В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Элемент з называется суммой элементов х и у и обозначается х+ у; - = х+ у; 2) для элементов множества Л определена операция умножен я на ввщественныв числа, т. е. каждому элементу х из Л и каждому вещественному числу а поставлен в соответствие определенный элемент у из Л. Элемент у называется произведением элемента х на число о и обозначается ох; у = ах; 3) указанные операции удовлетворяют следующим требованиям (они называются аксиомами линейного пространства). Аксиомы сложения.
1'. чх и у из Л: х+ у = у+ х (переместительное свойство). 2'. Чх, у, х из Л: (х+ у) + з = х+ (у+ з) (сочетательное свойство). 3'. Существует элемент У с Л такой, что Чх с Л: х+ 0 = х (у называется нулевым элементом). 4'. 'чх е Л сучцествует элемент х' е Л такой, что х+ х' = 0 (элемент х' называется противоположным элементу х). Аксиомы умножения. 5'.ЧхЕЛ:1 х=х. 6'.
'чх Е Л и длн любых вещественных чисел о и ф о(Дх) = (гл Щх (сочетателькое свойство относительно числовых сомножителей). Аксиомы, связывающие обе операции. 7'. Чх Е Л и для любых вещественных чисел а и Д: (о+ р)х = = ах + Дх (распределительное свойство относительно суммы чисел). 8'. 'чх и у из Л и для любого вещественного числа ас о(х+ у) = ох -~- оу (распределительное свойство относительно суммы элементов). Гл. Гй Линейные пространства Определенное таким образом линейное пространство называют вещественнылй поскольку введена операция умножения элементов на вещественные числа.
Если для элементов множества В определены операции сложения элементов и умножения элементон на комплексные числа и справедливы восемь аксиом, причем аксиомы 6' 8' для любых комплексных чисел о и Д, то П называетсн комплексныл~ линейным пространством. Аналогично можно определить линейное пространство, н котором введена операция умножения элементов только на рациональные числа. 3 а м е ч а н и е. Каждое из трех множеств чисел (вещественные, комплексные, рациональные) обладает следующим свойством: на атом множество определены четыре арифметические операции [сложсние, вычитание, умножение, деление, кроме деления на нуль) так, что каждая операция над любыми двумя числами из этого множества дает число из этого же множества. Числовое множество, обладающее этим свойством, называется числовым полем.
Вещественное линейное пространство называется линейным пространством над полем вещественных чисел. То же самое говорят о линейном пространстве над полем комплексных чисел (над полем рациональных чисел). 2. Примеры линейных пространств.
Следующие множества с известными операциями слонгения элементов и умножения элементов па вещественные числа нвляются линейными пространствами над полем вещественных чисел (в скобках указаны обозначения некоторых пространств); а) множество вещественных чисел; б) множество геометрических векторов в трехмерном пространстве (линейное пространство рз); в) множество векторов, параллельных некоторой плоскости [прямой): г) множество столбцов с и элементами [линейное пространство Т„); д) множество т х и-матриц с вещестненными элементами (линейное пространство Нв') е) множество многочлснов степени, не превосходящей натурального числа и [линейное пространство Р,); ж) множество функций, непрерывных па сегменте [а, 6) [лицейнос пространство С[а, о]).
Для каждо~о из указанных множестн выполняются восемь аксиом линейного пространства, причем нулевым элементом являются: число нуль длн пространства а); нулевой вектор для пространств б) и н): столбец и т х п-матрица, все элементы которых равны нулю, соответственно для пространств г) и д); функция, тождествонно равная нулю, для пространств е) и ж).
т й Определение и свойства линейного пространства 3. Свойства линейных пространств. 1'. В линейном пространстве?? существует единственный нулевой элемент. 2'. Чх Е?? существует единственный противоположный элемент х'. 3'. ~~х Е Л: 0 х = О (Π— нулевой элемент). 4'. Противоположный элемент х' для элемента х выражается формулой х' = ( — 1) х. Обозначение: х' = — т,. 5'. Для любого числа сг: сг О = О. Разностью элементов х и у называется элемент с такой, что у+г=х. Обозначение: х = х — у.
6'. Чх и у из Рм х — д = х+ ( — у), где ( — у) элемент, претивоположный элементу у. Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определение линейного пространства и приведите примеры линейных пространств. 2. Чем отличается вещественное линейное пространство от комплексного? Приведите примеры этих пространств, 3.
Приведите пример линейного пространства над полем рациональных чисел. 4. Явлнетсн ли линейным пространством множество всех вещественных чисел с обычными операциями слонсения и умножения элементов на: а) вещественные числа; б) рациональные числа? 5. Могут ли в линейном пространстве сушествоватге а) два нулевых алемента; б) два противоположных элемента для некоторого элемента х? б. Как выражается через х элемент, противоположный х? 7. Справедливо ли равенство О = -О? 8. Что такое разность элементов х и у? Примеры решения задач 1. Доказать, чтп множество всех функций, непрерывных ца сегменте [а,, 6] (обозначим егп С[а, 6]), с обычными оперениями сложения функций и умножения функций на вещественные числа нвляется вещественным линейным пространством.
Прежде всего отметим, что если 1(х) и д(х) взяты из С[а,Ь], а сг .-- вещественное число, то (1(х)+д(х)) Е С[аиЬ] и (сл 1(х)) Е Е С[а, 6], т. е. операции сложения функций и умножения функции на вещественное число нс выводят из множества С[а, 6]. Проверим выполнение восьми аксиом линейного пространства. Очевидно, что Ч?(х), д(х), 6(х) из С[а, 6] имеют место равенства У( ) + д(х) = д(х) + Пх) (У(х) + д(х)) + 6(х) = 1(х) + (д(х) + 6(х)) 26 Гл.
ГЬ Линейные нространетее т. е. аксиомы 1' и 2' выполнены. Далее, нулевым элементом является функция В(х) = О. Она удовлетворяет аксиоме 3'| лед" (х) 6 С[а, Ь] справедливо равенство ) (х) + В(х) = 1(х). Противоположным элементом дли любой 7'(х) Е С[а, Ь] служит функция [ — 1(х)], также принадлежащая С[а, Ь]: 7'(х) + [ — 1(х)] = В(х) (т. с. выполнена аксиома 4').
Очевидно, выполняются и остальные аксиомы 5' - 8'. 5'. лл')(х) е С[а, Ь]: 1 )(х) = 1(х). 6'. Ч1(х) Е С[а,Ь] и для любых вещественных чисел а и Д оРУ(хИ = (од).|" (х). 7'. лл1(х) Е С[а, Ь] и для любых вещественных чисел о и В: (о+ + лл)) (х) = о ) (х) + В | (х). 8'. е'7'(х) и д(х) из С[а, Ь] и для любого вещественного числа о: о(|л(х) + д(х)) = о Л"(х) + од(х). Итак, С[а,Ь] вещественное линейное пространство. А 2. Доказать, что множество Л* всех положительных чисел будет линейным пространствоьл, если сухлму элементов х и у этого множества определить как произведение х у, а произведение элемента х на вещественное число о как степень х'*.
л'л В результате каждой из операций (х .у и х') получается число из множества П', поскольку произведение положительных чисел и степень положительного числа суть числа положительные. Аксиомы 1' и 2', очевидно, справедливы, так как ху = ух и (ху)- = х(уе). Аксиомы 3' и 4' приниыают вид: Чх б Й": х В = х и х х' = В. Из первого равенства следует, что В = 1, а из второго х' = 1/х. Справедливость аксиом 5' — 8' вытекает из свойств степени. 5'. х' = у,.
6' (т,е')д = хед 7'. х. ед = х" . хлл. 8'. (ху) = х" .у . Таким образом, множество Л' с введенными операциями сложения и умножения на вещественное число является вещественным линейным пространством, причем пулевой элемент равен 1. А 3. Показать, что нс является линейным пространством: а) множество многочленов степени и (и > 0) с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число; б) множество векторов на координатной плоскости, отложенных от начала коорцинат и расположенных в первом квадранте с обычныыи операциями сложения векторов и умножения вектора на число. а) Данное множество не является линейным пространством, так как сумма многочленов степени и может не быть многочленом той яле степени, например, при и > 2: (х" + х — Ц + ( — х" + 2х) = Зх — 1. 4 й Определение и свойства линейного пространства Таким образом, операция сложения может дать многочлеп, не принадлежащий данному мноясеству.
б) При умножении нектара, отложенного от начала координат и расположенного в первом квадранте, на отрицательное число получается вектор, расположенный в третьем квадранте и, следовательно, не принадлежащий данному множеству векторов. Поэтому данное множество не является линейным пространством. д 4. Доказать свойство 3' линейных пространств, т, е. 'лЛхбЛ: О х=0. Ь Рассмотрим сумму элементов О х и х.
Используя аксиомы 5' и 7', получаем О.х+х=О х+1.х=(О+1) х=1.х=х, т.е. О х+х=х. К обеим частям полученного равенства прибавим элемент х', противоположный элементу х: (О х + х) + х' = х + х'. Отсюда в силу аксиом '2' и 4' имеем О х+ 0 = О. Из аксиомы 3' следует О. х ч-0 = О х. Таким образом, мы получили, чтоО х=0. д 5. Доказать, что для любого числа еп о . 0 = О.
л'л Согласно свойству 3' элемент 0 могкно представить в виде О.х. Поэтому, используя аксиому 6', получаем о 0 = о. (О. х) = (сг О)х = =О х=0, д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Докажите, что вещественными линейными пространствами являютси следующие мно.кества с обычными операциями сложения их элементов и умножения элементов на вещественные числа: а) мллогкество векторов в трехмерном пространстве, параллельных некоторой прямой (плоскости); б) множество функций, п раз диффсренцируемых на сегменте (а, Ь); в) множество многочленов степени, нс превосходящей пд г) множество функций вида осозх+Дз1пх., где лг и Д произвольные вещественные числа: д) множество столбцов с п вещественными элементами; е) множество столбцов с и вещественными элементами, равными друг другу", ж) множестяо столбцов с п, элементами такими, что сумма элементов равна нулю; з) множество лп х и-матриц с нещественными элементами; и) множество симметричных квадратных матриц и-го порядка с вещественными элементами (матрица А = (а,, )а „называетсн си млетричной, если А = Аг, т.
е. аы — — ая, л.0 = 1, ..., и,'). Гл. Гй Линейные нреетранстеа 2. Докажите, что множества столбцов (матриц) из упр. 1, д) — и) станут комплексными линейными пространствами, если элементами столбцов (матриц) будут комплексные числа и операция умножения столбцов (матриц) на числа введена для комплексных чисел. 3. Какой элемент является нулсным и какой противоположным к ланному элементу в линейных пространствах из упр.
1 и 22 4. Докажите, что не янляется нещественным линейным пространством: а) множество рациональных чисел с обычными операциями сложения рациональных чисел и умножения на вещественные числа; б) множество векторов на координатной плоскости, каждый из которых параллелен либо оси ОХ, либо оси ОУ; в) множество многочленов степени, не превосходящей и, с неотрицательными коэффициентами; г) множество т х п-матриц, элементы которых — рациональные числа; д) множество натуральных чисел, для которых сумма чисел т и и определена как их произведение т и, а произведение элемента п па вещественное число о — как степень п"; е) множество вещественных чисел, для которых сумма чисел х и у равна ф(агс1Кх+ агсьдд).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
