В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если Л = О, то система уравнений (2) запишется так: х1 + тз + хз — О х'+ха+ха =О, х1+хз+ из — О В этой системе уравнений число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 1. Поэтому размерность пространства решений равна 2. Решая систему, находим ес ФСР: Хз= 1 и Лз= О Эти столбцы представляют собой координаты в базисе е1, ез, ез двух линейно независимых собственных векторов хз и хз оператора .4, отвечающих собственному значению Л = О.
Все множество собственных векторов, соответствующих собственному значению Л = О, дает линейная комбинация векторов х и хз. х = с1хз+сзхз, где с1 и сз произвольные вещественные числа, одновременно не равные нулю. 3 а м е ч а н и е. Данную задачу можно решить проще, если воспользоваться примером 3 на с.
114. В этом примере векторы базиса Г1, Гз, Кз, удовлетворяющие соотношениям (8), являются собственными векторами оператора 4. Из равенств (8) следует, что собственному значению Л = 1 соответствует собственный вектор Г1, а собственному значению Л = О два линейно независимых собственных вектора, Вз и Вз. Найденные собственные значения и собственные векторы имеют простую геометрическую интерпретацию. Оператор А есть оператор Гл. К Линейные операторы А= О 3 — 3 Характеристический многочлеп матрицы А имеет вид 6 — Л вЂ” 3 О О 3 — Л вЂ” 3 О 3 9 — Л = (6 — Л)з с1ег(А — ЛХ) = Его трехкратный корень Л = 6 является собственным значением плат- рицы А. Чтобы найти собственные векторы, нужно решить систему уравнений (А — 6Х)Х = О, т. е.
х — Зх =О, зхз зхз = О 63хз + Зхз = О. В этой системе число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2. Поэтому размерность пространства решений равна 1. Решая (1Л систему, находим ее ФСР: Х = ~ О ) . Таким образом, множество всех О собственных векторов матрицы А есть множество столбцов сХ, где с "- произвольное число, не равное нулю. Л 3.
Три леатериальных точки М„ Мз, ЛХз единичной массы соединены между собой и со стенкой тремя пружинами с коэффициентами жесткости Лл = 8, Ь~ = 3, Лз = 11 (рис. 4). Найти собственные частоты и формы малых собственных колебаний данной системы.
Прежде всего уточним постановку задачи. Положение равновесия материальных точек ЛХы ЛХз, ЛХз, соответствующее нерастянутым пружинам, отметим на оси х точками Оы Оз, Оз. Если сжать или ортогонального проектирования радиус-векторон на прямую /, проходящую через начало координат. Ясно, что проекцией любого ненулевого радиус-вектора сКы лежащего на прямой 1, является сам этот радиус-вектор, т, е, он является собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению Л = 1.
Проекцией на прямую 1 любого радиус-вектора, ленеашего в плоскости Р, перпендикулярной прямой 1, является нулевой вектор, т. е. любой ненулевой радиус- вектор, лежащий в плоскости Р, являетсн собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению Л = О. Множество всех таких векторов дает линейная комбинация с~Гз + сзГз, где с~ и сз произвольные числа, одновременно не равные нулю. Л 2.
Найти собственные векторы и собственные значении матрицы 42. Собственные векторы и собственные знаквния |29 растянуть пружины каким-то образом, а затем отпустить их, то начнется колебательное движение системы. Вудем пренебрегать силами О, О' О О' Оа О'а Рвс.
4 трения и массами пружин. В произвольный момент времени 4 точки ЛХ|, ЛХз, ЛХз занимают какие-то положения 0'„Оз, 0~. Величины направленных отрезков 0|0, 090., и ОзОз на оси х, характеризующие отклонения точек ЛХ|, Л19 и ЛХз от положения равновесия, обозначим через х|, хз и хз. Если эти величины изменя|отса со временем по закону х| — — а| аш(и с + су), хз = аз ып(а с + су), хз = оз вш(ау4+ су), (3) то са называется собственной частотой системы, а отношения а| . аз .. : аз будем называть формой собственных колебаний, совершаемых с частотой ш.
Для отыскания собственных частот и соответствующих им форм колебаний составим уравнения движения материальных точек ЛХ|, ЛХз, ЛХ|. На каждую из этих точек действуют силы, обусловленные жесткостью пружин. Согласно закону Гука при малом растяжении пружины упругая сила, стремящаяся вернуть пружину в перноначальное (нерастянутое) положение, пропорциональна величине растяжения. Величины растяжений первой, второй и третьей пружин в ыомент 4 равны соответственно х|, хз — х|, хз — хз (см.
рис. 4). Поэтому на точку ЛХ| в момент | ео стороны первой пружины действует сила Х| = — кухт а со стороны второй пружины сила Хз = кз(хз — х|). Обратите внимание на знаки выражений для Ху и Х|н Если х| > О, то первая пружина в момент Х растянута по отношению к положению равновесия, упругая сила стремится сжать пружину, и, следовательно, на точку ЛХ| со стороны первой пружины действует сила, направленная влево, т. е.
Х| = — к|ху < О. Если х| < О, то первая пружина сжата, упругая сила стремится растянуть ее, и поэтому на точку М| действует сила, направленнан вправо, т. е. Х| = -Луху > О. Аналогично, если хз — х| > О, то вторая пружина растянута, сила упрутости стремится сжать ее, и поэтому со стороны второй пружины на точ- 5 В Ф. Вууувоя к яе. Гл. К Пинеаные операторы ~30 ку Мг действует сила, направленная вправо: Хз = Хгз(хз — хг) > О. То же самое выражение для Хз получаетсн в случае хг — хг < О. Итак, результирующая сила, действующая на точку ЛХ1, есть сила ~1 11 +.Х2 (п1 + из)х1 + пзх2 По второму закову Ньютона произведение массы точки ЛХ1 (она равна единице) на ускорение точки (ускорение есть вторая производная хс от смешении хс) равно результирусощей силе Е1..
(11 + пз)х1 + лзх2. (4) Аналогично, на точки АХ2 и АХз действуют результирующие силы Хз = Хз+ Хз = Ыхз хс) + 12(хз — хг) = Йзхг — (12 + Йз)хе + лзхз и Ез — — — Хз = — 12(хз — хг). Поэтому уравнения движения этих точек имеют вид хг = Изхс — (1ез+ 12)хз + Изхз: (5) ХЗ = ~ЗХ2 — йЗХЗ. Будем искать решение системы дифференциальных уравнений (4), (5) в виде (3). Подставляя (3) в (4) и (5), приходим к системе линейных уравнений СИ = ЛА, (6) Х У + 12) 12 О Л где С = ~ йз — (йз+ йз) йз известная матрица, со- О йз — пз ставленная из коэффициентов правых частей уравнений (4), (5), Х'о11 .4 = ог искомый столбец "амплитуд", Л = — ыз квадрат исоз комой собственной частоты, взятый со знаком минус.
Таким образом, для отыскания собственных частот со нужно найти собственные значения Л матрицы С, а для нахоясдения формы собственных колебаний нужно найти соответствующие собственные векторы. Учитывая, что йг = 8, Хгз = 3 и 12 = 11, получаем следующее характеристическое уравнение матрицы С; с!е1(С вЂ” ЛХ) = — (Лт + 36Л + 299Л + 264) = О.
Оно имеет корни Лг = — 1, Лг = — 11, Лз = — 24. Следовательно, ыг — — 1, агг = 11, ыгг — — 24, т, е, собственными частотами колебательной системы будут ш1 = 1,инг = сХ11, игз = тХ24. Решая для каждого собственного значения Ль систему (6), находим собственные векторы матрицы С . столбцы 241 — — с 10, .42=с О, Из=с — 13 рэ'. Собственные векторы и собственные знанвния где с произвольное число, пс равное нулю.
Отношения элементов столбца Аь определяют форму собстненных колебаний с частотой соь. Так, форма собственных колебаний с частотой ш, = 1 задается отношениями: 3; 10; 11. а 4. В линейном пространстве Лз действует линейный оператор А, пеРеводЯщий оРтоноРмиРованный базис еы ез, ез в элементы Уы 1з, 6 такие, что ~~ — — Ас1 — — 1,5с1+ 0,5ез+ 0,5сз, )з = Аез = О,ос1+ез, тз = Асз = О, 5ес + ез.
Найти все подпространства пространства Вз, инвариантные относительно оператора А. Ь Прежде всего укажем тривиальные инвариантные подпространства О и Лз. Для нахождения остальных инвариантных подпространств найдем собственные значения и собственные векторы оператора А. Характеристический многочлен матрицы А, имеет вид 1,5 — Л 0,5 0,5 0,5 1 — Л 0 0,5 0 1 — Л (1 Л)(Л2 2 5Л+ 1) с)еС(А, — Л1) = < 0,5х~ + 0,5хз + 0,5хз = О, 0,5х" = О,. 0,5х' = О.
Е го корни Л1 — — 0,5, Лз = 1, Лз = 2 являютсн собственными значениями оператора А. Чтобы найти собственные векторы, нужно решить систему линей- ных уравнений (А, — Л1)Х = О при Л, равных собственным значени- ям оператора А. При Л = 0,5 система принимает вид х" +0,5х +0,5хз =О, 0,5:с' + О,ох' = О, 0,5х! О о.з 0 В этой системе уравнений три неизвестных, а ранг матрицы системы равен 2.
Поэтому размерность пространства решений равна 1. Решая систему, находим ФСР: Л1 = ~ — 1~. Столбец Л1 это столбец коор- 1 динат в базисе сы ез, ез собственного вектора хм отвечающего собст- венному значению Л1 — — 0,5. Одномерное инвариантное относительно оператора А подпространство, соответствующее собственному значе- нию Лы есть линейная оболочка Р, = 1сх1), где с произвольное вещественное число.
При Л = 1 система запишется так: Гл. К Линейные операторы Как и в предыдущем случае, одномерное инвариантное относительно оператора А подпространство, соответствующее собственному значе- нию Лз = 1, есть линейнал оболочка Рз = 1схз), где с пРоизвольное вещественное число, а хз -. собственный вектор, отвечающий Лз и имеющий в базисе еы ез, ез координаты О, 1, — 1. Наконец, .при Л = 2 система принимает вид з -О ох'+ О бх'+0,5хз = О, 0,5х' — хз =О, 05 1 — хз =О. Ранг матрицы системы также равен 2. Поэтому инвариантное отно- сительно оператора А подпространство, соответствующее собствен- ному значению Лз, имеет размерность 1 и представляет собой линей- ную оболочку Рз = 1схз), где с произвольное вещественное число, а хз — — собственный вектор, отвечающий собственному значению Лз и имеющий в базисе еы еа, ез координаты 2, 1, 1.
Далее, линейные оболочки 1 г = 1сгхг Ч- сзхз), Ьа = 1сгхг + сзхз), Ьз = 1с1хз+сзхз), где сы сз -- пРоизвольные вещественные чис- ла, являются двумерными инвариантными относительно оператора А подпространствами. Действительно, например, для Ь1 имеем А(сгхг + саха) = с1Ахг + сгАх = сгЛгхг + саЛаха = = 0,5с1х1 + саха с 5ы Других инвариантных относительно оператора А подпространств нет. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 19. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, действующего в линейном пространстве Йз над полем рациональных чисел и имеющего в базисе ег, еа матрицу А,= 20. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, действующего в линейном пространстве Вз пад полем вещественных чисел и имеющего в базисе еы ез матрицу 3 1 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
