеем А т = ~ (, Х = А тВ = 2 — 1 — 1 Π— 5 — 5 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 12. Вычислите определитель: а аЬ а+Ь а — Ь 2 2 1 3 а) 2 , б) 6 „ 6 , в) 5 3 2 а ' а — а,+ а+х х х д) х Ь+х х х х с+х 13.
Не раскрывая определитель, докажите справедливость равенства: = (а — 6)(Ь вЂ” с)(с — а); = (а — Ь)(6 — с)(с — а); а Ь с г) Ь с а; с а Ь 2 — 1 3 Π— 1 5 О О 5 О О О 1 а Ьс а) 1 Ь са 1 с а6 1 а аз б) 1 6 62 с с 1 — 3 — 3 2 1+х 1 1 1 1 1 — х 1 1 1 1 1+Я 1 4 Р. Определители е зш а созе а соз 2а в) з1пз,3 созе,9 соа 28 гйп у созе ", соз 2 "~ 14. Решите уравнение: 3 х — 4 1 а) 2 -1 3 =О; б) О х+10 1 1 х О х х — 1 =О. 8 О 15.
Решите неравенство: 2 х+2 а) 1 1 5 — 3 — 1 — 2 >О; у х 1 1 б) — х, О 2 (О. О х 6 5х 1 2 3 х х 1 2 1 2 х 3 х 1 2 2х , содержащие х~ 16. Найдите члены определителя и хз. 17. Найдите обратную матрицу для матрицы а) 1 4 ., б) О 1/2 3; в) 1 — 1 О 18. Найдите обратную матрицу для "блочной" матрицы где Еь и Е~ — — единичные матрицы й-го и 1-го порядков,  — произвольная 1 х 1-матрица, 0 / х й-матрица, все элементы которой равны нулю. а) 1 4 Х= б)Х 2 1 О в) 2 1 О Л= 2 1 — 1 1 — 1 3 4 19. Используя обратную матрицу, найдите матрицу Х, удовлетворяющую уравнению: Гл. 1 Матрицы и определители а) определитель и-!о порядка 5 3 О 2 5 3 О 2 5 О О 2 О О 3 5 О О О О О 0 О О О О 0 О О О 5 3 2 5 О О б) определитель Вандермонда 1 1 1 хз хз з Хп Х 2 ! ха г 3 п — ! и — ! ! 2 Л вЂ” ! хз 20.
Докажите справедливость равенств: а) (4 ') ' =Л; б) ~ЛВ) ' =В 'Л '; в) (л !)т = (лт) а: г) (Л !)" = (л") 21. Как изменится обратнан матрица Л !, если в матрице .4: а) переставить местами Й-ю и 1-ю строки; б) Й-ю строку умножить па число х ф О; в) ь Й-й строке прибавить 1-ю, умноженную на число ху 22. Вычислите: ГЛАВА П ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 3 1. Определение н свойства линейного пространства Основные понятия и теоремы 1. Определение линейного пространства. Множество Л элементов любой природы называется линейным пространством, если выполнены следующие три условия: 1) на множестве Л определена операция сложения элементов, т, е. каждой паре элементов х и у из Л поставлен н соответствие определенный элемент з из Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
