В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определение билинейаой формы. 2. Напишите выражение билинейной формы В(х, у) через координаты элементов х и у в некотором базисе. 3. Что такое матрица билинейной формы в данном базисе? 4.
Напишите формулу преобразования матрицы билинейной формы при переходе к другому базису. 5. Какал билинейная форма называется симметричной' ! б. Известно, что матрица билинейной формы симметрична в некотором базисе. Будет ли она симметричной в любом базисе? 7. Дано выражение билинейной формы через координаты элементов в некотором базисе В(х, у) = = Зх у — х у + 2х у + 4х у — 2х у -1-х у -~- т, у — х у ф 8х у .
З Л7 ~З З~ ЗЗ ЗЗ Зз ЗЗ Напишите соответствующую ей квадратичную форму В(х, х). 8. Укажите две различные билинейные формы, из которых получается квадратичная форма С,)(х,х,хз) = — (х ) +бх х — х х ф2х х' -1-(х ) . 1л. 17. Кеадратиеные и билинейные форели ~72 9. Длн каких билинейных фарм вводнтсн понятие канонического вида и канонического базиса? 10. В чем состоит метод нахождения канонического базиса и канонического вида симметричной билинейной фармы? Примеры решения задач 1.
Билинейная форма В(х, р) в базисе еы ег, ез имеет вид В(х и) — 2хги' „Зх7иг+ хгиз + 5хгиг + хгнз Найти выражение атой билинейной формы через координаты элементов в базисе )ы гг, Уз, если 77 — — ег, ?г — — — еы ?з — — ее + ез. Составим матРицУ Р пеРехода от базиса еы ег, ез к базисУ ?ы 1г, ?з (ее столбЦы состоит из кооРДинат элементов ?ы 6, ?з в базисе еы ег, ез): Р= 1 О 1 и воспользуемся формулой (2) преобразования матрицы билинейной формы В,=Р" В, Р,.
где Ве и В? — матрицы билинейной формы в базисах еы ег, ез и 1ы Уг Уз. Составим матрицу В,: В,= 5 О 1 Далее вычисляем: Ве= — 1 О О 5 О 1 1 О 1 — 3 — 2 — 4 Отсюда получаем следующий вид билинейной формы в базисе Л ?г,лз: В(х р) 5~~,р + ~1цз О~гцг цгОг 4~у ~зг~г 5~з,~г 48. Билинейные формы 173 2. Найти канонический базис и канонический вид симметричной билинейной формы, задаииой в базисе еы ез, ез выражением В(х.д) = Зх у + Зх' у + 2х й + 2х у'+ 2х й + 2х у' — х у' — х р . Л рассмотрим соответствующую квадратичную форму Я(х) = В(х, х) = 3(х~) + З(хз)з + 4х1х + 4х1 хз — 2хзхз.
В примере 1 из 2 1 было показано, что эта квадратичная форма ли- пейиым иевырождеяиым преобразоваиисм Л" = РЯ, где — 1 Р = 273 1 -1/3 = -273 1 -1 приводится к каяоиичсскому виду Я(е~. з :з) = †-(з~)з + 3(-з) + 8( з) . Отсюда следует, что билипейиая форма В(х, у) имеет канонический вид В(х, р) = — — 4~я~ + Зсзйз + 8сзйз 4 1 1 в каноническом базисе 7ы 17, гз, свнзанном с базисом еы ез, ез соотношением 1 О 21 (Л, Л, Хз) = (еы ез, ез)Р = (еы ез, ез) — 2,73 1 — 1), О О 1 2 откуда 7"7 = е1 — — ез, 7з = ез, фз = 2е, — ее+ ее А 3 3. Доказать, что скалярное произведеиие в вещественном евклидовом пространстве представляет собой симметричную билинейную форму, у которой соответствующая квадратичная форма является положительио определенной.
Скалярное произведение (х, у) элементов х и у вещественного пикейного пространства является числовой функцией аргумситов х и у, обладающей следующими четырьмя свойствами (аксиомы скаляриого произведения). 1'. (х,у) = (у,х). 2'. (х+ р, з) = (х, е) + (р, з). 3', (ах, д) = а(х, у). 4'. (х, х) > О, если х у': Б, и (х, х) = О, если х = д. Из свойств 2', 3' следует, что скалярное произвсдевие (х,у) есть лииейиая фуикция по первому аргументу х.
Пользуясь свойства- 1л. 171. Квадратичные и билинейные форыы ~7Л ми 1' — 3; нетрудно показать, что скалярное произведение является линейной функцией и по второму аргументу. Действительно, в силу свойств 1' и 2' имеем (х, у + е) = (у + з,х) = (у, ) + ( , *) = (х, у) + (х, з): а используя свойства 1' и 3' устанаяливаем, что справедливы равенства (х, ау) = (ау, х) = а(у, х) = а(х, у). Таким образом, из свойств 1' 3' следует, что скалярное произведение (х,у) есть симметричная билинейная форма.
Из свойства 4' вытекает положительная определенность соответствующей квадратичной формы (х,х);(хех) > О, причем (х,х) = О только если х = у. Замечание. Отметим, что в любом линейном вещественном пространстве скалярное произведение злементов можно ввести бесконечным числом способов, задавая в некотором базисе различные симметричные билинейные формы с положительно определенными матрицами, д Задачи и упражнения для самостоятельной работы В упр.
13, 14: 1) напишите выражение (в произвольном фиксированном базисе) для симметричной билинейной формы, соответствующей данной квадратичной форме; 2) для полученной билинейной формы найдите канонический вид и матрицу перехода от исходного базиса к каноническому базису (для упр. 13 используйте результаты упр. 1, а для упр. 14 -- результаты упр. 2).
13. а) 2ттхз + 2хзхк б) (х')з + 2х'хз + 2(хз)з + 4хзхз + 5(хз)з в) (х')з + х',сз ~- хзх"; г) (х')з — 4х'хз + 2хтхз + 4(хз)з + (хз)". 14. а) — (2(зл)з + 4х'хз — 2х'хт — (хз)з + 4хзхз + 2(хз)з). 1 3 б) 17(х')з — 16х'хз + 8х'хт + 17(х')' — 8хзх' + 11(хз)з. в) 11(хч)з + 4т'хз — 16тчхз + 2(хз)з + 20хзтч + 5(тч)з; г) 2х'хз + 2хчтл; д) 2(хт)з + (хз)з 4з чхз — 4хзхз е) (зл)з + 2(хз)з + 3(з з)з — 4хтхз — 4хзхч. ж) 2хзха 15. Докажите, что ранг и знак определителя матрицы билинейной формы не изменяются при переходе к другому базису. р4.
Уравнения второго порядка 175 16. Пусть А линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве со. Докажите, что: а) скалярное произведение (х, Ау) является билинейной формой аргументов х и у; б) в любом ортонормировапном базисе матрица этой билинейной формы совпадает с матрицей оператора А, а если базис не нвляется ортонормированным, то матрицы билинейной формы и оператора А, вообще говоря, не совпадают; в) если А симметричный оператор, то билинейная форма (х, Ау) также симметрична.
у 4. Применение теории квадратичных форм в задачах о приведении к каноническому виду уравнении кривой второго порядка и уравнения поверхности второго порядка Постановка задачи и описание метода 1. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Дано уравнение кривой второго порядка в прнмоугольной системе координат Оху аыхг + 2аьаху+ аззу + 261х+ 26ау+ с = О. (1) Требуется с помощью поворота и параллельного переноса осей координат перейти к такой прямоугольной системе координат, в которой уравнение кривой имеет канонический вид. Рассмотрим квадратичную форму, связанную с уравнением (1), аых + 2ащху+ иззу .
з з Ее матрица имеет вид аы ащ ПРиведем квадРатичнУю фоРмУ к капоническомУ видУ Лг(х')з + + Ла(У')з оРтогональным пРеобРазованием пеРеменных (2) Напомним, что Лы Лг .- собственные значения матрицы А, а столбцами матрицы Р являютсн ортогональные нормированные собственные векторы (столбцы) матрицы .4. Их всегда можно выбрать так, что <1етР = 1. Матрица Р в силу свойства ортогональных 2 х 2-матриц имеет вид (см. пример 1 на с. 104) ) соаф — я1пуг') ) зшго совр(' 1л. 17.
Квадратичные и йилинейные форыы ~76 т. е. Р матрица оператора поворота на угол ии в пространстве 1з векторов на плоскости. При таком повороте прямоугольная система координат Охд с координатными векторами 1,1 (базис в пространстве 177) переходит в прямоугольную систему координат Ох'д' с координатными векторами Г, д' (другой базис в пространстве 1гз), причечи (Пдч) = (11)Р. Пользуясь формулами (2), выразим линейные члены 26гх+ 26зд уравнения (1) через координаты х', д'. В результате в системе Ох'д' уравнение кривой примет вид Лг (х~)з + Лз(д~)~ + 26|х~ + 26 д~ + с = О, т.
е. в уравнении отсутствует смешанный член (с произведением х'д'). Далее, выделив полные квадраты по обеим переменным (или по одной переменной, если одно из чисел Л, равно нулю), с помощью параллельного переноса осей координат системы Ох'д' переходим к системе О'хид", в которой уравнение кривой имеет канонический вид. Напомним, что уравнение кривой второго порядка может быть приведено к одному из следующих канонических видов; у х у х у — ', + — ', = 1 или — '+ — = — 1 или —, + — = О, если кривая аи Ьз аз Ьч ~2 62 зллиптического типа; х у х у х у — — — = 1 или —, — — = — 1 или —, — — = О, если кривая аи 62 и' Ьл аи Ь' гиперболического типа; ;гз = 2рд или дз = 2рх(р ~ О) или уз = а или хз = а, если кривая параболического типа.
2. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Аналогичным методом можно привести к каноническому ниду ураннение поверхности второго порядка ам та + азздз + озззз + 2агзхд + 2а~зхз + 2аиздз + 26чх+ + 2Ьид+ 26зз+ с = О. Сначала ортогональным преобразованием переменных приводим квадратичную форму ач ч ха + азздз + азз ге + 2ачзхд + 2ачзхи + 2азздз к каноническому виду Лч(х~) + Л (д ) + Лз(з~) . р4. Уравнения второго порядка 177 При этом система координат Охуг с координатными векторами 1, з, 1с перейдет в прямоугольнузо систему координат Ох'у'з' с координатными векторами 1', 1', 1с', которые связаны со старыми координатными векторами формулой (1'1о 1с') = Я 1с)Р. Далее записываем уравнение поверхности в системе координат Ох'у'з', а затем, произведя параллельный перенос осей координат системы Ох'у'г', переходим к системе координат О'хоуп:", в которой уравнение поверхности имеет канонический вид.
Напомним, что матрица Р = (р, ) в силу свойства ортогональных 3 х З-матриц, измен>щих определитель, равный единице, является матрицей оператора поворота в пространстве вокруг некоторой прямой (см. упр. 26 гл. 117). Направлиющий вектор прямой зто собственный вектор оператора поворота, соответствующий собственному значению Л = 1, а угол поворота опрепелястсн из равенства (покажите зто) Ри Ч Рзз -Ь'Рзз — 1 сов гр = 2 Контрольные вопросы и задания 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
