В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 29
Текст из файла (страница 29)
называютсн угловыми миноралщ п х и;матрицы А = 1а з). Теорема 4 (критерий Сильвестра). 1'. Для того чтобы квадратичная форма была полозкительно определенной, необходимо и достаточно. чтобы есе угловые минорь1 ее матрицы бьми положительны. 2'. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров ее мотрю?ы чередовались следующим образолс 41 < О, дг > О, дз < О, Определение. Симметричная матрица А называется положительно определенной, если квадратичная форма ХтАХ положительно определенная.
1л. 1~7. Квадратичные и билинейные форыы ~66 Составим матрицу квадратичной формы А= — 2 1 1 и вычислим ее угловые миноры бч — — О, бз —— — 4, бз = О. В силу критерия Сильвестра данная квадратичная форма не является ни положительно определенной, ни отрицательно определенной, т. о. не является знакоопределенной. Л 2.
Найти все значения параметра а, при которых квадратичная форма Я(х~, х~, х~) = (х~)а — 2хчха — 2х~х~ + 4(х~) + 2х хз + а(хз)а является положительно определенной. Найдем угловые миноры матрицы квадратичной формы А= — 1 4 1 Имеем бч = 1 > О, ба = 3 > О, бз = 61е1 А = 3. (и — 1).
Пользуясь критерием Сильвестра, находим, что данная квадратичная форма нвляется положительно определенной тогда и только тогда, когда бз > О, т. е. при о > 1. я 3. Доказать, что если А положительно определенная матрица, а Р произвольная нсвырожденная матрица, то матрица В = Рт АР также является положительно определенной. Ь По условию квадратичная форма ХтАХ является положительно определенной, т.
е. Л гАЛ > О, если Х вЂ” любой ненулевой столбец. Линейное преобразование переменных Х = РУ переводит квадратичную форму Х'АХ в квадратичную форму УтВУ, где В = РгАР. Обратное преобразование У = Р 'Х (оно существует, если Р невы- рожденная матрица) переводит квадратичную форму УтВУ в квадратичную форму ХтАХ.
Пусть У произвольный ненулевой столбец. Тогда Х = РУ также ненулевой столбец (объясните почему), н поэтому 1' ВУ =Х АХ~ — ->О. Таким образом, для любого ненулевого столбца У квадратичная форма УтВ1' принилчает положительное значение. Это означает, что квадратичная форма УтВУ, а значит, и матрица В явлнется полок ительно определенной. Л роп Билннейнме формы 167 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 5.
Докажите, что квадратичная форма является неотрицательной тогда и только тогда, когда часть ее канонических коэффициентов больше нули, а остальные равны нулю. 6. Как связаны между собой угловые миноры матриц квадратичных форм Я(х', ..., хн) и — Я(х,', ..., хн) 2 Т. Докажите, что матрица Сг С является положительно определенной, если С невырожденная матрица. 8. Докажите, что если А = (ао) - положительно определенная матрица, то: а) матрица А ' существует и является положительно определенной; б) агг > О, т' = 1, ..., и. 9. Докажите, что если квадратичная форма ХтАХ неотрицательная и элемент аи матрицы А равен нулю, то все элементы 1-й строки и з-го столбца матрицы А также равны нулкз.
10. Докажите, что матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. 11. Определите, являетсн ли данная квадратичная форма знакоопределенной: а),1(хг)з, 2хгхз 2хтзз 2хгхз + 2(хз)г. б) 4(х')з + 2х'хг — 2хтхз — 2хгхз + (хз)з. 12. Найдите все значения параметра б, при которых квадратичная форма — 2(хт)г — бхтхг + бхтхз — 5(хз)з + 10хзхз + Ь(хз)з является знакоопределенной. З 3. Билинейные формы Основные понятия и теоремы 1. Определение билинейной формы.
Матрица билинейной формы. Если каждой упорядоченной паре (х, у) элементов вещественного линейного пространства В поставлено в соответствие некоторое вещественное число, то говорят, что на линейном пространстве В определена числовая функция двух аргументов х,у.
Такую функцию будем обозначать В(х,р), Определение. Числовая функция В(х,д), определенная на вещественном линейном пространстве В, называется билинейной 7 1?3* 1л. 17. Квадратичные и билинейные фермы !68 формой, если для любых элементов х, д, е из В и любого веществен- ного числа а выполняются равенства В(х + д, х) = В(х, з) + В(р, «), В(ах, д) = а . В(х, р), В(х,д+ е) = В(х,р) +В(х,е), В(х,ад) = еч. В(х,д). Первые дна равенства показывают линейность функции В(х,д) по первому аргументу, а вторые два -- линейность по второму аргументу. и Пусть е!,...,еи -- базис в пространстве Ли, х = ~ ~хче„д = и !=! = ~ д'е,.
Тогда !=! и В(х,д) — ч! Ь, х д не=1 где Ь, = В(е„ е,). Равенство (1) дает выражение билинейной формы через координаты элементов х и д в данном базисе. Оно называетсн общим видел! билинейной формы в и-мерном линейном пространстве. Матрица В, = (Ь! ) с размерами о х п называется матрицей билинейной формы В(х,д) в базисе еч, ...,еи. Например, если в некотором базисе билинейная форма имеет вид В(х,д) = = Зх д — 2х р + х д!! + 4х р + 5х д — хедз — хзд + хчд — 7хзд', то ее ь|атрицей в этом базисе явлнется матрица В= 4 5 — 1 2.
Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. Пусть еч, ...,е„и фч, ...,7'„два базиса в пространстве К„и пусть ф = еР (здесь используются принятые ранее обозначения: е и ф строки из базисных элементов, Р матрица перехода от первого базиса ко второму). Предположим, что билинейная форма В(х.,д) имеет в базисе еч, ...,еи ь|атрицу В„, а в базисе фе, ..., 1'„— матрицу В1. Тогда справедлива следующая формула преобразования матрицы билинейной формы: В1=РТ.В,.Р (2) йл. Билинейные формы 169 3.
Симметричные билинейные формы. Определение. Билинейная форма В(х,у) называется симметричной, если для любых элел1ентов х, у справедливо равенство В(х,у) = В(у,х). Теорема 5. Билинейная форма, определенная на линейном пространстае В„, симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе симметрична. 4. Связь между билинейными и квадратичными формами. Рассмотрим билинейную форму В(х,у), выраженную через координаты элементов х и у в некотором базисе е1, ..., е„: В(х,у) — "1 Ьох у . из=1 Положив у = х, получим функцию одного аргумента х и О(х) = В1х, х) = ~ Ьбхьзз, 1,1=1 В этой сумме подобные члены Ь зх хз + Ьз1хзх, запишем в виде абхх +аьх х, е з з е 1 где аз — — а;, = — (Ь,з + Ьзч).
2 Тогда функция Я(х) = В(х,х) примет вид н Ьь1(Х) = ~ ~ацХ'ХЗ, 1.з'=1 где ао — — а,. Отсюда следует, что Я(х) = Я(х', ..., х") — квадратичная форма п, числовых переменных х1, ..., х", являющихся координатами элемента х в базисе е1, ...., е„. Эту квадратичну1о форму можно записать в виде Я(х) = Лт А,Х„ 1 где Хг столбец координат элемента 1г в базисе е1, ..., е„, А, = -(Вг+ 2 +В!) матрица квадратичной формы, В, матрица билинейной формы В(х, у) в базисе е1....., е„. Итак, при фиксированном базисе е1, ..., е„каждой билинейной форме В(х, у) соответствует квадратичная форма ХтА,Х„зависящая от координат элемента х в этом базисе.
При переходе к другому базису по формуле 1 = е Р происходит невырожденное линейное преобразование координат элементов по формуле Л, = РЛ1, и квадратичная 1л. $7. йеадратиеные и билинейные форели ~70 форма ХтА,Ле переходит в квадратичную форму Л~~А7Х7 с матрицей Ат = РтА Р Отметим, что одна и та же квадратичная форма получается из различных билинейных форм, но среди них имеется ровно одна симметричная билинейная форма. Матрица квадратичной формы равна матрице этой симметричной билинейной формы.
Например, квадратичная форма 17(х) = (х>)з — 2х1хз + 4хьхз + бхзхз 7(хз)з + (хз)з с матрицей .4= — 1 — 7 3 получается из симметричной билинейной формы В(х,д) = хзд7 + 2хеуз + 2хзу7 + Зхздз + Зхздз 7хзуз + и эта же квадратичная форма Я(х) получается из несимметричной билинейной формы В(х,у) = = х~у' — бхь уз+ Зх~у'+ х~уз+ Зхзу' — х'уз+ 7хзу' — 7ххуз+ хзу~. Каждой квадратичной форме я(х, ..., х") = ~ а; х'хл ье=-1 при фиксированном базисе линейного пространства соответствует симметричная билинейная форма В(х,у), выражение которой через координаты х~,...,хн и у',...,уи элементов х и д в этом базисе имеет вид В(х,у) = ~~~ абхедл.
5. Канонический вид и канонический базис симметричной билинейной формы. Пусть в некотором базисе Д, ...,7и сизы метричная билинейная форма имеет вид и В(х, д) = ~ Лес'д', уу. Билинейные формы 171 Такой вид симметричной билинейной формы называется ее каноническим видом, числа Л; --- каноническими коэффициентами, а базис 71, ...,)и каноническим базисом симметричной билинейной формы. Матрица билинейной формы в каноническом базисе нвляется диагональной с элементами Л, на главной диагонали. Те о р е м а 6. Для любой симметричной билинейной формы существует канонический базис.
6. Метод нахождения канонического базиса н кнноннческого вида симметричной формы. Пусть симметричнан билинейНая фОрМа В(Х,у) ИМЕЕТ В баЗИСЕ Е1, ..., Ео Матрнцу В. РаССМОтрИМ квадратичную форму ®х) = В(х, х) = Х„' В,Х,, зависящую от координат элемента х в базисе е1, ..., е„. Для этой квадратичной формы существует невырождепное преобразование переменных Л, = РХ, котоо рос приводит квадратичную форму к каноническому виду ~ Л1(х') . а=1 Матрица Р являетсн матрицей перехода к каноническому базису билинейной формы, а именно в базисе 71, ..., 7„, связанном с базисом е1, ..., е„формулой 7 = еР, билинейная форма В(х, у) имеет канонический вид о В(х, у) = ~ ~Л1с'71', э л где х = ~ с'71, у = ~ 771 71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
