В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 41
Текст из файла (страница 41)
3 3 Ответы и указания 19. а) п — 1; б) и — йпз7(хи...,х, ) 21. а),; б) 2, — 17 22.а) у=х, з=у; б) у=х, х=у; 1 в) У = — (ез — ез + 2ез), х = — (2ез + 4ез 4- Зез + е4); 3 ' 3 1 1 г) У = — ( — де~ 4- Зез + ез + 7е4), з = — (19ез + 11ез -~- 13ез 4- 7ез); 14 14 1 д) у = — (21е~+ 14ез+ 27ез+ 35ез+ 28ез), з = — (бе ~ 4- 13ез — 8ез — ез). 27 27 23, а),, з/Г16; б) ...4. / сов у — вгп у 24.
а) (;) = япу сову О О /совр — япу ОЗ1 б) Я = япу сову О О О 1 / 11/15 2/15 25.() ' = 2/15 14/15 -2/3 1/3 О, („З '= — япу сову О / совр япр Оз, Я '= — япу совр О О О 1 26. с ов(1 — спв у) + сову ад(1 — сов у) — с в|а р ос(1 — сову) + Ьв1п уз1 аЬ(1 — совр) +св1пу Ьз(1 — совр) +сову Ьс(1 — сову) — ав1пу ас(1 — сов р) — Ь яп р Ьс(1 — сов у) + а яп р сз(1 — сов р) + сов у А и базисе Г1 = ег 4- 2ез, Гз = -2ез -~- ез.
Главе Ъ' 1. 2 О 1 . 2.. 3. — с О а 3 -19 2 'б) 1 4 /1 — Ьз 29'1 5. А, = „з ' . * Наиболее просто находится матрица оператора А а базисе Гз = ез -~- Ьез, Гз = †йе1 -~-ез. 1/ 13 — 41 6. А, = — . * Наиболее просто находится матрица оператора Глава ( 5 — 2 2Ь~ 7. А,. = — — 2 8 1 .
* Наиболее просто находится матрипа опе- 2 1 8 ратора А и базисе 1т = 2ег 4-ез — ез, рз = ез 4-ез, Гз = ег 4-2ез О'1 0 1: б) — 1 — у'3 ° ) (О 8. а) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 ' ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 1 0 0 Π— 1 0 0 0 11. а) 0 1 0 0 0; б) О 0 — 1 0 0 0 0 0 0 — 8 0 0 0 — 64 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 — 64 0 1 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 2 ... 0 0 0 1 ...
О 12. а) .; 6) 0 0 0 ... и 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 1 — 1 — 1 ... — 1 0 1 1 1 ... 1 0 0 2 — 1 ... — 1 0 0 2 1 ... 1 а) "' : г) 0 0 0 3 ... — 1 0 0 0 3 ... 1 0 0 0 0 ... и 0 0 0 0 ... и 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 ...
0 ( соз(~рт 4- 'рз 4- ... -Ь ьв„) — а)п(Звд + уз -Ь ... + р„) '') 1 з) (р,+ рве- ..-Ьх„) (х,+хз4-...+х„)( б) сок(~рз — у~) — в)п(айвз — у~) 1 з1п(звз — Ьв~) соз(ф2 — ф~)! соз сзг — з)п Ззз 1 0 14. * Пусть А -- матрица искомого оператора А и том же базисе, и котором заданы координаты эдементон хм хз, хз, уз, уз, уз Тогда с (2 О 1 1 1 = А 3 1 0 . Отсюда находим 1 — 1 2 5 2 0 15. а) 2 — 1 — 1 : б) 0 — 5 — 4 236 Отвагам и указания 16. а) 43 12, б) О О, в) 40 1х, г) множество всех собственных векторон, соответствующих 19. Собственных векторов нет.
20. с(2е~ + (1 Ч- ъ'7)ез) — множество всех собственных векторов, соот- ветствующих собственному значению Л = ч'7; с(2е~ — (1 -~- ч'7)еа) мно- жество всех собственных векторов, соответствую~дня собственному значе- нию Л = — хГ7, где с любое вещественное число, не равное нулю. 21. а) О -- множество всех собственных векторов, соответствую- ЛО/ /сЛ щих собственвому значению Л = 2; О - мнол~ество всех собственных с / Ох, векторов, соответствующих собственному значевию Л = 1; — с мнос жество всех собстненвых векторов, соответствующих собственному значе- нию Л = — 1, где с . любое вещественное число, не равное нуяю; / с х1 б) О множество всех собственных векторов, соответствующих О собственному значению Л = — 1, где с -- любое вещественное число, не / -с~ — сз Л равное нулю; с~ — — множество всех собственных векторов, соса ответствующих двукратному собственному значению Л = 1, где с~ и сз любые вещественные числа, не равные нулю одновременно; 'Н собственному значению Л = 2 кратности 3, где с --.
любое вещественное число, не равное нулю. 22. с~ е~ + (2с~ + сз)ез + се аз + 2сзел -. множество всех собственных векторов. соответствующих собственному значению Л = 1 кратности 4, где с~ и щ любые вещественные числа, одновременно не равные нулю. 24. Если Л ф О . собственное значение оператора А, то 1/Л собст- венное значение оператора А 26. Если Л собственное значение оператора А, то Л вЂ” а - собствен- ное значение оператора А — о1.
27. Если Л вЂ . собственное значение оператора А, то Л "- собственное значение оператора А", а р(Л) собственное значение оператора р(А). 29. Инвариантные подпространства: Ц 0-пространство; 2) (ох~), где х~ — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению Л = 1, с любое вещественвое число: 3) Лф = (с~хе+ сзхз), где хз, хз —. линейно независимые собственные векторы оператора А, соответствующие двукратному собственному значе- нию Л = О., сы сз любые вещественные числа; 4) (са), где а -- фиксированный ненулевой вектор из Л1, с .-- любое вещественное число; Глава одновременно нулю в) собственных векторов нет. 35.,Й7т, з/2к)пп 38. — 2 — 2 3 39.
А"р = ~К(1, а) р(1) Ж. 1 1 1 40. а) ~~ = — (ез — 2ез+ез), Уз = — (2е~ +ел), 1з = ( — ез+ з/В в36 -1- 2сз 4- без) ортонормированный базис из собственных векторов; А,=010 1 ч'2 1 б) ~~ = — (ез -~ ез), 1з = — (ез — ез — 4ез), тз = — (2ез — 2е Ч- ез) ъ'2 6 3 79 О О( ортонормированный базис из собственных векторов; А1 = О 18 О О О 27 в) ~~ = — (2ез + 2ез 4- ез) 3 1 тз = — (2е~ — ез — 2ез) 3 1 уз = —, (ез— 3 — 2ез + 2ез) ортоаормированный базис из собственных векторов; А,= О 18 О /1 1Л 49. А) — — ~ . 2 .
/; А" не является эрмитовым оператором. 1 2 — 1~' /2 — 1 1 4 — зз1 50. 21 — 1 1 -~- 21 — 1 1 О 53. а) Да; б) нет; в) да. 5) (сза+сзх~), где а, х~ --- векторы, введенные выше, а с~ и сз любые вещественные числа; б) пространство Вз. 30. При 1з = я оператор поворота имеет двукратное собственное значение, раваое -1. Любой пенуленой вектор из (лз явлнется собственным вектором, соответствующим этому собственному значению. 31. Собственное значение Л = О; соответсвующие собственные некторы ненулевые векторы, коллинеарные вектору у.
32. Собственное значение Л = О; соответсвующие собственные векторы р(к) = сопел ф О. 33. а) Собственных векторов нет; б) собстненаое значение Л = -1, соответсвующие собственные вектора сзсозаЧ-сзгбпт, где сысз любые вещественные числа, не равные Ответы и указания 238 Глава Ъ'1 1. Канонический вид квадратичвой формы и преобразование переменных определяются неоднозначно. Приводим один из возможных вариантов ответа: 0,5 !)з 2( з)з + 2( з)з 2( 4)з 0,5 0 !г1 1 Оь! б) (у')з -!-(уз)з -!-(уз)з! 1' = О 1 2 Х; 0 0 1 1 0,5 в) (у') — (уз)з -!- (у ) — (у ); у = 0 0 /1 О Оз! г) -(у') +(у ) 4-(у ); 1'= 1 О 1 0,5 0 0 — 0,5 0 0 0 О, 5 О, 5 0 0,5 — 0,5 0 0 0 0 0,5 0,5 /т' 'з где Х= тз, 1'= з ! 55.
а) Собственные значения равны — 1 и 1; )'! = — (е! + Ьез), гз = ъ'2 1 = — (ез — Ьег) — ортонормированный базис из собстненных векторов; ъ'2 1 б) собственные значения равны — 1 и 5; 1г = — ((2+ !)ез — ез), ъб 1 = — (ез ф (2 — !)ез) ортонормированный базис из собственных векЪб торо!в 1 56.
Собственные значения 1 и 3! 1з = — (ег+(ез), 1з = ез, зз = и'2 ! = — (е! — гез) - ортонормированный базис из собственных векторов. и'2 58. а) Нет; б) да. 59. а) Да! б) нет. 1 61. Собственвые значения 1 и — з; зз = ((1+ ъ'2)4е! ф ез), ъГ4-~- 2ъ2 ! 1з = (е! + (1+ ъ'2)1ез) —. ортонормированный базис из собственЪ442ъ2 ных векторов. 1-из 1-~-з 1 62. Собственные значения равны 1,, —; 1'! = — (е! +Ьез), 1 1 з'з = — (ез — Ьез — ъг2ез)., тз = — (ез — (ез -!- ъ'2ез) ортонормированный 2 2 базис из собственных векторов.
-2! 1 — 21 4 64. — 1 — 2! 0 — 1 -!- 4з; нет. ! 1 4- 41 21 65. Не всегда. * Воспользуйтесь задачей 64. 67. 2!(азбз — азбз)о! — 2з(агуз — азбз)оз + 2НазЬз — азбз)оз. Глава 1 1 ьг5 2 /6 — 1 2. а) -(у') + (уг) + (уз)~; Х = — -2ьг5 з/6 2 1'; з/5 О 5 1/з/2 1/Зз/2 2/3 б) 9(У') ~- 9(У ) + 27(У ); Х = 1/ь/2 -1/Зъг2 -2/3 О -4/Зз/2 1/3 /2 2 1зг в) 9(уг)г + 16(уг)г О~уз)з Х 2 1 2 У 1 — 2 2 1 О 1 О г) (у')'+ (рз)з (у')а — (г,')', Х = — ' ' " у. згг О 1 Π— 1 2 2 1зг д)41у) +(у) — 2(у)':, Х= — — 2 1 2 У; 1 — 2 2 / 2 2 1з1 е) 21у')л — (ул)~ -~- 5(гуз)г; Х = — -1 2 -2 у; — 2 1 2 /дй (,::) 6.
бь = ( — Ц~г5ь, где бг и г5ь — угловые миноры порядка 1г матриц квадратичных форм я(х, ..., ха) и — я1х, ..., х"). 7. * Воспользоваться примером 3 на с. 166, взнв в качестве матрицы А единичную матрицу, а в качестве Р матрицу С. 8. * Воспользоваться примером 3 на с.
166, азнв в качестве .4 лгатрицу А , а в качестве Р матрицу А б) Для произвольного г найти значение квадратичной формы Л «АЛ прих'=1, х'=Оофг). 11. а) Нет; б) нет. 12. Отрицательно определенная, если Ь < — 5. 13. Нананический вид и матрица перехода определяются неоднозначно. В качестве ответа к п. 2' можно взять матрицу, обратную матрице преобразования из упр. 1 а)-г). Например: а) 1 ) В(х гу) хгуз л «гуг + тзуг л хауз, 2 ) 25гуг 26зг1з+ 25зг1з 264 г 1 1 О О 240 Ответы и указания 1') В!Х,у) = х уз+ х1уз+хзу + 2хзуз-1-2хзуз+ 2хзу + 5хзу~; )21 -1 21) 2') с'О' з-с 0 -'ге~О: 0 1 -2 '20 О 1) 14.
Канонический вид и матрица перехода определиются неоднозначно. В качестве ответа к и. 2' можво взнть матрицу, трвнспонированную по отношению к матрице ортогонального преобразонапив из упр, 2, а) — ж). 1 0 1 0 Н р 1: г) 2') 1'!!' -Ь ~20' — 120' — 5'11'! — О ъ'2 0 1 0 — 1 17. а) !2 = агсвш ( — — '3 ), О'!О, — 1); 1') !уп)~ = 0 !две совпадающие '!37 ' прнмые); 2') 1уп)' = — хп !парабола); п)2 )! П)2 б) 72 = —, О'( — 2, — 3); 1') 1хп) -1- — = 1 !эллин~); 2') 1хп)2 -Ь— 4 0,5 0,5 = 0 1вырол1денный эллипс .-. точка); в) 22 = —, О'12/2! 0), — Ч- — ' = 1 !эллипс); (хп)2 Ьп)2 г) 92 = агсз!и, О' (17 —, )! — ), 1хп) — = 1 !гипербола); д) 92 = агав!и, О'(, ), — — — ' = 1 !гипербола); ХТ7 32! 17 527Т7 25 9 е) 92 = агсып —, О'10,0)! у' = 27' !парабола).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
