В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 25
Текст из файла (страница 25)
43. В линейной оболочке Х = ХДз1пх,свах) скалярное произведение элементов Хе = Аз гйпх+ В1 созх и Ха = Аа ашх+ Вз соах введено формулой (Хы Я = АзАа+ В,В . Докажите, что оператор 42 Ра = —,, действующий в Х,, нвляется симметричным и ортогойхе нальным. Найдите его матрицу в базисе з1пх, сов х. 44. Докажите утверждение: произведение .АВ симметричных опера торов А и В является симметричным оператором тогда и только тогда, когда коммутатор (А, В) равен нуль-оператору.
45. Докажите, что если линейный оператор А, действующий в ев- клидовом пространстве, сохраняет нормы элементов этого пространства, т. е, е'х: ~~Ах~( = ~~хй, то А --. ортогональный оператор. 46. Докажите, что любой ортогональный оператор О имеет обрат ный Я ', причем Я~ ' является ортогональным оператором и справедливо равенство О = Ц*. 47. Декаденте,что если Л собственное значение ортогонального опе ратора, то Л равно либо 1, либо -1. 48. Дайте геометрическую интерпретацию линейного оператора А действующего в евклидовом пространстве 1~~ векторов на плоскости и имеющего в некотором ортонореиированном базисе еы еа е' совр зшр1 матрицу А, = 1 ., ~. Докажите, что оператор А явгйп ~р — соз ~р,~ ' ляется симл1етричным и ортогональным. 44.
Линейныв операторы в унитарном пространстве 145 3 4. Линейные операторы в унитарном пространстве Основные понятия и теоремы В унитарном пространстве аналогами линейных операторов, рассмотренных в 5 3, являются сопряженный, зрмитов 1или самосопряженный) и унитарный операторы. 1. Сопряженный оператор. Определение. Оператор А', действующий в унитарном пространстве Е, называется сопряженным к линейному оператору А, если для любых элементов а, у из Е выполняется равенство (Ля,у) = = (а,.4'у). Свойства сопряженного оператора.
1'. Для всякого линейного оператора существует единственный сопряженный оператор, который такяве является линейным оператором. 2'. В ортонормированном базисе матрица А* оператора .4* является эрмитово сопряженной по отношению к матрице А оператора А, т. е. получается из матрицы А транспонированием и заменой всех — т элементов на комплексно сопрнженные: Л* = А (см. 3 4 гл.
11')д 3'. Для любого оператора А справедливо равенство (А')* = А. 4'. Для любых линейных операторов А и В справедливо равенство (ЛВ)' = В*А'. б'. Если для оператора А существует обратный оператор .4 ', то верно равенство (А*) ' = (А ')*. 6'.
Если число Л собственное значение оператора А, то комплексно сопряженное число Л собственное значение сопряженного оператора А*. 2. Эрмитов (самосопряжениый) оператор. Определение. Линейный оператор А., действующий в унитарном пространстве Е, называется эрмитовым или самосопряженныхц если Л' = Л, т. е. для любых элементов х, у из Е выполняется равенство (Аа, у) = 1а, 4у). Свойства эрмитова оператора. 1'. В ортонормированном базисе матрица Л эрмитова оператора А является эрмитовой матрицей., т.
е. матрица А удовлетворяет условию где А' —. эрмитово сопряженная матрица по отношению к матрице А. Обратно: если в каком-нибудь ортонормированном базисе матрица оператора А является эрмитовой, то А -- эрмитов оператор. Гл. К Линейные операторы 2'. Если А эрмитов оператор, действующий в унитарном пространстве Е, то для любого элемента х из Е скалярное произведение (Ах, х) вещественное число. 3'.
Собственные значении эрмитова оператора — нещественные числа. 4'. Собственные векторы эрмитова оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. 5'. Зрмитов оператор, действующий в и-мерном унитарном пространстве, имеет и линейно независимых попарно ортогональных собственных векторов, и, обратно, если в и-мерном унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, то А . зрмитов оператор. 3. Унитарный оператор.
Определение. Линейный оператор О, действующий в унитарном пространстве Е, называетсн унитариыл, если для любых элементов х, у из Е выполняется равенство (Ох, ау) = (т., у). Иными словами, унитарный оператор это линейный оператор, сохраняющий скалнрное произведение элементов унитарного пространства.
Свойства унитарного оператора. 1'. Унитарный оператор Г не изменяет нормы элементов, т. е. ()СО:.)( = йх!). 2'. Если 0 -" унитарный оператор, то существует обратный к нему оператор Оэ 1, который также явлнется унитарным оператором, и справедливо равенство (2) т. е. обратный оператор к унитарному оператору СГ совпадает с сопряженным оператором СО'. Равенство (2) можно записать в эквивалентных формах; или об*О = 1, (3) где 1 тождественный оператор. Свойства 1" и 2' являются характеристическими свойствами унитарного оператора, т.
е. линейный оператор, действующий в унитарном пространстве и не изменяющий нормы элементов, является унитарным оператором, и точно так же линейный оператор 1Г, для которого справедливо равенство (2) или (3), является унитарным оператором. Поэтому свойства 1' и 2' могут быть положены в основу определения упитарпого оператора. 3'. Унитарный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, и, обратно, если линейный оператор 0 пере- у4. динейные операторы а унитарном пространсгпае И7 водит какой-нибудь ортонормированный базис в ортонормированцый базис, то 1? — унитарный оператор. 4'. В любом ортонормированном базисе матрица СГ унитарного оператора 1? является унитарной матрицей, т. е. удовлетворяет условию 7? '=Г', (4) где С?* матрица, эрмитово сопряженнап по отношению к матрице Г.
Это условие можно записать в эквивалентных формах: Л?* = 1 или Г?? = Е Обратно: если в некотором ортонормированном базисе матрица линейного оператора 7? унитарна, то Г . — унитарный оператор. 5'. Если число Л собственное значение унитарного оператора, то )Л( = 1. Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определение сопряженного оператора к аинейаому оператору, действующему в унитарном пространстве. 2.
Для любого ли линейного оператора, действующего в унитарном пространстве, существует сопряженный оператор'? 3. Как связаны между собой матрицы операторов А и А* в одном и том же ортанормировапном базисе унитарного пространства'! 4.
Как связаны между собой собственные значения операторов А и А*, действующих в унитарном пространстве? 5. Докажите, что для любых линейных операторов А и В, действующих в унитарном пространстве, справедливо равенство (А -~- В)* = А* + В". 6. Докажите, что для любого линейного оператора А, действующего в унитарном пространстве, и любого комплексного числа о справедливо равенство (оА)" = оА*. 7. Сформулируйте определение эрмитова оператора. 8. Является ли эрмнтовым: а) нуль-оператор; б) тождественный оператор; в) оператор подобия с вещественным коэффициентом подобия; г) оператор подобия с комплексным коэффициентом подобвн? 9.
Верно ли утверждение: если в каком-нибудь ортонормированаом базисе матрица оператора является эрмитовой, то и в любом другом ортонормнровапном базисе матрица этого оператора эрмитова? 10. Может ли для какого-нибудь элемента х быть верным раве~ство (Ах, х) = 1 -~- й где .4 — эрмитов оператор? 11. Может ли число 1-ну быть собствевным значением эрмитова оператора? 12. Докажите, что если линейный оператор, действующий в у-нитарном пространстве Е„, зрмитов., то в Еп существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора. Верна ли обратное утверждение? Гл. К Линейные оноритпоры ~48 13. Сформулируйте определение унитарного оператора.
14. Является ли унитарным: а) нуль-оператор; б) тождественный оператор; в) оператор подобии с коэффициентом подобия д, если и -- комплексное число и ~д~ = 1? 15. Сформулируйте характеристические свойства унитарного оператора. 16. Сформулируйте определение унитарного оператора на основе какого-то из характеристических свойств. 17. Докажите, что в ортонормированном базисе матрица унитарного оператора является увитарной матрицей. 18. Верно ли утверждение: если в каком-нибудь ортонормированном базисе матрица линейного оператора является унитарной, то и в любом другом ортонормированном базисе матрица этого оператора унитарнау 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
