В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы: 32. Собственные векторы и собственные знанвния 433 22. Найдите собственные векторы и собственные значения линейно- го оператора А, действующего в линейном пространстве В4 и имеюЩего в базисе еы ез, сз, е4 матРиЦУ 2 — 1 О 1 Докажите, что линейная оболочка Це4 + 2ез, ез + ез + 2е4) является инвариантным относительно оператора А подпространством. 23. Докажите, что линейный оператор А имеет обратный оператор тогда и только тогда, когда число Л = О нс является собственным значением оператора А.
24. Докажите, что любой линейный оператор и обратный к нему (ес ли он существует) имеют одни и те же собственные векторы. Найдите связь между собственными значениями этих операторов. 25. Докажите, что при умножении оператора на число сс ~ О его собственные векторы не изменяются, а собственные значения умножаются на число сс. 26. Докансите, что оператор А — 444 при любом вещественном чис лс се имеет те же собственные векторы, что и оператор А. Найдите связь между собственными значениями этих операторов.
27. Докажите, что собственный вектор оператора А является собст венным вектором оператора А" (й е Х) и оператора р(А), где рф — многочлен. Как вырал аются собственные значения операторов .4" и р(А) через собственные значения оператора А? 28. Докажите, что линейная оболочка каких-нибудь собственных векторов оператора является инвариантным относительно этого оператора подпространством.
29. Найдите все подпространства, инвариантные относительно ли- нейного оператора А, действующего в линейном пространстве Вз радиус-векторов и имеющего в ортонормированном базисе ем ез, /1 1 1; ез матрицу А, = — ~ 1 1 1 1 1 1 30. Докажите, что оператор поворота на угол со Е (О, л), действующий в пространстве 1'з векторов на плоскости, не имеет собственных векторов, а оператор поворота на угол л имеет собственные векторы. Найдите их. Гл. К Линейные операторы 31.
Пусть у фиксированный ненулевой вектор из линейного пространства 1'з векторов в пространстве. Найдите собственные векторы и собственные значения оператора А, действие которого на любой вектор х из Из задается равенством Ах = )х, у], где )х,у) -- векторное произведение векторов х и у. 32. Найдите собственные векторы и собственные значения оператора дифференцирования в пространстве многочленов Рн. 33. Имеет ли собственные векторы действующий в линейной оболочке Цсоа х, вш х) оператор: а) дифференцирования Б; б) Бз; в) Вз.
Если ответ положительный, то укажите собственные векторы и собственные значения оператора. 34. Пусть Л1 и Лз . не равные друг другу собственные значения линейного оператора А, а х1, тз соответствующие им собственные векторы. Докажите что элементы х~ и хз линейно независимы. 35. Материальные точки ЛХы ЛХз, ЛХз имеют массы т,, 2т,, т соответственно.
Этн точки соединены меягду собой пружинами, а точки ЛХ1 и ЛХз еще двумя пружинами соединены со стенками. Найдите собственные частоты данной системы (три материальных точки и четыре пружины), если коэффициент жесткости каждой пружины равен Й. '3 3. Линейные операторы в евклидовом пространстве Основные понятия и теоремы В этом параграфе обсуждаются понятия сопряженного, симметричного и ортогонального операторов.
В определении каждого из этих операторов фигурирует скалярное произведение (х,р) тех или иных элементов х, р евклидова пространства с. 1. Сопряженный оператор. О п р е д ел с н и е. Оператор А*, действующий в евклидовом пространстве Л', называется сопряаиенным к линейному оператору А, если для любых элементов х, у из Л' выполняется равенство (Ах, д) = = (х, А'у). Свойства сопряженного оператора. 1'. Для всякого линейного оператора, действующего в евклидовом пространстве, существует единственвый сопрнженный оператор, который является также линейным оператором.
гу. Линейное операторы в ввклидвввж прастранстве 2'. В ортонормированпом базисе матрица А" сопряженного оператора .4" является транспонированной по отношению к матрице А оператора Л: А' = Лт. 3'. Для любого оператора А справедливо равенство (А')* = А. 4'. Для любых линейных операторов А и В справедливо равенство (ЛВ)" = В" А . 5'. Если для оператора А существует обратный оператор .4 ', то верно равенство (А*)-1 = (А 1)*. 6'. Собственные значения операторов А и А* совпадают. 2.
Симметричный (самосопряженный) оператор. Определение. Линейный оператор,4, действующий в евклидовом пространстве Е, .называется симлетричным (самосопряженным), если А* = А, .т. е. для любых элементов л, у из Е выполняется равенство (Аш, у) = (л, Лу). Свойства симметричного оператора. 1'. В ортонормированном базисе матрица Л симметричного оператора А является симметричной матрицей, т. е. А = Ат, и, обратно, если в каком-нибудь ортонормированном базисе матрица оператора А является симметричной матрицей. то А симметричный оператор. 2'.
Все корни характеристического уравнения симметричного оператора — вещественные числа и, следовательно, являются его собственными значениями. 3'. Собственные векторы симметричного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. 4'. Симметричный оператор, действующий в и-мерном евклидовом пространстве, имеет и линейно независимых попарно ортогональных собственных векторов, и, обратно, если в п-мерном евклидовом пространстве существует ортонормировацный базис из собственных векторов линейного оператора А, то А симметричный оператор. 3. Ортогональный оператор. О п р е д ел е н и е.
Линейный оператор © действующий в евклидовом пространстве, называется ортогональным, если для любых элементов е, у из этого пространства выполняется равенство фл, Яу) = =(ш,у) ' Иными словами, ортогональный оператор (,> это линейный оператор, сохраняющий скаллрное произведение элементов; скалярное произведение образов Яш и ~у равно скалярному произведению их прообразов л и у. Гл. и. Линейные операторы Свойства ортогонального оператора. 1'.
Ортогональный оператор е1 не изменяет нормы элементов, т, е. ~!Ь~~ = ~~з~~. 2'. Если Я -- ортогональный оператор, то существует обратный к нему оператор Я~ ', который также является ортогональным, и справедливо равенство б1 '=д': (1) т. е. обратный оператор к ортогональному оператору ь1 совпадает с сопряженным оператором Я*. Равенство (1) можно записать в эквивалентных формах: Я' = 1 или Я" Ц = 1, (2) где 1 —.
тождественный оператор. Свойства 1' и 2' являются характеристическилш свойствами ортогонального оператора, т. е. линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве и не изменяющий нормы элементов, является ортогональным оператором, и точно так же линейный оператор, для которого справедливо равенство (1) или (2), является ортогональным оператором. Поэтому свойства 1' и 2" могут быть положены в основу определения ортогонального оператора. 3'.
Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, и, обратно, если линейный оператор е1 переводит какой-нибудь ортонормировапный базис в ортонормированный базис, то Я ортогональный оператор. 4'. В любом ортонормированном базисе матрица 1'1 ортогонального оператора является ортогональной матрицей, т.
е. удовлетворяет условию Я = Яа (см. 2 4 гл. 1Ъ'). Это условие можно записать в эквивалентных формах: или Я с1 =1. Обратно: если в некотором ортонормировавпом базисе матрица оператора Я ортогональная, то Я ортогональный оператор. 5'. Если число Л . собственное значение ортогонального оператора, то Л равно 1 или -1. Контрольные вопросы и задания 1.
Сформулируйте определение сопряженного оператора. 2. для любого ли линейного оператора, действующего а евклидовом пространстве, существует сопряженный оператор? 3. Пусть А оператор поворота на угол ао в пространстве 1а векторов на плоскости. Какой оператор является сопрнженным к Ау 137 Примеры решения задач 1.
В линейной оболочке В = о(а?п х, соя х) скалярное произведение элементов ?1 = А1Япх-~-Вг совх и ?з = Аз Япх+ Взсозх введено по формуле (?ы 1 ) = А~Аз + В1В . 6. 7. 8. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. ?3. Линейные операторы е евнлидавом пространстве Как связаны между собой матрицы А и А" линейных операторов А и А" а ортонормированном базисе'? Докажите, что для любых линейных операторов А и В справедливо равенство (А -1- В)* = А* -~- В*. Докажите, что для любого линейного оператора А и любого веществен- ного числа а справедливо равенство ?аА)' = о.4*.
Как связаны между собой собственные значения операторов А и А*? Сформулируйте определение симметричного оператора. Является ли симметричным: а) вуль-оператор; б) тождественный оператор; в) оператор подобия; г) оператор поворота на угол л/4 н пространстне 1'~? Верно ли утверждение: если в каком-нибудь ортонормированном базисе матрица оператора А является симметричной матрицей, то А сим- метричный оператор? Верны ли утверждения: а) любой симметричный оператор имеет собственные векторы: б) число 1-~- г., где 1 мнимая единица, является собственным значе- нием какого-то симметричного оператора'? Докажите, что если линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве, симметричен, то в этом пространстве существует орто- нормированный базис из собстненных векторов этого оператора. Верно ли обратное утверждение? Сформулируйте определение ортогонального оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
