В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Теорема 1. В группе сущещпвует единственная единица. Теорема 2. Длл каждого элемента группы существует единственный обратний элемент. 2. Примеры групп. 1) Если С множество целых чисел, а групповой операцией является сложение целых чисел, то С вЂ” аболева группа по сложению. Нулевым элементом этой группы является число О, а противоположным по отношению к элементу п является число — и. Гл. УПГ Группы Относительно операции умножения множество целых чисел не образует группу, так как не выполнено условие 3': обратным по отношению к целому числу и является число 1/и, но оно не является целым числом при и Ф 1.

Многкество всех рациональных, .множество всех вещественных, множество всех комплексных чисел также являются абелевыми группами по сложению. 2) Пусть й фиксированное целое число. Если С множество всех целых чисел, делящихся без остатка на число й, а групповая операция сложение целых чисел, то С аболсва группа по сложению. 3) Пусть С множество всех вещественных чисел, отличных от нуля, а групповая операция умножение вещественных чисел. Тогда С -- абелева группа по умножению. Единицей группы является число 1, а обратным элементу х является число 1/х.

Если добавить к данному множеству число нуль, то получим множество всех вещественных чисел. Но оно не является группой относительно операции умножения, поскольку число нуль не имеет обратного. Отметим, что множество всех вещественных чисел, отличных от нуля, не является группой относительно операции сложения, так как пе выполнено условие 2' (отсутствует нулевой элемент). 4) Пусть С ..

множестно, состоящее из одного числа 1,. а групповая операция умножение чисел. Тогда С абелева группа по умножению. Замечание. Группа, состоящая из конечного числа элеглентов, называется конечной, а число элементов в конечной группе называется ес порядком. Согласно этой терминологии данная группа является группой порядка 1. б) Пусть С вЂ” множество всех элементов линейного пространства Л. В пространстве Л определена операция сложения ее элементов, которая в силу аксиом линейного пространства является коммутативной и удовлетворяет условиям 1' — 3' определения группы.

Таким образом, множество С с указанной операцией сложения является абелевой группой по сложению. 3. Понятие подгруппы. Определение. Подмножество С1 группы С называется подгруппой группы С, .если оно удовлетворяет двум условиям: 1) если х б Сг, р е Сы то хр е СО 2) если х б Сы то х ' б С1 Очевидно, любая подгруппа группы С сама является группой (с той же групповой операцией), причем единицы группы и ео подгруппы совпадают.

уй Определение группы. Примеры 913 Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определение группы. 2. Какая группа называется абелевой? 3. Что такое группа по умножению и группа по сложению? 4. Пусть С множество комплексных чисел, отличных от нуля, а групповая операция умножение комплексных чисел.

) Образует ли множество С с указанной операцией группу? Если да, то является ли эта группа абелевой? 5. Приведите пример конечной группы. Что такое порядок конечной группы? б. Пусть С множество, состоящее из одного числа О, а групповая операция сложение чисел. Образует ли множества С с указанной операцией конечную группу? Если да, то каков ео порядок и явлнется ли этн группа абелевой? 7.

Пусть С множество всех тп х п-матриц, злезиеатами которых явлнются целые числа, а групповвн операция — сложение матриц. Образует ли множество С с указанной операцией группу? Если да., то явтяется ли зта группа абелевой? 8. Сформулируйте определение подгруппы. 9. Справедливо ли утверждение: подгруппа группы С нвляотся группой? Ответ обоснуйте. Примеры решения задач 1. Пусть С вЂ” множество, состоящее из чисел 1 и — 1, а групповая операция умножение чисел. Образует ли множество С с указанной операцией группу? Если да, то каков порядок этой группы и является ли эта группа абелевой? Прежде всего заметим, что в результате умножении двух чисел из данного множества С получается число, также принадлежащее этому множеству; 1х1=1, 1х( — 1)= — 1, ( — 1)х1= — 1, ( — 1)х( — 1)=1, т.

е. операция умножения пс выводит за пределы данного множества. Условие 1' определения группы выполнено, так как умножение чигел обладает свойством ассоциативности. Далее, число 1 удовлетворяет, очевидно, условию 2', а обратными к элементам 1 и — 1 являются сами эти элементы: 1 х 1 = 1, ( — Ц х ( — 1) = 1. Итак, все условия 1' — 3' определения группы выполнены, и, следовательно, данное множество С образует группу по умножению. Ее порядок равен числу элементов множества С, т. е. равен 2, а так как умножение чисел коммутативно, то эта группа абслева.

А *) ддн упрощении формулировки вопросе (зелени) мы кесто уже в формулировке используем термин "группавен опередил", хотя по постановке зеднчи еще предстоит вынснить, удовлетворяет ли зтн оперении условиям 1 .3 определения группы. Г|ь 'г1В. Группы |и л 2.

Пусть С множество всех невырожденных матриц и-го порядка с вещественными элементами, а групповой операцией является операция ук|ножения матриц. Образует ли мноя|ество С с указанной операцией группу? Если да, то является ли она абелевой? Отметим прежде всего, что произнедение двух новырожденпых ы|атриц с вещественными элементами также является невырожденной матрицей с нещественными элементами, т. е. результат умножения двух таких матриц принадлежит множеству С. Умножение матриц обладает свойстном ассоциативности. Поэтому условие 1' определения группы выполнено.

Единичная матрица 1 и-го порядка невырождена и удовлетворяет условию 2' определения группы (для любой матрицы А из множества С: А1 = 1А = А). Наконец, для ка|кдой невырожденной э|атрицы А с вещественными элементами существует обратная матрица А |, также невырожденнан и с вещественными элементами. Таким образом, множество С с указанной операцией является группой по умножению. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности, т. е.

для произвольных матриц А и В, вообще говоря, АВ ф ВА. Следовательно, группа С не является абелевой. Л 3. Доказать, что множество матриц А(|р) вида |йп у| соз |р гдер."- произвольное вещественное число, образует подгруппу группы невырожденных матриц второго порядка (относительно операции умножения матриц).

Й Прежде всего заметим, что для любого значения у| матрица А(р) невырожденцая, так как |1ег А(р) = 1 ф О. Проверим теперь, выполнены ли условия 1) и 2) определения подгруппы. Для любых у2| и |рз имеем (убедитесь в этом сами, перемножив матрицы А(|р|) и А(|рз)) соз( Р| + (Р2) — з|п(|Р| + Р2) || з|п(ул| + у|2) соз(~р| + |р ) / Тек| самым произведение двух матриц из данного множества является матрицей также из данного множества. Обратной для матрицы А(|р) является матрица (проверьте это) |г соз|р з1пс| 1 / соа( — ф — з1п( — ф 1 ~ — з|п~ соз|р|) ) з|п( — |р) соз( — ф / р П Определение группы.

Примеры 235 Итак, А '(уг) = А( — ~р), т. е. обратная матрица также принадлежит множеству матриц вида (1). Таким образом, выполнены условия 1) и 2) определения подгруппы, и, следовательно, множество матриц вида (1) является подгруппой группы невырожденных матриц второго порядка. д 1 2 3 4 б б 7 8 9 10 11 12 13 Задачи и упражнения для самостоятельной работы Пусть С множество всех комплексных чисел, по модулю раи- ных 1, а групповая операция умножение комплексных чисел. Докажите, что множество С с указанной операцией образует абе- .чеву группу.

Пусть С множество, состоящее из четырех комплексных чи- сел: 1, т, — 1, — т, а групповая операция умножение комплексных чисел. Докажите, что множество С с указанной операцией обра- зует абелеву группу. Чему равен ее порядок? Образует ли группу множество положительных вещественных чисел с групповой операцией: а) х о у = х"; б) х о д = хзуз? Образует ли группу множество всех корней и-й степени из еди- ницы (как вещественных, так и комплексных) относительно опе- рации умножения комплексных чисел'? Образует ли группу множество всех матриц и-го порядка, эле- ментами которых явлнются целые числа, а определитель равен: а) 1; б) 1или — 1; относительно операции умножения матриц? Образует ли группу множество вещественных многочленов сте- пени, не превосходящей и, относительно операции сложения мпо- гочленов? Докагките теорему: в группе существует единственная единица. Докажите теорему; для каждого элемента группы существует единственный обратный элемент.

Докажите, что если для любого элемента х группы С выполнено условие х ох = е, то С - абелена группа. Докажите, что в любой группе равенство ах = б рапкосильно ра- венству т, = а ' Ь. Докажите, что для любых элементов х, у группы выполняется равенство (ху) т = у 'х Докажите, что если х о д = х, то у = е, где е единица группы. Докажите, что если С конечная группа, то для любого х Е С существует такое натуральное число и, что х" = е, где х" произведение и сомножителей, равных т... е "- единица группы.

Характеристики

Список файлов книги