В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Так, например, при свертывании произведения тензора [В]о, определяющего линейную форму и имеющего координаты Ьр в базисе еы е г, ..., е„, и тензора [Х]в, определяющего элемент т линейного пространства Гл. Р11. Тензоры и имеющего координаты хь в том же базисе, получаем тензор нулевого ранга -" скаляр Ььх" -- значение линейной формы на элементе х. В случае тензоров ранга 1 и 2 их координаты в каком-либо базисе удобно записывать в виде матрицы. Например, если [В)~ -" тензор ранга 1, то его координаты Ьы Ьз, ..., Ьо в данном базисе линейного пространства можно записать в виде строки В = [Ьь); если [А)[ тензор ранга 2, то его координаты ог можно записать в виде квадратной гиатрицы А = [а"); если [С)з — тензор ранга 2, то его координаты с можно записать в виде квадратной матрицы С = [с ч).
При этом В, .4 и С называются матрицами тензоров [В)~, [.4), и [СД в данном базисе. Если матрица тензора ранга 2 симметричнан матрица, то такой тензор называется симметричным тензором. Отметим следующее обстоятельство. Если в линейном пространстве Во фиксирован базис, то смешанный тензор [А][ описывается в этом базисе квадратной матрицей [а") и-го порядка. Но матрицей [о") в том же базисе описывается и некоторый линейный ч оператор А, действующий в пространстве Во, Поэтому говорят, что если задан тензор [А)[, то он определяет некоторый линейный оператор.
Аналогично: если задан контравариантный тепзор ранга 1, то он определяет элемент линейного пространства; если задан ковариантный тензор ранга 1, то он определяет линейную форму: если задан ковариантный тензор ранга 2, то он определяет билинейную форму. Контрольные вопросы и задания 1.
Дайте определение теазора. 2. Объясните смысл терминов лкавариантный" и лковтравариантный". 3. В евклндовом пространстве зафиксируем два элемента х и у. Молино ли назвать скалярное произведение (х,д) этих элементов тевзаром? Если да, то каков его ранг'? 4. Используя определение тензора, покажите; что: в) матрица оператора, действующего в линейном пространстве Но, в некотором базисе является мвтрицей тензорв ранга 2, один рвз коввриантного и один рвз контраввриантного, в том же базисе; б) координаты элемента линейвого пространства в некотором базисе являются координатами коатравариантного тензора ранга 1 в том же базисе. 5. В четырехмерном линейном пространстве двн тензор ранга 3.
Сколько слагаемых содержит выражение координаты этого тензора в одном базисе через координаты этого же тензора в другом базисе? Сколько сомножителей содержится в каждом слагаемом этого выражения? 6. Приведите пример тензоров, произведение которых: а) перестановочно, т. е. не зависит от порядка сомножителей; б) не перестановочно.
б1. Тензоры в и-мерном линейном пространстве 197 7. Даны тензоры [А],' и [В][ с координатами а" и Ь] в некотором базисе линейного пространства Л . Какой тензор является сверткой произведения тензоров [А][[В][ по индексам д, 1? Определяет ли эта свертка линейный оператор, действующий в пространстве Л„? 8. Дан тензор [А][ с координатами а" в некотором базисе линейного пространства Л„и тензор [Х]„с координатами х' в том же базисе. Какой тензор является сверткой произведения тензоров [А][[Х]е по индексам 9, 1? Что определяет эта свертка: линейную форму; элемент пространства'? Примеры решения задач 1. Тензор [Р], 'имеет в некотором базисе ем е ....., еа линейного пространства Л„ координаты о [ О, если р~ч, Изменятся ли его координаты при переходе к другому базису? Какой геометрический смысл имеет этот тензор? Если пеРеход от базиса ем ее, ...,е„к базисУ 1ы 19, ...,1п осУществляется с помощью матрицы С = [с"), то координаты б„" тензора [Р][ в базисе ?ы ?з, ..., 1„определяются формулами [см.
[7)) б" = с'б"бо р,с? = 1,2,...,и, ч е где по индексам 1 и 1 ведется суммирование от 1 до и,. Так как д,' = О при 1 7'= 1', то из иа слагаемых в правой части последнего равенства можно оставить только те, для которых 1 = 1. Поэтому бо = с',с" ,= [С 'С)," = [1)'„' = б",. Таким образом, координаты тензо- ра [Р]] одинаковы во всех базисах линейного пространства Л„. Тензор [Р][ определяет тождественный оператор 1, т. е. оператор, матрица которого является единичной в любом базисе. а 2. Тензор [Р]л оимеет в некотором базисе еч,ез,...,е„ линейного пространства Л„ координаты 1, если р=о, О если рр д, р,ц = 1,2,...,и.. Как преобразуются координаты этого тензора при переходе к друго- му базису? Какой геометрический смысл иеиеет этот тензор? ПРи пеРеходе от базиса емеьь ...,е„к базисУ 1ы?з, ...,1а с по- мощью матрицы С = [с",) координаты тензора [Р]о преобразуются по формуле [см.
[7)) о б = с„'осби —— ~ с„'с,' = [Ст)",с' = [С С)",. с=1 Гж Р11. Тензорн Отсюда следует, что если СТС = 1 [в этом случае С ортогональная лзатрица), то б = бл, р,д = 1,2,...,п, т. е. если переход от данного базиса ез, ез, ..., е„к новому базису осуществляется с помощью ортогональной матрицы, то координаты тензора [Р]о не изменяются.
Если же СТС У: 1, то координаты тснзора [Р]о [по крайней мере какие-то из них) не сохраняют своих значений. Тензор [Р]а определяет билинейную форму, которая в базисе ем ез, ..., е„имеет канонический вид В[х, у) = ~~ хьуь, где х', хз, ..., х" и у', у-, ..., у" — . координаты элементов х, у линейного пространства17 .А 3. Каждому базису в линейном пространстве В„сопоставлены числа [адни и те же в каждом базисе) б", = б'б,', — б',д', где б' символ Кронскера [т.
е. б'л = 1, если 1 = р ф е = у, ба = — 1, если 1 = д ф е = р, и б„'~~ = О в остальных случанх). Явлнются ли эти числа координатами тензора? Рассмотрим тснзор [Р]~з, имеющий своими координатами в некотором базисе ез,ез, ...,е„заданные числа б„'е. При переходе от базиса ем ез, е„к базису ~ы 1з, ..., Та с помощью матрипы С = [сг) координаты тензора [Р]~ ~преобразуются по формуле (см. [7)) где первая группа слагаемых в правой части получается при Й = 1 ф ~ ьч = Ь, а вторая (со знаком минус) — — при й = Ь ~ гя = й Изменяя порядок суммирования, получим [С ~С)в[С зС)л [С зС)е[С зС)лг = бгб' б б Таким образом, координаты тензора [Р]з одинаковы во всех базисах. Следовательно, заданные числа являются координатами тонзора [Р],', дважды ковариантного и дважды контравариантного. А 4. Пусть в базисе ез, ез, ез линейного пространства элементы х и у имеют координаты 1,0, — 1 и О, 1, О соответственно.
Тем самым заданы тензор [Х]а с координатами 1, О, — 1 и тензор [1']о с координатами О, 1, О в том же базисе. Найти координаты произведения этих тензаров [А]аз = [Х]а . [1']а' в базисе е~, .ез, ез и в базисе Л, Л, Ь, если 1 = еС, где 41. Тензори в п-мерном линейном пространстве 199 Координаты тензора [А]- выражаются через координаты сомножителей формулой (см.
(8)): апе = хпуе, р,у = 1,2,3. Поэтому матрица тензора [А]- 'в базисе ет, ее, ез, состанленная из координат тензора н этом базисе, .имеет вид 0 1 0 (ап') = 0 0 0 ПРи пеРеходе к базисУ (ы 79, Тз кооРдинаты тензоРа [А]зо пРеобРазУ- ются по формуле (см. (7)) а"' = с "боа'л, где с" ,элементы матрицы С т, а по индексам т и т' ведется суммирование от 1 до 3. Подставляя в эту формулу значения координат а", получаем ар' = = стбез — б,~се~ — — (спт — бРз)с~~.
Далее находим обРатнУю матРицУ: 21 -10 -4 и вычисляем координаты арв. В результате получаем матрицу тен- зора [А]о в базисе 6, Ь, т'з.. 125 50т, -60 -24 . д -25 -10 ,л -250 а"' = ~ 120 50 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Пусть в базисе ет, ее, ез линейного пространства элементы х и у имеют координаты 2, 1, 0 и — 1, 0,3.
Том самым заданы тепзоры [Х]о и [У]от с указанными координатами в том же базисе. Най- 5. Даны дважды ковариантный тензор [В]" ,с координатами 5 в некотором базисе ем ел, ...,еп линейного пространства Вп и два контравариантных тепзора [Л]т и [1']о с координатами х' и уй в том же базисе. Что представляет собой свертка произведения тензоров [В]~а[Х]о[У]о по индексам р и 1 и индексам д и т? Произведение трех тензоров [В~~~, [Х]о и [У]о есть тензор ранга 4 с координатами бр,х'у', р,у,т,й' = 1,2, ..., п, в базисе ет,ел, ...,е„.
По условию задачи производятся два свертывания: по индексам р и т и индексам ц и 1 Результатом этих дейстний будет тензор нулевого ранга, т. е. число, равное брехнув. Отметим, что это число есть значение билинейной формы В(х,у), определяемой тензором [В]о, на элементах х, У, опРеделаемых тензоРами [Л]от и [1']е'.
д Гл. Р11. Тензоры 200 С= О 2 1 7. 8. 2 3 4 5 6 дите координаты тензора [АЯ, представляющего собой произведе- ние тензоров [Х]о[У]о, в базисах еы ез, ез и Уы 12, 12, если 1' = еС, где При условиях задачи 1 найдите координаты в обоих базисах тензора [В]о, представляющего собой произведение тензоров [1']о[Х]~г Сравните полученные результаты с результатами задачи 1.
Пусть аре координаты дважды ковариантного тепзора в некотором базисе и-гиерного линейного пространства. Докажите, что если матрица А = [аре) невырождена, то матрица этого тензора в любом другом базисе также невырождена. Пусть ар координаты дважды ковариантного тензора Щ в некотором базисе и-мерного линейного пространства, причем с1еФ А = = е1ег[аре) ф О, и пусть матрица А ' является матрицей днажды контравариантпого тензора [В]2 в том же базисе. Докажите, что и в любом другом базисе матрица тензора [В]2 является обратной длн матрицы тензора [.4]оз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
