В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть на выбранную сторону площаддр ки о действует упругая сила др. Отношение ра = — называется дз механическим напряжением в точке ЛХ на элементарной площадке Я с нормалью и. Проводя различные плоскости через точку ЛХ, т. е, поворачивая плошадку Я, будем получать различные значения вектора р„ в одной и той же точке ЛХ. Следовательно, напряженное состояние упругого тела в данной точке М не может быть описано одним вектором. Оказывается, чтобы описать напряженное состояние в точке ЛХ, достаточно знать механическое напряжение на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку ЛХ. Введем прнмоугольную систему координат ЛХх'хзхз с началом в точке М и координатными векторами е1, ез, ез.
Пусть рг, рз, рз — механические напряжения в точке М на элементарных площадках ог, 52, Яз, норл1али к которым имеют такие же направления, как векторы е1, ез, ез. Тогда механическое напряжение р„в точке ЛХ на элел1снтарпой площадке Я с нормалью п = (салол,созоз,созоз1 выражается формулой Э2. Тензоры в евнлндовож пространстве 207 Если числа р,. для данной точки ЛХ известны, то формула (5) позволяет определить напряжение в точке ЛХ на любой элементарной площадке с заданным вектором нормали п. Вычислим проекцию э|еханического напряжения ро на направление нормали п. Используя формулы (5) и (6) и учитывая, что (езч п) = = сов а, получаем "'-( --")-( ( "")--")= |=| |=| з=| р, сова, сова . |.|=| Можно показать, что р,.
= р о Таким образом, проекция вектора р„ на направление нормали п ляпнется квадратичной формой от аргуэ|ентов сова|, сов аз, сов аз. Отсюда следует, что коэффициенты квадратичной формы — - числа р„.. - явлнются координатами дважды ковариантного тензора в базисе е|, ез, ез. Этот тензор называется тензорож ноорялеений. Он полностью характеризует напрнженное состояние тела в данной точке ЛХ.
В физике обычно используются следующие обозначения длн координат тензора напряжений: Рьь — оь Рьг = гы (| у' н). Координата оь тензора напряжений (к = 1,2,3) представляет собой нормальную составляющую механического напряжения ре на элементарной площадке Яь, а координаты гы (г ~ Й) являются касательными составляющими вектора рь, т. е. лежат в плоскости Вы Так как т|ь = ты, то тензор напряжений --. симметричный тензор. В различных разделах физики находят применение тензоры и более высокого ранга, чем в рассмотренных примерах.
Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение ковариантного метрического тензора. 2. Что такое коэеркектныо к контреверкевтоые координаты элементе евклидова пространства? Дайте их геометрическую интерпретацию. 3. Как связавы между собой коварнантные и нонтравариантные координаты элемента евклидова пространства в ортонормированаом базисе? 4. Что такое контравариантный метрический тензор? 5. Как связаны между собой матрицы ковариаятного и ковтравариаптного метрических тензоров? 6. Какая физическая величина и каким образом выражается через тензор инерции? Какое физический смысл координат этого тепзора с двумя одинаковыми индексами? 7.
Какое физическое явление характеризует тензор деформаций? Какая величина и каким образом выражается через этот тензор? Гл, 17й Тензоры 208 8. Какое физическое явление характеризует тензор напрялгений? Каков физический смысл координат этого тензора? Примеры решения задач 1. Доказать, что матрица метрического тензора в любом базисе является невырожденпой матрицей. 2"1 Пусть С -- матрица метрического тензора, т, е, матрица симметричной билинейной формы [х,д), в каком-то базисе ег,ез, ...,е„. Покажем вначале, что если С невырожденная матрица, то и в любом другом базисе матрица метрического тензора является невырожденной. При переходе от базиса 31, ез, ...,е„к другому базису с помощью матрицы перехода С матрица С билинейной формы переходит в матрицу СТСС. Воспользуемся равенством 11ег СтСС = 11ег С 11е1 С г1ес С = (11с1 С) 2 11с1 С. Так как матрица С преобразования базисов невырожденная, то с1ес С Г О.
Поэтому если матрица С невыроркдепная, т. е. с1есС ф О, то и г)егС2СС д: О, т. е. матрица СтСС невырожденная. ПуСтЬ Е1, Е2, ..., Ен — — ОртОНОрМИрОВаННЫй баЗИС. ТОГда, КаК бЫЛО показано Ранее, др = дрч, и поэтомУ г)е1 С = с)е1[дрч) = 1. Отсюда следует, что матрица метрического тепзора в любом базисе является невырожденной. А 2. В линейном пространстве Лз в базисе е1, ез, ез задана лчатрица /1 1 О~ С„ = [д„) = [11 5 дважды ковариантного тензора [С]ез.
Доказать, что этот тензор люлгно трактовать как метрический тензор пространства Лз. Тензор [С]2 можно будет назвать метрическим тензором пространства Лз, если мы покажем, что скалярное произведение элементов т, = хрер и д = д"р„можно ввести по формуле ( ) р 2 1 1+ 1 2+,2 1+2 2 2+2 2 3+2 3 2+ 3 3 Чтобы это показать, нужно проверить выполнимость всех аксиом скалярного произведения. Тот факт, что перные три аксиомы имеют место, очевиден.
Обратимся к последней аксиоме. С этой целью квадратичную форму (х х) = [х')2+ 2х хз -~-2(х2)2+ 4хзхз -~-5(хз)2 приведем методом Лагранжа к каноническому виду [х,х)=(х +х) +(х +2х) +(х). 92. Тензори в евнвидовол пространстве Отсюда следует, что [х,х) > 0 для всех х, кроме случая, когда 909 < х'+ хз =О, хе+ 2хз =О, хт =О Итак, контравариантные координаты элемента х в заданном базисе равны 2, 1, — 1. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 10. В ортонормировапном базисе ет, ез евклидова пространства элемент /1 имеет координаты 1 и О, а элемент / координаты т/3/2 и 1/2: а) убедитесь в том, что элементы /т, /з образуют базис; б) найдите координаты метрического тензора [С]~~ в базисе /т, /з; в) найдите координаты контравариацтпого метрического тензора [С)оз в базисе /т, /з; г) напишите выражение скалнрного произведения [х,д) через координаты элементов х, д в базисе /ы /з.
Эта система уравнений имеет единственное решение х' = хз = хз = О. Таким образом, [х, х) > О, причем [х, х) = О только в том случае, когда х --- нулевой элемент, т. е, четвертая аксиома имеет место. Итак, формула [х, д) = д „хпд» задает скалярное произведение в пространстве Лз, и поэтому [С[о ковариантный метрический тензор в этом евклидовом пространстве. А 3. В евклидовом пространстве, рассмотренном в примере 2, найти матрицу контравариантного метрического тензора в базисе ет, ез, ез.
По определению контравариантного метрического тензора его матрица С~ является обратной к матрице С, ковариантного метрического тензора [С)оз. Вычислня элементы обратной матрицы, находим 6 — 5 2т 2 — 2 1 4. В евклидовом пространстве, рассмотрешюм в примере 2, найти контравариантные координаты в базисе еы ез, ез элемента х, илиею- щего в том же базисе ковариантные координаты 3, 2, — 3. По формуле [3) х' = д'" . хр, где д'" элементы матрицы Ст, найденной в примере 3.
Поэтому хт=6 3+[ — 5) 2+2 [ — 3)=2, хз = [ — 5) 3+ 5 2+ ( — 2) . [ — 3) = 1, хе=2 3+[ — 2) 2+1 [ — 3)= — 1. 210 Гл. 1'73 Тензоры 3 11. Дана матрипа 3 10 1 ковариантнаго метрического тензо- 1 1 6 ра в некотором базисе ем ез, ез трехмерного евклидова пространства: а] найдите ковариантные координаты элемента х в базисе ем ез, ез, если известны его контравариантные координаты в том же базисе х' = -2, хз = 1, хз = -1 б] найдите контравариантные координаты элемента у в базисе еы ез, ез, если даны его ковариантные координаты в том же базисе у0 = О, уз = -3, уз = 4.
12. Найдите двойную свертку произведения [С]оа [СЯ метрических тензоров и-мерного евклидова пространства. 13. Трижды ковариантный тензор [АД имеет координаты о,.а в базисе ем аз, ...,е„п-мерного евклидова пространства, а контравариантный метрический тензор [СЯ имеет в том же базисе координаты дгч. Определим координаты в том жс базисе тензора [А]-' равенствами а,"" = уиуалацы р,д,й = 1,2, ...,п. Выразите координаты тензора [А]з через координаты тензора [А]з. 14. Тензор, имеющий координаты аг в базисе емез,...,е„п-мерного евклидова пространства, определяет линейный оператор А. Найдите координаты тензора, определяющего сопрнженный оператор А* в том же базисе. ГЛАВА УП1 ГРУППЫ й 1.
Определение группы. Примеры Основные понятия и теоремы 1. Понятие группы. Определение. Множество С элементов любой природы называется группой, если на этом мно'кестве задана операция (обычно ее называют умножением), ставящая в соответствие каждой упорядоченной паре элементов х, у из С однозначно определенный элемент г Е С (обозначение: г = ху или г = х о у) так, что при этом выполнены следующие условия (аксиомы группы). 1'.
Чх,у,г из С: (ху)г = х(уг) (ассоциативность групповой операции). 2'. Существует элемент е Е С такой, что э'х 6 С: хс = ех = х (элемент е называется единицей группы). 3'. 'эх Е С существует обратный ему элемент х ь Е С такой, что хх ' = х 'х = е. Определение. Группа С называется колснутативной или абелевой, если групповая операция коммутативна, т, е, Чх, у из С: ху = = ух Групповую операцию в коммутативной группе часто называют не умножением, а сложением (пишут г = х + у); в этом случае единицу группы называют нулевым элементом и обозначают У, а элемент, обратный элементу х, называк)т противополоэкныл по огпнощению к элементу х и обозначают — х. В соответствии с названием грушзовой операции (умножение или сложение) будем называть группу группой по умножению (относительно операции умно;кения) или группой по сложению (относительно операции сложения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
