В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Дан смешанный тензор с координатами аР в некотором базисе линейного пространства В„. Убедитесь в том, что сверткой этого тензора по его двум индексам является число, равное следу матрицы А = [а") (т. е. сумме а' + а~ ~+ ... + а„" элементов главной диагонали матрицы А). Докажите, что след матрицы данного тевзора янлястся инвариантом относительно преобразования базиса. В каждом базисе ем ее, ..., е„линейного пространства В„определим из чисел Ь; как решение системы линейных уравнений где дл символ Кронекера, аь' координаты дважды контра- вариантного тензора [.4]е в этом же базисе, причем бе1[аы) ф О. Докажите, что числа Ьо являются координатами дважды ковариантного тензора в базисе еы сз, ..., ен.
о 2 — 2х Пусть тензор [А], имеет вбазисеси ел матрицу [ 4 4 ). Представьте этот тснзор в виде произведения конариантных тснзоров Щ и [СД ранга 1 и найдите их координаты в том же базисе. Для любого ли тензора типа [2, О) возможно такое представление? Даны симметричный дважды ковариантный тензор [А]о и косо- симметричный дважды контравариантный тензор [В];„имеющие в некотором базисе линейного пространства координаты ар„ и Ь" рр. Тензорн в вен~и!девам пространстве 20! соответственно.
Найдите координаты тензора, получе|щого в результате двойного свертывания произведения [й].",[В]~~ по индексам р и | и индексам д и д, в произвольном базисе. 9. Тензоры [х1][, [В]о! и [С]о! заданы в некотором базисе линейного пространства Вд матрицами (д) З О 2 ' [~) О С = [с,) = [Π— 1 1 О). Найдите координаты тензора, полученного в результате двойного свертывания произведения [А]] [В]о! [С]0 по индексам р и д и по индексам д и |, в произвольном| базисе. 0 2. Тензоры в евклидовом пространстве.
Примеры тензорных физических величин Основные понятия 1. Метрический тензор. Скалярное произведение в евклидовом пространстве са является симметричной билинейной формой. В произвольнол| базисе е|, ез, ..., еа для любых элементов х = хгер и у = удед имеем [х у) = урдх у где дрд —— [ер,ед) = Удр. Числа дрд, как следУет из 0 1, Явлиютса координатами дважды ковариантного тензора. Этот тензор [обозначим его [С]оа) называется новариантным л|етричесним тензором евклидова пространства сн. Свертка произведения метрического тензора [С]оз с контравариантным тензоРом [Х]о!.
имеющим кооРдинаты хд в базисе е|, ез, ..., е„ и определяющим элемент х евклидова пространства Ва, есть ковариантный тензор [Л ]о с координатами хр — — дрдхе, Р = 1, 2, ..., и, [1) в том же базисе. Носредствол| формул [1) при заданном базисе е|, еа, ..., е„каждому элементу х = хде, ставится в соответствие определенный набор чисел х|,ха, ..., тв. Верно и обратное: с помощью формул (1) каждому набору чисел х|, хз, ..., х„можно поставить в соответствие определенный элемент х = хдед. Это следУет из того, что бе![Урд) Р': О [объясните почему), и поэтому для каждого набора чисел х|,хз,...,х„ система уравнений (1) имеет единственное решение относительно Гл.
Р11. Тензоры 202 х', хз, ..., х". Таким обРазом, числа хд, хз, ..., хв можно РассматРивать как координаты (в каком-то смысле) элемента х. Назовем эти числа ковариантныли координатами элемента х в базисе е„ед, ..., е„(в отличие от контравариантных координат х', хз, ..., х"). Чем различаютсн ковариантные и контравариантные координаты элемента х? Контравариаптные координаты элемента х являются коэффициентами разложения этого элемента по базису ел, ед, ..., е„: х = = хдед. КоваРиантные кооРдинаты этого же элемента запишем в виде х„= у„„хд = (е„, ед)хд = (е,хдсд) = (е„,х).
Отсюда следует, что х — это проекция элемента х на базисный элемент е, умноженная на норму элемента ер. Если ел, ез, ..., е„ортонормированный базис, то улд = (ел, ед) = = брд. Поэтому х„= дрдхд = х". Таким образом, в ортонорьлированном базисе ковариантные и контравариантные координаты элеллента совпадают. Переход от контравариантных координат к ковариантным координатак| элемента по формуле (1) часто называют опусканием индекса.
Матрица (дед) метрического тензора [С]02 в базисе ел, ез, ..., е, имеет обратную матрицу (поскольку л101(д„д) ф О). Обозначим элементы обратной матрицы через дед. Тогда ддлд удар~ у1~2~~п (2) Числа д"д р, у = 1, 2, ..., п, являются координатами в базисе е„ез, ..., е„ дважды контравариантного тензора [СЯ, обладалошего тем свойством, что его матрица является обратной для матрицы тензора [С]0 в любом базисе. Тензор [С]„-называется контраварианткыл метрическим текзврозь Он используется для обратного перехода от ковариантных координат элемента х к его контравариантным координатам: чтобы поднять индекс, надо умножить обе части равенства (Ц па д'" и просуммировать по индексу р. Учитывая (2), получаем улгх„= дл"д х' = длхд = х' лд' д 2. Физические примеры тензоров.
При описании многих физических явлений используются тснзоры. На тензорном исчислении основан математический аппарат общей теории относительности. Тензоры находят применение в механике, электродинамике, теории упругости и других разделах физики. Рассмотрим некоторые примеры. Тензор инерпии. Этот тензор вводится при изучении движения твердого тела. Рассмотрим движение твердого тела С относительно прямоугольной системы координат Охлхзхз с началом в центре инерции тела.
Пусть ел, ед, ез -" координатные векторы. Они ХР. Твнзоры в ввввидовол пространстве 203 образуют ортонормированцый базис в пространстве векторов. Ско- рость у произвольной точки ЛХ тела представима н виде у=Ъ+[йг], ~де Ъ вЂ” скорость центра инерции тела (она называется также скоростью поступательного движения тела), й = (Йы Йз, Йз) угловая скорость вращения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции тела (направление вектора й совпадает с направлением оси вращения), г = (х1,хз,хз) радиус-вектор точки М, т.
е. г = ОХ1,[йг] векторное произведение векторов й и г. Кинетическая энергия Т тела С определяется формулой И и где р(М) -- плотность тела в точке М, дх = дх'дхздхз. Используя выражение для у, получаем у~ = Ъ"~ + 2(ЪГ, [йг]) + [йг]з = Ъ з -Ь 2([Ъ'й], г) + й гз — (й г) '.
Так как Ъ' и й одинаковы для всех точек тела, то ЯР(М)([уй] г) ссх = ([Ъ™] ~ЦР(ЛХ)ггХхт. Начало координат выбрано в центре инерции тела, поэтому ~~~р(М)тих = О, с и для кинетической энергии Т получаем выражение: Т = — ЯР(М)Ъс~сХх + — ЯР(М)(й'гз — (й, г)з) йх = Тп + Твр. Первое слагаемое Тп есть кинетическая энергия поступательного движения тела, а второе слагаемое Твр кинетическая энергия вращательного движения тела. Выразим йзгз — (й,г)з через координаты векторов й и г: йзгз — (й,г)з = (Чадо)г — (й;х')(й хд) = й;й (гзбб — х'хо), где оо --.
символ Кронекера. Формула для Твр примет вид Твр —— — И,ИХ 111р(М)(гзоб — х'х') <1х = — !о ИЯ. 2 од/ / 2 Гл, 711. Тензоры 201 Числа 1В = Яр(М)(тгУ' — х|х') с|х, |, | = 1,2,3, нвляются коорди- с| патами в базисе е|, ег, ез дважды контравариантного тензора. Этот тензор называетсн тензором моментов инерции или, коротко, тензором инерции тела.
Координата 1" тензора инерции представляет собой момент инерции тела относительно оси Ох'. Выпишем, например, координату 1||: 1' = ~Цр(М)(т — (х') ) Нх = Ц~р(М)Их ) + (х ) ) |1х. Так как 1о = 12', то тензор инерции симметричен. Поэтому существует прямоугольная систеыа координат От. |х гх з такая, что в соответствующем ей ортонормированном базисе е|, ег, ез матрица тензора инерции имеет диагональный вид: 1н =1', 1" =0 при | ф1'. Величины 1|, 12, 12 называются главными моментами инерции тела, а направления осей Ох', Ох-, Охз .
главными осями инерции. В этой системе координат выражение для кинетической энергии вращательного движения имеет наиболее простой вид: Твр = -', 1' й;-'.. Тензор деформаций. Рассмотрим деформацию некоторого тела. Положение каждой точки М тела до дефорыации определяется Рис. 5 в прямоугольной системе координат Ох|хгхз радиус-вектором ОЙ = = г = 1х', х', хз) (рис. 5).
В результате деформации точка М сместит- 3ХРЬ Тензори в евнвидовол пространстве 305 з дп; = ~ дги дхо, дхе 1=1,2,3, 3 з 3 З 3 (е т = ~(ее Е' = ~ е-; е . = ~ (~ ~ ее) (~ ~",' е") = с=1 ~=1 3=3 3=1 = Тф,'";;)е.е.. 3 3 3 3 (ее ес = ~ е, а" = ~ ( ~ е"" ее) е*' = ~ е"". еее*" ь=1 ь=-1 1=.1 ль=1 Меняя в последней сумме индексы 3 и Й местами (от этого сумма не 3 е ди. изменится), получаем (с1сйс1г) = ~ ' Ыс1х"', и, следовательно, ~- дхь ль=с выражение для скалярного произведения (Йп,Йг) можно записать в виде (с)п, с1г) = ~~~ — ( — ~ + — ', ) сХхе сХх '. хе=1 В итоге для Х0 получается формула 3 ьь=-1 причем у ь = сь..
Формула (4) показывает, что П является квадратичной формой от аргументов с1х', с1хз, с1хз (производные, входящие ся на некоторый вектор и = 1иы из, из), зависящий от координат точки (т. е, и, = иДх',хз,хз)), и займет положение ЛХ'. Деформацию тела в окрестности точки М можно характеризовать изменением длин всевозможных отрезков МХ, где точка 1н' берется из малой окрестности точки ЛХ.
Рассмотрим произвольную точку Хе', близкую к М. Пусть ЛХ)е' = дг = 1пх',сХхз,сХхз) и пусть в результате ДефоРмаЦии точка 33' пеРеместитсн на вектоР и+оп = ~ис+ с1иы из + с1из, из + сХиз) и займет положение Х'. Тогда М'Г»" = с1г + дп (см. рис. 5). Изменение длины отрезка ЛХХ будем характеризовать величиной 3 Р = — (ЛХ'Х' — МЛ ) = — [(дг -Ь с1п)3 — (с1г)3) = (с1п, дг) + — (ап)3. Выразим Х3 через сХх', дхз, с1х~.
Воспользуемся соотношениями Гль Р11. Тензори 206 в ~'1, вычисляются в точке ЛХ). Отсюда следует, что коэффициенты квадратичной формы з 1 /диу дил, т ди1 ди2 ( ю=-1 (51 р„= р1 соз о1 + рз соз оз + рз соз оз, где оы оз, оз .углы, которые единичный вектор нормали п составляет с векторами е1, ез, ез. Разложим векторы р1, р, рз по базисным векторам е1, ез, ез р1 = рыег+Ргзез +Ргзез, Рз = Рме12-Рхзе -Ьрззез, Рз Р31е1 + Р22е2 + Рзлез.
(6) представляют сооой координаты дважды ковариантного тензора в ортоноРмиРованном базисе еы ез, ез, свЯзанном с системой кооРДинат Ох1хзх1. Этот тензор называется тензором деформаций. С его помощью по формуле (4) находится квадратичная форма Р, харак теризующая деформацию тела в окрестности точки ЛХ. Так как;,1. = = Ть, то тензоР дефоРмаций ЯвлЯетсЯ симметРичным тензоРом. Тензор напряжений.
Этот тензор вводится при исследовании внутренних сил, возникающих в упругом тело в результате его деформации. Рассмотрим произвольную точку ЛХ деформированного упругого тела. Через эту точку проведем плоскость, пересекающую тело, и рассмотрим в этой плоскости элементарную площадку о', содержащую точку ЛХ и имеющую площадь дз. Выберем одну из двух возможных сторон площадки д (такой выбор определяется заданием направления нормали и к Я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
