В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Направляющие косинусы этого вектора в системе координат Охлхзхз равны между собой: созсеь = 1/зу3, 1 = 1,2,3, т. е, единичным направляющим вектором прямой ! является вектор в = 11/ч'3, 1/ъ'3, 1!з(3). Поэтому для любого координатного вектора еь его составляющей, лежащей на прямой 1, будет вектор соя ой .в = ~1/3,1/3,1/3). А так как действие оператора А на базисный вектор еь означает ортогональное проектирование еь на прямую 1, то Аеь. = (1,!3)е1+ (1!3)ез+ (1!3)ез, й = 1,2,3. Отсюда получаем матрицу (9) оператора 4, д 4. Пусть .4ь оператор поворота на угол нее в пространстве 1'з векторов на плоскости.
Найти матрицу (в произвольном ортопормированном базисе) оператора: а) А1Аз, б) А, '. Ь Матрица оператора Аь, как было показано в примере 1, в любом ортонормированном базисе имеет вид соа сеь — эш рь 4ь = зш уь соз ерь е а) По определению произведения операторов действие оператора А1Аз на произвольный вектор а состоит в том, что сначала вектор а поворачивается на угол иез, а затем вектор Аза поворачивается на угол ры В результате получается вектор А,.4за.
Ясно, что тот же вектор получается в результате поворота вектора а на угол дз + уы т. е. произведение АеАз есть оператор поворота на угол еез + ды Поэтому матрица оператора Ам4з в любом ортонормированном базисе равна с соя(у1 + зез) — зш(уз + зез) ) а1п(Эе1 + ье ) соа(уз + дз) / ' Тот же результат можно получить иначе, если воспользоваться тем, что матрица произведения операторов равна произведению матриц г и Линейные операторы е линейном пространстве »17 операторов-сомножителей: Л1Л2— СОВ Р» — В!П >Р» СОВ >Рг — В1П >Рг яш>р, соя>р» ) ( вш>рг сов,рг) сов(>Р» + >Рг) — в»п(>Р» + >Рг)») ~ ~~ с яп(р» + р>) сов(р» + >рг) ) б) Оператор Л» поворачивает каждый вектор на угол >р».
Ясно, что обратный оператор поворачивает каждый вектор на тот же угол р», но в противоположную сторону, т. е. Л, ' — оператор поворота на угол — р». Поэтому матрица оператора Л, ' является л»атрицей оператора поворота на угол -р» и, следовательно, в произвольном ортонормированном базисе имеет вид сов( — >р») — яп( — >р»)») ( сов р» яш р»») вш( — >р») сов( — »о») / '» — яп >р» сов вг» / ' Тот же результат можно получить иначе, если воспользоваться тем, что матрица обратного оператора Л есть матрица, обратная к мат— 1 рице оператора Л»1' (сов>р» — в»п>р»»~ ( сов>р» яп р»»( яп>р» спасо» >' » — в»п>р» сов>р» > ' 5. Найти матрицу оператора дифференцирования (оператора Р) в пространство Р~ мпогочленов степени, не превосходящей 2, в базисе: .г. б)11+ 1+ + г Имеет ли оператор Р обратный оператор? Ь а) Чтобы составить матрицу Р„оператора В в базисе с» = 1, ег = х, ея = х, найдем образы элементов е», ег, ез.
2 Ре» = (1)' = О, Рег = (:с)' = 1 = е», Рог = (хг)' = 2х = 2ег. Отсн>да следует, что Р„= О О 2 б) Аналогично, длн базиса 71 — — 1, (г — — 1+ х, 5 = 1+ х + хг имеем равенства РЛ =О., Р.(г =1= (», Рлгз = 1+ 2х = — 1+ 2(1 + х) = — 11 + 2~2. Гл. К Пинепные операторы ыз Отсюда следует, что Рр= 0 0 2 Определитель матрицы .Р, (и также матрицы Рг) равен нулю, т. е. матрица Р„вырожденная. Следовательно, по теореме 2 оператор Р не игиеет обратного оператора.
д 6. В пространстве Вз радиус-векторов на плоскости с общиги началом в точке 0 задан ортонормировапный базис еы ез. Пусть А линейный оператор, проектируюший векторы из В на подпространство Вг с базисом ег, а В оператор поворота векторов пространства Вз на угол го. Найти матрицу коммутатора (А, В) в базисе ег, ез, если; а) аг=пггб; о) у=я,г2; в) р= г.
Доказать, что: в случае а) оператор (А,В) является произведением трех преобразований пространства Вз, а именно (А,В) = СгСзСз, где Сг симметрия относительно вектора ег + ез, Сз центральная симметрия относительно точки О, Сз оператор подобия с коэффициентом подобия 0,5; в случае б) (А, В) = СгСю где Сг и Са — те же самые преобразованин пространства Вз, что и в случае а); в случае в) (.4, В) = о, где д --- нуль-оператор. Согласно определению оператора А имеем равенства Аег=ег=1 ег+О ез, Аез=д=О ег+О ез. Из этих равенств следует, что 0 0 Матрица оператора В в том же базисе имеет вид (см. пример 1) ( СО8 ао — аю ~ япд соз;р / ' Матрица С, коммутатора (А,В) = А — ВА выражается форму лой С, = А,В, — В„Ае. Поэтому в нашем случае 1 0 соз аг — зггг ао соа р — яп р 1 0 0 — 81пд 9 К Линейные операторы в линейном пространстве ы9 а) Если у = л/6, то матрица коммутатора (А, В) имеет вид С" — 05 0 Матрицу С, люжно представить в виде произведения матриц: С е = 1 0 0 1 0 0 з — СмСлеСзе.
(10) /О 11 Матрица См = ( 1 0( является в базисе еы ез матрицей линейного оператора Сы переводящего любой вектор х координатами зг, ха в этом базисе в такой вектор у, координаты у', ул которого в том же базисе выражаются через х2, хл по формуле (4): 2 2 1 0 У2 Х1 Полученное равенство показывает, что любой вектор х в результате преобразования С1 переходит в вектор у, симметричный относительно вектора е2 + ез. Значит, оператор С2 симметрия относительно вектора е2 + ел. 2г — 1 01 Матрица С2 = 1) является в базисе е~ ел матрицей оператора Сл, который любой вектор х из Вз переводит в вектор — х, т. е. С2 — симметрия относительно точки О.
/05 О 1 Наконец, матрица Сз, = (х ' ~ является матрицей оператора подобия Сз с коэффициентом подобия 0,5. Из равенства (10) следует, что коммутатор (А, В) является произведением трех указанных операторов;(А, В) = С2С2Сз. б) Если 92 = я/2, то матрица С, коммутатора (А,В) имеет вид Се — —, 0 и ее можно представить в виде произведения двух матриц: С 1 О О 1 = С! Сл где матрицы См и С2, те жс самые, что и в случае а). Поэтому (.4,В) = С2С2, где С2 и Сл --. линейные операторы, рассмотренные в п.
а). Гл. К Линейные операторы в) При 1а =.г матрица С, коммутатора (А, В) становится нулевой: С, = О. Поэтому коммутатор (А, В) является в этом случае нуль- оператором. д 2 5 3 1 1. 2. 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Произвольный элемент х линейного пространства Вз, имеющий в базисе еы ег, ез кооРдинаты х~, х-', хз, пРи действии опсРатора А переходит в элемент д = Ах, имеющий в этом же базисе координаты хг + хз, '2х' + хз, Зхг — тг + хз. Докажите, что А линейный оператор, и найдите его матрицу в базисе еы ем ез. Пусть В = Цсозх,ашх) — — линейная оболочка функций созх и эгпх.
Найдите матрицу оператора дифференцирования, действующего в Х,, в базисе соз х, айп х. Пусть у фиксированный вектор линейного пространства Ъ'м А -- оператор, действие которого на любой вектор х из уйз задается равенством Ах = [х, у), где (х, у) векторное произведение вектора х на вектор у. Докажите, что А линейный оператор,. и найдите матрицу этого оператора в правом ортонормированном базисе еы ег, ез, если у = ае1+ бег+ сез (а, Ь, с --. заданные числа). Матрица линейного оператора А в базисе еы е, ез, еч имеет вид Найдите матрицу этого линейного оператора в базисе: а) еыез;ег,еец б) снег+се,ег+ег+ее,ел+ее+аз+еж В двумерном линейном пространстве Вг радиус-векторов с общим началом в точке О задан ортонормированный оазис еы ег и введена прямоутольная система координат Ох'хг с координатными векторами еы ег.
Оператор А переводит любой радиус- вектор а в радиус-вектор Ь, симметричный а относительно прямой хг = йх'. Докажите, что А — линейный оператор, и найдите его матрицу в базисе еы ег. В двумерном линейном пространстве Вг радиус-векторов с обшил| началом в точке О задан ортонормированный базис еы ег и нведена прямоугольная система координат Ох'хг с координатными векторами еы ег.
Оператор А переводит радиус-вектор ОЛ1 Х1. Линейные операторы в линейном пространстве 121 в радиус-вектор ОР, конец которого (точка Р) находится по следующему правилу: через точку М проводится прямая, перпендикулярная к прямой хз = 2х1; если точка Т пересечения прямых не совпадает с точкой ЛХ, то точка Р берется на луче ТЛХ так, что ТР = 3ТЛХ; если же точки Т и ЛХ совпадают, то в качестве Р берется точка ЛХ. Докажите, что А — линейный оператор, и найдите его матрицу в базисе еы еа.
7. В трехмерном линейном пространстве Вз радиус-векторов с общим началом в точке 0 задан ортонормированный базис еы ез, ез и введена прямоутольная система координат Ох хзхз с координатными векторами ез, ег,ез. Оператор А переводит радиус- вектор ОЛХ в радиус-вектор ОХ', конец которого (точка Р) находится по следующему правилу: через точку ЛХ проводится прямая, перпендикулярная к плоскости 2х' + хз — хз = 0:, если точка Т пересечения прямой и плоскости не совпадает с точ- 1 кой ЛХ., то точка Р берется на отрезке ТМ так, что ТР = — ТМ; если же точки Т и ЛХ совпадают, то в качестве точки Р берется точка М.
Докажите, что А --- линейный оператор, и найдите матрицу этого оператора в базисе еы ез, еч. 8. В трехмерном линейном пространстве Вз радиус-векторов с общим началом в точке О задан ортонормированный базис еы ез, ез и введена прямоугольная система координат Ох'хзхз с координатными векторами ез, ез, ез. Прямая 1 задана уравнениями х1 = хз = хз. Определим цилиндрические координаты радиус- векторов следующим образом; на плоскости Р (х' + хз + х' = 0) введем полярную систему координат с полюсом в точке 0 и, выбрав на прямой 1 направление, введем ось Обч совпадающую с прямой 1 (с Х Р). Пусть число Ь равно проекции вектора ОЛХ на ось 06, а р и у полярные координаты проекции точки ЛХ на плоскость Р.
Тройку' чисел р, р., 6 назовем цилиндрическими координатами радиус-вектора ОЛХ. ХХоворотом на угол о пространства Вз вокруг оси 06 назовем преобразование, при котором каждый радиус-вектор ОЛХ, имеющий цилиндрические коордипаты р, со. Ь,, переходит в радиус-вектор ОЛХ' с координатами р, д+ о, 6. Докажите, что поворот ца угол о пространства Вз вокруг оси 06 является линейным оператором. Найдите матрицу этого оператора в базисе еы ез, ез при: 2я я а)о= —; б)о= —; в)сл=л; г)о=2л.
3' 2' 9. Пусть Й -- оператор дифференцирования в пространстве Хч где Х = Цз1пх,созх) —. линейная оболочка функций з1пх и созх. ~22 Гл. К Пикейные операторы Докажите, что: а) Рл = Х, где 1 тождественный оператор; б) оператор Р имеет обратный Р в) сумма Р + Р ' равна нуль-оператору. 10. Пусть Р оператор дифференцирования, действующий в линей ном пространстве Рз многочленов степени не выше 5. Найдите матрицу линейного оператора: а) Рз; б) Рт; х х хз в базисе 1, — ', —, ..., —. 1! ' 2! ' ' 5! 11. Пусть Р†.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
