В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду одним линейным невырожденным преобразованием Основные понятия и теоремы 1. Теорема о приведении двух квадратичных форм к каноническому виду. Пусть даны две квадратичные формы: положительно определенная квадратичная форма Ц(х', ...,х") с матрицей А и произвольная квадратичнал форма С(х', ..., х") с матрицей В. Многочлен (относительно переменной Л) бог( — ЛА) называется Л-многочленом этой пары форм.
Теорема 7. Существует невырождвкков линейное преобразование. переменных, приводяигвв обв квадратичные формьс положительно определенную квадратичную форму ®(х', ...,х") и квадратичную 45. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду 18б форму С(хг„...,х") ь каноническому виду, причел~ все коэффициенты квадратичной формы 11 равны 1, т. е, она приводитсл к сумме квадратов переменных, а канонические коэффиииенты квадратичной формы С равны корням Л-многочлена этой пары форм. 2.
Алгоритм приведения двух квадратичных форм к каноническому виду одним невырожденным линейным преобразованием. 1'. Находим (описанными в у 1 методами) невырожденное линейное преобразование переменных Х = ЛУ, приводящее положительно определенную квадратичную форму я(х, ..., ха) к сумме квадратов: д(у',.,у") = ~.(у')э ь=1 2'. При этом преобразовании квадратичная форма С(хг, ...,х") с матрицей В переходит в квадратичную форму С( 1 а) Нт С 1." с матрицей С = ЛтВЛ.
3'. Квадратичную форму С(у', ...,уа) ортогональным преобразованием 1 = РХ приводим к каноническому виду: С(г', ..., га) = ~~ Ль(гь) . ь=-1 4'. При ортогональном преобразовании 1' = РХ квадратичная форма 1у(у', ",у") = ~(уь)э ь=г переходит снова в сумму квадратов: Ф",—,Эа) = Е(")' ь=г Таким образом, невырожденное линейное преобразование Х = = ЛРУ, являющееся произведением преобразований Л = Л1' и Н = = РУ, приводит обе данные квадратичные формы к каноническому виду.
Контрольные вопросы и задания 1. Какие две квадратичные формы можно привести одним невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду'? 2. Что такое Л-многочлен пары квадратичных форм? 3. Докажите, чта ортогональное преобразование переводит сумму квадратов переменных снова в сумму квадратов переменных. 4. Изложите метод одновременного приведения пары квадратичных форм, одна из которых положительно определенная, к каноническому виду.
з во. вжхччь еле Гл. $7. Квадратичные и Оилинеаные форели Пример решения задачи Даны каадратичпые формы Е(',. "-,*з) = Хт 4Х (хе)г + 17(тг)г + 3(хз)г + 4х~хг — 2х~хз 14хгхз С(х', х", хз) = Хт ВХ = (х')г — 15(хг)г + 4х'хг — 2х'хз + бх хз. Привести эту пару форм одним ненырожденпым линейным прсобразонанием переменных к каноническому виду. Ь Составим матрицы А и Б квадратичных форм Я и се; А= 2 17 -7, В= 2 -15 3 Матрица А положительно определенная, так как нсс ее угловые миноры положительные: б1 = 1, дг = 13, бз = 1.
Для решения задачи применим метод, описанный а п. 1. 1'. Приведем неаырожденным линейным преобразованием Х = = 771' квадратичную форму (,)(х', .х", хз) к сумме квадратов ~(д ) . е=л С этой целью воспользуемся сначала методом Лагранжа. Выделим полный квадрат по переменной х'. Я(х', хг, хз) = [(х')г + 4х~хг — 2х~хз) + 17(хг) + 3(х~) — 14хгхз = = (х' + 2хг — хз)' + 13~х~)г + 2(хз)г — 10хгхт. Далее выделим полный квадрат по переменной хг: хг Я(х',хг,хз) = (х' + 2хг — хз)г + 2(хз — — хг) + — (х~)г = 2 2 = (е') + — (е )'+ 2(6 ) = (~1(и',и',6 ), где 1 г+2 г г,г *+,г 2 Это преобразование персмсаных могкно записать в матричном виде: /1 2 -1~г 1 =7д.х= ~О -1 О) Х.
О -5/2 1 Сделаем теперь преобразование переменных ие „г 1,г „г,72 иг рве. Приведение двух квадратинких а1орм к каноническому виду ~87 или 1 О О У = 511х = О 1/х/2 О 14 О О ъ/2 Оно приводит квадратичную форму Я(и', оз,ез) к сумме квадратов: Ч1(у',1д', у') = ~ (уь)' ь=~ Итак, преобразование Х = ЛУ, где Л = Р ~ . Г ~ = (5Г. Р) приводит квадратичную форму я(х~, хз, хз) к сумме квадратов. Вычисляя матрицы 5г Р и Л, получаем 5 5 1 2 — 1 1 1/т/2 1/х/2 5г Р = О 1/х/2 О Л= О 1/2 ΠΠ— 5/т/2 х/2! 1, О 5/т/2 1/х/2/ 2'. Найдем матрицу С = Лт ЛЛ квадратичной формы С(уг, у-', уз), перемножив указанные матрицы. Имеем /1 О О С= < О -1/2 5/2 О 5/2 — 1/2/ и С(у', у-', уз) = (у')а — -(у~)~ — -(уз)а + 5у'у~.
3'. Ортогональным преобразованием У = РХ приведем квадратичную форму С(у',.уз, уз) к каноническому виду. Характеристический многочлен матрицы С 1 — Л О О ес(С вЂ” Л1) = = (1 — Л)(Л+ 3)(Л вЂ” 2) имеет корни Л~ = — 3, Лз = 1 Лз = 2. Найдем попарно ортогональные нормированные собственные векторы матрицы С. Для Л = — 3 матрица однородной системы уравнений относительно координат собственных векторов имеет вид /4 О ОЛ С вЂ” Л1= < О 5/2 5/2). О 5/2 5/2 1 — — — Л 2 о 2 5 2 1 — — — Л 2 1л. 17. Кеадрагаиеные и билинейные форели ~88 Ее ранг равен 2, и фупдаментальнаи совокупность решений системы состоит из одного решения (сразу выберем нормированное решение) Г> — — 1/х/2 — 1/т/2 Аналогично, для Л = 1 получаем /О О О С вЂ” Л1 = 1 О -3/2 5/2 О 5/2 — 3/2/ и фундаментальная совокупность решений состоит из одного решения е,=(е) Наконец., для Л = 2 имеем / — 1 О О С вЂ” Л1 = ~ О -5/2 5/2 О 5/2 — 5/2/ и фундаментальная совокупность решений состоит из решения Рз = 1/ъ2 Так как все три собственных значения матрицы С различны, то собственные векторы Ры Ра, Рз попарно ортогональны.
Они являются столбцами искомой матрицы Р ортогонального преобразования. Итак, ортогональное преобразование 1 = РУ, где О 1 О Р = 1/т/2 О 1/т/2 Л вЂ” 1/х/2 О 1/х/2 приводит квадратичную форму С(р',уз,цз) к каноническому виду С1з, з, з~) = — 3(з ) + (е ) + 2(ез) . 4'. При ортогональном преобразовании 1' = РХ квадратичная форма ф„1 „а „з) ~ ~„ь)з ь=е рой Приведение двух квадратичных уторм к каноническому виду 189 вновь переходит в сумму квадратов: з д~ 1 2 3) ~ ~ ь)2 1=1 Таким образом, невырождепцое линейное преобразование /О 1 1Л Х=ЯРЯ=11 О 1) l, 2 О 3 или 2 1+ 3 хз = 221+ 322 приводит обе квадратичные формы Я(х1, т,', хз) и С(х1, хз, тз) к каноническому виду.
Проверим, что канонические коэффициенты формы С12',2',хз) являются корнями Л-многочлена с1ет( — ЛА). Вычислим определитель 1 — Л 2 — 2Л вЂ” 1+Л с$ет( — ЛА) = 2 — 2Л вЂ” 15 — 17Л 3+ 7Л вЂ” 1+ Л 3+ 7Л вЂ” ЗЛ 1 = (1 — Л) 2 — 2Л Л вЂ” 1 2 — 1 — 15 — 17Л 3+ 7Л 3+ 7Л вЂ” ЗЛ 1 2 — 1 (1 — Л) Π— 9 — ЗЛ Л+ 3 Л вЂ” 1 3+ 7Л вЂ” ЗЛ 1 2 = (1 — Л)(Л + 3) О -3 Л вЂ” 1 3+7Л вЂ” 1 1 = (1 — Л)(Л+ 3)(Л вЂ” 2).
— ЗЛ Отсюда видно, что Л1 = — 3, Лх = 1, Лз = 2, т. е. корни Л-многочлена совпадают с каноническими коэффициентами формы С, д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 19. Приведите две квадратичные формы су и С одним новырожденным линейным преобразованием к каноническому виду, если; а) Я(х1 хз) = (х1)2 — 2ттха+4(хз)2 С(х1 хх) = — 4хтхз. б) Я(х1,хз) = (х1)2+ 26(хз)2+ 10х'хх, С(х1 хз) — (хт)2 Ч 55(хз)2 + 1бхттз. в) Я(хт,хз,.хт) = 4(х1)2+ 3(х2)2+ (хз)2 + 4х'хз — 2хххз С(х1 хз х1) = — 4(х1)2 + 3(хз)2+ (хз)2 — 4х1хз — 2ххх'. Выпишите это преобразование.
Улчножив последнюю строку на 2 и прибавив ко второй строке, получим ГЛАВА УП ТЕНЗОРЫ й 1. Тензоры в п-мерном линейном пространстве Основные понятия и теоремы 1. ПРимеРы. ПУсть еы еэ, ..., е„и 1ы 1з, ..., 1„базисы в и-меР- ном линейном пространстве Л,„., и пусть переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью матрицы С = (с"): 1д = одер, Ц = 1, 2, ..., о. Если е = (е1еэ ...е„) и ~ = ® д'э ...~„) строки из базисных элементов, то равенство (1) можно записать в матричной форме: 1 =еС. Обратный переход от второго базиса к первому осуществляется с помощью обратной матрицы С ~, элементы которой обозначим через с": е =1С 1, или ед = сгд,)р, д = 1, 2, ..., п. (2) В формулах (1) и (2) использована краткая запись суммирования: если в ваком-либо выражении встречаются два одинаковых индекса, причем один верхний, а другой нижний, то такая запись означает суммирование по этому индексу.
Иначе говоря, запись с",ер есть краткое обозначение суммы ~ с",ер. Отметим, что выбор буквы для р=1 обозначения индекса, по которому ведется суммирование, несуществен; так, например, с,'е, = слер. Если же одинаковыми являются два д д д 'Р' нижних (или два верхних) индекса, то по такому индексу суммирование не ведется.
Например, с"ед означает одночлен, а не сумму ~~ с" ед. д=д Базис в линейном пространстве позволяет описывать многие объекты, связанные с этим пространством, в виде упорядоченной совокупности чисел . координат этих объектов в заданном базисе. Приведем примеры.
Пример 1. Пусть на вещественаом линейном пространстве Н„ определена числовая функция р (х) (т. е. каждому элементу т из Лр 41. Тензоры в п-мерном линейном пространстве 191 поставлено в соответствие некоторое число х'(х)) и пусть для любых х, у из Лп и любого вещественного числа о функция Г(х) удовлетворяет условиялс 1) Е(х + у) = Е"(х) + Р'(у); 2) Е(ох) = оГ(х). Тогда функция Ь"(х) называется линейной формой (или линейным функционалом), определенной на линейном пространстве Л„. Раскладывая произвольный элемент х по базису е|,ез,...,еп: х = = хое, приходим к равенству Е(х) = Ьохо, где Ье — — с'(е ).
Это равенство показывает, что линейная форма г (х) определяется в базисе е|, еа, ..., ен и числами Ь|, Ьз....., Ьп: чтобы полУчить значение линейной фоРмы на элементе х = хоев, нУжно вычислить сУммУ Ьохо. ПРи переходе к базису Т21, Тз,, Т"„элемент х будет иметь представление х = х "1„, а Е(х) = Ь„х", где Ьо — — с'(То) = Е(спер) = с'о"(е,) = соЬр, т. с. (3) Таким образом, в базисе 11, Гз, ..., Гп линейная форма Е(х) определяется п числами Ь1, Ьз....., Ьн, которые выражаются через числа Ь1, Ье, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
