В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Множества всех собственных векторов, соответствующих собственному зпачеци~о Л = 1, дает линейная комбинация элементов хз и хз. .х = =с~хо+ сзхз — — сзЯлГ2)е, + с1ез+ сз(1+ 1/ъе21ез, где сы сз —. произвольные комплексные числа, одновременно не равные нулю. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 49. Линейный оператор А, действуюгдий в унитарном пространстве Ез, имеет в ортонормированном базисе еы ез матрицу А, = 2 1+гЛ . ) . Найдите матрицу сопряженного оператора А* в базисе ~ы ?з, если ?л = е1+ ез, ?з = ез — ?ез, Является ли оператор А* эрмитовым? 50.
Пусть еы ез, ез ортонормированный базис в унитарном пространстве Ез, з'д = ее, зй = ле1+ей., з'з = — 1е1 + ей+ ез. Линейный оператор А, действующий в этом пространство, имеет ,~1 — 1 0~, в базисе ~ы 1з, 1з матрицу Ае = ~0 О 1) . Найдите матрицу 1 О 1 сопРЯженного опеРатоРа А* в базисе ~м 1з, рз. 51. Докажите, что коэффициенты характеристического многочлена оператора А, действующего в унитарном пространстве, являются комплексно сопряженными по отношению к соответствующим коэффициентам характеристического многочлена сопряженного оператора А*.
52. Пусть х — собственный вектор линейного оператора А, действующего в унитарном пространстве, отвечающий собственному значению Л, у собственный вектор сопряженного оператора А*, отвечающий собственному значони~а р, и Л ф р. Докажите, что х и у ортогональны.
53. Является ли эрмитовым линейный оператор, если в некотором ортонормированном базисе он имеет матрицу; а) . ; б) . ; в) 1 + л 3 1 ? 54. Докажите, что если у эрмитова оператора .4 есть обратный оператор А ', .то он также является эрмитовым оператором. Э4. Линейные операторьг е унитарнозг проетранетее 155 55. Найдите собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов эрмитова оператора, заданного в ортонор- мированном базисе е„еа матрипей: 56.
Найдите собственные значении и ортонормированный базис из собственных векторов эрмитова оператора, заданного в ортонор- ( 2 О гг, мированном базисе ег, еги ез ."|атрицей ~ О 3 О) . — г О 2 57. Докажите, что собственные векторы эрмитова оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. 58. Является ли унитарньгм линейный оператор А, действующий в унитарном пространстве Ег, если: где ег, ег ортонормированный базис. 59. Является ли унитарным линейный оператор А, имеющий в ортонормированном базисе унитарного пространства матрицу: а) — . '; б) О 1 0 ? 60. Может ли матрица унитарного оператора в некотором базисе быть неунитарной? Ответ обое.нуйте.
61. Найдите собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов унитарного оператора, имегощего в ортонормированном базисе ег, еа матрицу — ~ 1 /. 62. Найдите собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов унитарного оператора, имеющего в орто- нормированном базисе ег, ез, ез матрицу 63. Докажите, что если линейный оператор А, действующий в унитарном пространстве, сохраняет нормы элементов, то А унитарный оператор.
) ( . г),' б) 2 1+2г, а) Аег = — ег + ег, 3 3 2 г б) Аег = — ег -~- — ег, Л Л 1-~-2г 2 Аег = ег — — ег', 3 3 г 2 Аег = — ег + — ез; /5 Л Гж Г Линейные оператпоры ща 64. Найдите матрицу коммутатора (А,В), где А, В эрмитовы операторы, действующие в унитарном пространстве Ез и имеющие в некотором ортонорлеированном базисе матрицы А = ΠΠ— 4 и В = 4 1 †Является ли оператор (А, В) эрмитовым? 65. Является ли коммутатор зрмитовых операторов эрмитовьж4 оператором? 66. Пусть а4, аз, ат, а4 — линейные операторы, действующие в УнитаРнол4 пРостРанстве РазмеРности 2, пРичем аы оз, аз операторы из примера 8 на с.
152, а 64 = 1 -- тождественный опеРатоР. Докажите, что опеРатоРы аы Нз, Нз, а4 обРазУют базис в пространстве В всех линейных операторов, действующих в данном унитарном пространстве. 67. Пусть А и В два линейных оператора, действующих в унитарном пространстве размерности 2 и имеющих следующие разложения по базису ол, оз, аз, о4 из задачи бб: А = аеал + азеез + азбз + аеа4, .В = 54о4 + бзоз + бааз + беее4.
Найдите разложение по базису а4, о, аз, 64 коммутатора (А, В). ГЛАВА У1 КВАДРАТИЧНЫЕ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ З 1. Определение квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы Основные понятия и теоремы 1. Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Определение. Квадратичной формой называется функция чи- СЛОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Х1, ..., Хи СЛЕдуЮщЕГО ВИда: и С,г(х, ...,хи) = ~ апх'хз, (ц Ь1= 1 где аг — вещественные числа (коэффициенты квадратичной формы), удовлетворяющие условию ао — — а г Матрица .4 = (а; ) с размерами и х п называется матрицей квадратичной формы.
Из определения квадратичной формы следует, что ее матрица является симметричной. Например, матрицей квадратичной формы Я(х,х,хз) = 2(х') — Зх'х + 4х'хз -ь 5(х ) — 8х хз+ (хз) является симметричная матрица А= — 15 5 — 4 Чтобы составить матрицу А, нужно данную квадратичнунз форму записать в виде (Цг а для этого нужно смешанные члены — Зх'х'-г 4х'хз, — 8хахз представить в виде суммы двух равных слагаемых: — 1,5хгха — 1,5х~х~. 2хгхз + 2хзх1, — 4х'хз — 4хзхз. Квадратичную форму (Ц можно записать в матричном виде с„г(х', ...,х') = Л'тАХ, где Х столбец пеРеменных х" г...,х", Хт стРока, полУченнан транспонированием столбца Л, А --. матрица квадратичной формы.
1"л. !7. Квадратичные и билинейные формы 2. Преобразование матрицы квадратичной формы при линейном преобразовании переменных. Рассмотрим линейное првобРазование пеРеменных У1г ..., Уи в пеРеменные х1, ..., х": х1 = р1у1+р1уз+ ... +Р1,у", Р1У + Р2У + " + Рпр и и 1+ и 2+ +„и и здесь р' - вещественные числа (коэффициенты линейного преобразования). Это преобразование переменных можно записать в матричном виде (2) Х = Р1; где Л' столбец переменных х1, ...,хиг У столбец переменных у1, ..., у", Р = (р'.) . —. матрица линейного преобразования. Если Р невырождовная матрипаг т.
е. 11е1 Р ф О, то преобразование (2) называется невырожденным. В этом случае существует обратное преобразование переменных х', ..., х" в переменные у', ..., уи 1'=Р 'Х. Если 11еьР = О, то преобразование (2) называется вырожденным. При линейном преобразовании переменных (2) квадратичная форма !;) = ХтАХ переходит в квадратичную форму Ц = 1'тВГ с матрицей В = Р1АР. 3. Канонический вид квадратичной формы. Теорема 1. Любую квадратичную форму я = ~ аз хзхз г,1=1 невырожденным првобразованивл1 Х = РУ можно привести к виду Выражение (3) называется канани 1вским видом квадратичной форМЫг а ЧИСЛа Л, (1 = 1, ...,П) ЕЕ КаНОНиЧВСКиМи КОЭффициЕНтали.
Матрипа квадратичной формы Я, имеющей канонический видг является диагональной матрицей с элементами Л, на главной диагонали. Один из методов приведения квадратичной формы к каноническому виду метод Лагранжа (его называют также методолг выделения полных квадратов). Этот метод рассмотрен в примере 1 на с. 160. 9 й Канонический еид квадратичной фермы |59 Другой метод приведения квадратичной формы к каноническому виду -- л|етод ортогокальных преобразований. Преобразование переменных Х = РУ называется ортогональным, если его матрица Р ортогональная.
Тес р е м а 2. Для любой квадратичной формы 1) = ХтАЛ существует ортогональное преобразование Х = РЪ; приводящее ее к каноническому виду: в |=| При этом Л, (1 = 1,...,п) -- собственные значения матрицы .4, а столбцы матрицы Р попарно ортогональные нормированные собственные векторы матрицы А (порма каждого из них равна 1). 4. Закон инерции квадратичных форм. Этот закон состоит в следующем: независимо от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду число ее положительных (и также число отрицательных) канонических коэффициентов постоянно. Контрольные вопросы и задания 1.
Составьте матрицу квадратичной формы |д(х,х,х ) =бх х — (х ) +4х х — х х . 2. Запишите квадратичную форму в виде и ~ аох х', .|=| если дана ее матрица 0 2 22 А= 2 — 1 3 22 3 2 3. Запишите в матричном виде Хт АХ кведратичную фора|у Сг задания 1. 4. Запишите линейное преобразование переменных в матричном виде. В каком случае линейное преобразование переменных называется вевыРожденным? 5.
Как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных" .Докажите, что новап матрица является симметрнчной. 6. Докал|ите., что если квадратичная форма Сд(х',..., х"') при линейноы не- вырожденном преобразовании Х =РУ переходит в квадратичную форму 4„1|у',...,у ), то обратное преобразование г" = Р 'Х переводит ф|З', ..., у") в квадратичную форму |,)(х', ..., х"). 7. Что такое канонический вид квадратичной формы'? 8. Какое преобразование переменных называется ортогональным? 9.
Сформулируйте теорему о привеленни квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. 10. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. 1л. $7. Квадратичные и билинейные фарии ~60 Примеры решения задач 1. Привести квадратичную форму Я(х',хз,х') =3(х ) +3(х ) +4х т +4х'х' — 2х х к каноническому виду: а) методом Лагранжа; б) ортогональным преобразованием. а) Коэффициент при (хз)з отличен от нуля (равен 3). Соберем в одну группу все члены квадратичной формы, содержащие хз: 3(хэ) + 4х~хз — 2хзхз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
