В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Является ли ортогональным: а) нуль-оператор; б) тождественный оператор: в) оператор подобия с коаффициентом подобии д ф 1; г) оператор поворота на угол ф а пространстве улз векторов на плос- кости? Сформулируйте характеристические свойства ортогонального операто- ра. Каков смысл слов "характеристическое свойство" ? Известно, что линейный оператор?„1 переводит данный ортоноргаиро- аанпый базис си ез, ..., е„в ортонормировааный базис ?ы ?з, ..., ?„. Сле- дует ли отсюда, что с? -- ортогональный оператор? Докажите, что в ортонормированном базисе матрица ортогонадьного оператора является ортогональной матрицей.
Может ли собственное значение ортогонального оператора быть рав- ным:2;0;1; — 1? Докажите, что если ьЗ1 и С?з - ортогональные операторы, то их произ- ведение С)Я также ортогональный оператор, Гл. К Пинеяные операторы а) Найти оператор, сопряжеапый к оператору дифференцирования Р, действующему в пространстве Ь. б) Доказать, что оператор Й, действующий в Ь) является ортогональным. а) Элементы ет = япх, ег = соех образуют ортонормированный базис пространства Ь. Найдем матрицу Р оператора Р в этом базисе. Действуя оператором Й на базисные элементы е) и ег, получаеги Йе| — — (зшх)' = сов х = О. е~ + 1 ег, Рег = (созх)' = — Япх = — 1 ег + О ег. Отсюда следует, что матрица Р имеет вид 1 О Матрица Ре сопряженного оператора Й* в базисе еы ег является транспонированной по отношению к матрице Л, т. е. — 1 О Очевидно, что Р* = — Р.
Поэтому и сопряженный оператор Й* равен оператору Р, умноженному на — 1., т. е. Й* = — Й. Иными словами, действие сопряженного оператора Р* на произвольный элемент г(х) пространства Ь задается формулой Й*У = -И = -У'(х) б) Если 1г = Аг зшх+ Вг созх, 1г = Аг Япх+ Вг соэх, то Рлг ) = — Вг аш х + Аг сов х, Рглг = — Вг яп х + Аг соз х. По определению скалярного произведения в прострапстяе Ь имеем ( (ы 1г) = А! Аг + В)Вг ) (Р~ы Р~г) = ( — В) ) ( — Вг) + А) А = А) Аг + В) Вг. Итак, длЯ любых элементов (г и рг из Е спРаведливо Равенство (РБы РЮ вЂ” (Б, Ы Это означает, что Й ортогопальный оператор в пространстве В. я 2.
В линейной оболочке Е = Цзшх,совх) скалярное произведение элементов (г = А) Япх+ В) созх и Гг = Аг зшх+ Вг сов х введено по формуле (злы глг) = А1Аг + Вг Вг + — (А) В + АлВт). 93. Линейнь~е операторы в евнлидовот пространстве 139 1 . 1 а) Доказать, что элементы е1 — — — япх+ — созх и ез = япх— ьгз — сова образуют ортонормированный базис пространства Р. б) Найти матрицу оператора дифференцирования Р в базисе еы ез. в) Найти матрицу сопряженного оператора Р* в базисе еь, ез.
г) Справедливо ли равенство Р* = — Р (сравнить с примером 1)? д) Является ли оператор Р симметричным в пространстве Е? а) Так как 1 1 1т1 11 1 — + +-~-+ — ) =1, йе ~~ =1+1+ — ( — 1 — 1)=1, 3 3 213 3 2 1 1 1/ 1 11 (емез) = — + — ( — 1) -Ь вЂ” ~ — — + — ) = О, 3 3 21 ГЗ 3) то еы ез ортонормированный базис пространства Р. б) Для того чтобы составить матрицу Р оператора Р в базисе еы ез, найдем образы элементов еь, ез.. 1 1 1 1 Реь = — (яп х + соа х) = — — яп х + — соз х = — — ез, ,Гз ' ',3,ГЗ,Г3 Рез = (япх — совх) = зшх+ сов х = Лев О чГЗ 1 Отсюда следует, что Р = — ) матрица оператора Р в базисе еы сз. в) Матрица Р* сопряженного оператора Р' в базисе еы ез является транспонированной по отношению к матрице Р, т.
е. О -1?,ГЗ г) Сравнивая матрицы Р' и Р, приходим к выводу, что Р* ф — Р. Следовательно, пе равны и соответствующие операторы: Р' ф — Р. Сопоставляя полученный результат с результатом примера 1, приходим к выводу: выполнение равенства Р' = — Р зависит от способа введения скалярного произведения в пространстве Л. д) Так как матрица Р оператора Р в ортонормированном базисе еы ез не является симметричной, то и оператор Р не является симметричным. А 3. В линейном пространстве Ри многочлснов степени не выше и скалярное произведение злементов 11х) и д(х) введено по формуле У,Ф =/й Ь(х)д . о Гл.
Г. Линейные операторы ио Доказать, что линейный оператор А, заданный формулой Ат" = ~К(х, 1)1Я й1, где К(х,1) = ~~1 (х1)1, г=о является симметричным оператором. .1Л Так как в выражении для скалярного произведения (Ар,д) = 1 1 = / ~ / К(х, 1) 1(1) й] д(х) дх подынтегральная функция К(х, 1)) (1)д(х) о о непрерывна в квадрате (О < х < 1, О < 1 < 1), то можно изменить порядок интегрирования.
Кроме того, К(х,1) = 11 (1, х). Поэтому 1 (А~, д) = ~~Я ~ ~К(1, х)д(х) 11х) М = ((, Ад). о о Таким образом, выполнено условие из определения симметричного оператора, и, значит, А симметричный оператор. а 4. Пусть с фиксированный ненулевой вектор в евклидовом пространстве Г1 векторов на плоскости, А -- линейный оператор, действующий в этом пространстве и ортогонально проектирующий векторы из 111 на линейную оболочку Т(с).
Доказать, что А --. симметричный оператор. Ь Выберем ортонормнрованный базис е1, ез следующим образом: е1 --- вектор, сонаправленный с вектором с, а ез †. вектор, перпендикулярпый вектору с. Тогда Ае1 = е1, Аез = О. Поэтому матрица Г1 ОЛ оператора А в базисе е1, еа имеет вид А, = ( ). Так как А, симметричная матрица, то согласно свойству 1' А -- симметричный оператор.
а 5. Найти собственные векторы и собственные значения симметричного оператора А, действующего в евклидовом пространстве Ез и имеющего в ортонормированном базисе е1, с1, ез матрицу Ае= 3 1 4 Характеристический многочлен оператора А имеет вид 1 — Л 3 О 11сб(Ае — Л1) = 3 1 — Л 4 = (1 — Л)(Л + 4)(Л вЂ” 6), О 4 1 — Л поэтому Л1 = — 4, Лз = 1, Лз = 6 -- собственные значения этого оператора. 43. Линейные операторы в евнлидоволь пространстве Чтобы найти координаты собственных векторов, нужно решить систему 1равнений (А, — ЛУ)Х = О при Лг — — — 4, Лг = 1, Лз = 6. При Л = — 4 эта система принимает вид 5х'+Зхг =О, 3. г+ оста+ 4, з О 4хз + 5хз = О, Так как число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2, то размерность пространства решений равна 1. Следовательно,.
ФСР I ЗЛ состоит из одного решения: Хг = ~ — 5 ~ . Числа 3, — 5, 4 являются ко- 4 ординатами собственного вектора х1 в базисе еы еэ, ез, т. е. х1 = = Зеь — 5ег+4ез собственный вектор оператора 4. Множество всех собственных векторов оператора А, соответствующих собствен- ному значению Л = — 4, дается формулой с(Зег — 5ег + 4ез), где с любое вещественное число, не равное нулго. При Л = 1 система запишется так: < Зхг =О, 3 ' +4хз=о 4х' = О. с — 4Л Столбец Хз = О ФСР этой системы, поэтому множество всех 3 собственных векторов оператора А, соответствующих собственному значению Л = 1, дается формулой с( — 4ег + Зез), где с любое число, не равное нулю. Наконец, при Л = 6 система уравнений относительно координат собственного вектора имеет вид < — 5х'+Зхи =О, Зхг — 5хг + 4хз = О, 4*з — охз =О Столбец Хз — — 5 ФСР этой системы, поэтому многкество всех собственных векторов оператора А, соответствующих собственному значению Л = 6, дается формулой с(Зег + 5ез + 4ез), где с любое число, не равное нулю.
А 6. Линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Кз, имеет в базисе гы гз, гз матРиЦУ Гл. Г линейные операгпоры Является ли оператор А ортогональным, если разложение элементов Д, 1ж Гз по оРтоноРмиРованномУ базисУ еы ел, ез имеет ниД Л = ез + ез, ,~з = е| + ез, .6 = е1 + е?? лл ПУсть С вЂ” матРица пеРехода от базиса еы ез, ез к базисУ ~ы 1з, зз. Как следует из разложения элементов ~ы ~?, гз по базису еы ееп ез, она имеет вид С= 1 0 1 По формуле .4, = САуС ' находим матрицу А,: 2/3 1/3 — 2/3'1 1/3 2/3 2/3 ) .
2/3 -2/3 1/3 Нетрудно проверить, что А, ортогональная матрица. Следовательно, согласно свойству 4' А ортогональный оператор. Тот же результат можно получить иначе, убедившись в том, что имеет место свойство, лежащее в основе определения ортогонального оператора:?'х, д е сз. (Ах, Ау) = (х., д). П этой целью вычислим вначале скалярное произведение (х, у), воспользовавшись формулой для скалярного произведения элементов евклидова пространства в про- з извольном базисе Л: Л; Уз: (х,у) = ~ х'у' (Д„Я, где х' и ул --. ьд=-1 кооРдинаты элементов х и У в базисе ~ы 5, 1з.
Значении скалнРных пРоизвеДений ф, 1?) поместим в следхющдю таблицУ: Таким образом, имеем (х,д) = = 2х'у' + х'д + х уз + хзу' Ч- 2тзу + хауз + хзу' + хзу -~- 2хзуз. По формулам (4), Х 1 находим столбцы из координат элементов .4х аЗ. Линейньье операторьь в евнлидоволь пространстве ыз и Ау в базисе 1"ы т"з, 1"з: 2/Зх' + тз (2/Зу' + уз (Ах)1 = — х': ( 4у)1 = — у Подставляя найденные значения координат в формулу з (.4х, Ау) = ~ (Ах)~(Ау)' Цн Д), ид=т приходим к равенству (.4хч.4У) = (х,у).
Следовательно, А — ортогональный оператор. 3 а м е ч а н и е. Хотя А ортогональный оператор, однако ого матрица Ал в базисе 1ы 1з, 1з не явлнется ортогональной. Причина состоит в том, что базис 1ы 1з, 1з не оРтоноРмиРованный. Д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 36. Докажите равенство: а) (.4В)' = В'А', б) (.4*)' = А. 37. Докажите, что если оператор А имеет обратный, то сопряженный оператор А* также имеет обратный и справедливо равенство (4*) ' = (А ')* 1О О 38. Пусть Ас = ~1 О О~ --- матрица линейного оператора А, О 1 О действУющего в евклидовом пРостРанстве Вт, в базисе 1ы 1з, 1з, где 1"т = е, + ег + ез, Ь = ез + ез, дз = ез — ез, а еы ез, е: ортонормированный базис.
Найдите матрицу сопряженного оператора А* в базисе 1"ы 1з, дз. 39. В евклидовом пространстве Р„Да,б) многочленов степени, пе превосходящей п, заданных на отрезке [а, Ь), скалнрное произведение элементов рт(х) и рз(х) введено по формуле ь (Рырз) — /Р 1х)РзЮ слх а а оператор А определен формулой ь а п где К(х, 1) = ~~ н,(х) 1,(1), й;(х), 1,(т) многочлены степени е=.в не выше гн Найдите формулу, определнющую сопряженный оператор А*. Гл. К Линейные операторы 40. Линейный оператор е1, действующий в евклидовом прострапст ве Вз, имеет в ортонормированном базисе еы еа, ез матрицу А„, ранную: а) — 2 — 1 2; б) — 8 17 — 4 в) 2 2 10 Постройтс в сз ортонормированный базис из собственных векторов оператора А и составьте матрицу оператора А в этом базисе. 41.
Докажите, что собственные некторы симметричного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортого- нальны. 42. Докажите, что если х собственный вектор симметричного опе- ратора А, действующего в евклидовом пространстве еп, а ЛХ вЂ”. множество всех элементов д из Еп, ортогональных х, то ЛХ является подпространством ен размерности и — 1, инвариантным относительно оператора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
