В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 21
Текст из файла (страница 21)
оператор дифференцирования в пространстве Ь где В = л,(1,з?пх,соах,зш2х,соя 2х) линейная оболочка указанных функций. Докажите, что функции 1, зшх, созх, з1п2х, соз2х составляют базис в Ь, и найдите в этом базисе матрицу оператора: а) Рз б) Ро Существует ли обратный оператор для оператора Рзу 12. Докажите, что оператор дифференцирования Р, действующий в пространстве Рн многочленов степени не выше и?и ) 1), является линейным оператором. Найдите матрицу этого оператора н базисе: и а) 1,х,...,х"; б) 1,— ",...,—; 1! и? в) 1,1+х,...,1+х+...+х": г) 1,х — 1,х — х,...,хп — х" 13. Пусть Аь оператор поворота на угол ооь в пространстве 1лз векто- ров на плоскости.
Найдите матрицу (в произвольном ортонормированном базисе) оператора: а) АгАз....4п; б) Аг ~.4з,' в) АгАзА ', г) .4зАз.4з г.4а '. 14. В некотором базисе линейного пространства Лз элементы хы хз, хз, уы уз., дз имеют соответственно координаты 2,3,5; 0,1,2, 1,0.,0; 1,1,1; 1,1,— 1; 2,1,2. Докажите, что сугдествует единственный линейный оператор А, переводящий элементы хы хз, хз соответственно в элементы уы уз, уз. Найдите матрицу этого оператора в том же базисе. 15. В базисе еы ез, ез линейного пространства Кз элементы хы хз, хз, уы у, уз, зы зз, зз имекзт соответственно координаты — 2, — 1, — 2; 1,0,0; 2,2,3; 2,0,— 1; — 1,'2,— 1; О,— 1,1; 2,— 1,0; — 1.2,— 1; О,— 1,1.
Линейный оператор А переводит элементы хы хз, хз в элементы у,, уз, уз, а линейный оператор В переводит элементы уы уз, уз в элементы зы зз, зз. Найдите матрицу оператора ВА в базисе; а) еы ез, ез; б) хы хз, хз; в) ды уз уз. 42. Собственные векторы и собственные значения 16. Пусть А и В линейные операторы, действующие в линейном пространстве Лз. В базисе сы ез оператор А имеет матрицу А, = /б -1з = ( 4 1 ) . В базисе 1ы 1з оператор В имеет матрицу В1 = / — 2 ОЛ /1 -1Л ), причем 1 = еС, где С = ( ).
Найдите матрицу: а) оператора Аз + 6А+ 91 в базисе ем ез (1 . — тождественный оператор); б) оператора Вз + 4В + 41 в базисе ~ы 1з; в) оператора А' — Вз в базисе еы ез, г) оператора АВ ~ в базисе ~ы 1з. 17. Докажите, что длн любых линейных операторов А, В, С справедливы равенства: а) (.4В, С) = (А, С) В + А(В, С); б) (А,ВС) = (А,В)С+ В(А,С); в) (А, (В., С)) + (В, (С, А)) + (С, (А, В)) = 0 (тождество Якоби). 18. Докажите, что коммутатор линейных операторов А и В не может быть тождественным оператором.
з 2. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов 1. Собственные векторы и собственные значения. Пусть линейный оператор .4 действует в линейном пространстве Л. Определение. Ненулевой элемент х из Л называется собственныяе векторол линейного оператора А, если существует число Л такое, что Ах = Лх. Число Л называется при этом собстввннат значением оператора А. Говорят также, что собственный вектор х отвечает (или соответствует) собственному значению Л. Свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора. 1'.
Если Лт Лз, ..., Ль .-- различные собственные значения оператора А, то отвечающие им собственные векторы хз, х,, хь линейно независимы. 2'. Линейный оператор, действующий в линейном пространстве Л размерности а, не может иметь более а различных собственных значений. Гл. Г Линейные операторы 3'.
Если линейный оператор А, действующий в линейном пространстве В размерности и, имеет п различных собственных значений Л1, Лх, ..., Л„, то отвечаюЩие им собственные вектоРы смех, ... ...,е„ образу1от базис пространства Л. Матрица оператора А в этом базисе имеет вид (Лрб"), где д„" символ Кропекера. 4'. Множество Л1л, содержащее нулевой элемент и все собственные векторы линейного оператора А, отвечающие собственному значению Л., является подпространством линейного пространства Я. Подпространство Л1л называется собственныл1 подпростракством оператора А, отвечающим собственному значению Л. 2. Характеристическое уравнение. Пусть А, матрица линейного оператора А в базисе емех,,еп, 1 единичная матрица.
Составим определитель деЦА, — Л1). Он является многочленом степени и относительно Л и называется характеристическим леногочленоле оператора А. Уравпоние е)ех(Ае — Л1) = О называется характеристическим уравнением оператора А. Характеристический многочлен, а значит, и характеристическое уравнение данного оператора, не зависит от выбора базиса, т. е.
в любом базисе коэффициенты характеристического мпогочлена одни и те же. Теорема 3. Для того чтобы число Л было собшпвекным значением линейного оператора А, действующего в комплексном 1вещественном) линейном пространстве П„, необходимо и достаточно, чтобы Л было корнем 1вещественн м корнеле) характеристического уравнения (1). Теорема 3 дает следующий способ отыскании собственных векторов и собственных значений линейного оператора А.
1) Находим собственные значения оператора, решая уравнение (1). Обозначим их Лы Лг, ..., Лы к < и. 2) Пля каждого собственного значения Л„находим все ненулевые решения однородной системы уравнений (2) (А, — Л 1)Х = О. Каждое ненулевое решение Х этой системы является столбцом координат в базисе еч,ег,...,е„ собственного вектора оператора А, соответствующего собственному значению Л„.
Замечание. Собственное значение Лр линейного оператора .4 называется также собственным значением матрицы А„а ненулевое решение системы (2) (столбец Х) называетси собственным вектором 42. Собственные векторы и собственные значения матрицы А„. Во многих разделах математики и ее приложений рассматриваются именно собственные значения и собственные векторы матриц, вне связи их с линейными операторами. 3. Инвариантные подпространства линейных операторов. Определение.
Подпространство ЛХ линейного пространства Х? называется инвориантным относительно линейного оператора А, если для любого элемента .г из ЛХ его образ Ао также принадлежит ЛХ. Примеры. 1. Подпространство, состонщее из одного нулевого элемента О, является инвариантным подпространством относительно любого линейного оператора. 2. Само линейное пространство Х? является инвариантным относительно любого линейного оператора, действующего в этом пространстве.
Подпространства д и Х? называются тривиальными инвариантными подпространствами линейного оператора. 3. Собственное подпространство ЛХх линейного оператора А, отвечающее собственному значению Л, является инвариантным относительно оператора А. Контрольные вопросы и задания 1. Какой элемент линейиага пространства называется собственным вектором линейного оператора А? 2. Что такое собственное значение линейного оператора? 3. Докажите справедливость равевства Ад = бд, где А - — произвольный линейный оператор, д - нулевой элемент. Следует ли из этого равенства, что 8 -- собственный вектор оператора .4, а число б --- собственное значение этого оператора? 4.
Является ли подпространством множество всех собственных векторов линейного оператора, отвечающих одному и тому же собственному значению? 5. Имеет ли собственные значения и собственные векторы: а) ауль-оператор д; б) тождественный оператор Х; в) оператор подобия с коэффициентом подобия д? б. Имеет ли оператор поворота аа угол 1о в линейном пространстве 1' векторов на плоскости собственные знвченил н собственные векторы, если: а) у = яХ4; б) со = к? 7. Каково наибольшее число различных собственаых значений, которое лшжет иметь линейный оператор, действующий в линейном пространстве размерности о? 8.
Всякий ли линейный оператор, действующий в вещественном (комплексноьй линейном пространстве й„, имеет собственные значения'? Пл. г'. Линейные операторы ?26 Примеры решения задач 1. Найти собственные векторы и собственные значения линейнога оператора А, действующего в линейном пространстве Вз радиус- векторов и имсющега в ортонармираваниом базисе еы ез, ез матри- (1 1 1Л цу А, = — 1 1 1 (этот оператор был рассмотрен в примере 3 на с. 114).
Так как 1/3 — Л 1/3 1/3 1/3 1/3 — Л 1/3 1/3 1/3 1/3 — Л 12 3 г?е?(А, — Л1) = то характеристическое уравнение оператора А имеет вид Лз — Лз = О. Корни этого уравнения Л1 — — 1 и Лз = Лз = О .. собственные значения оператора А. Собственное значение Л = О называется двукратным собственным значением. Чтобы найти координаты собственных векторов, нужно решить систему уравнений (2) при Л = 1 и Л = О. 9. Пусть Лы Ле, ..., Л„--.
не равные друг цругу собственные значения аинейного оператора А, действующего в линейном пространстве Л„, а ее, еж ..., е„соответствующие им собстненные векторы. Докажите, чта элементы еы ее, ..., е„образуют базис линейного пространства Я„. Какой вид имеет матрица оператора А в этом базисе? 1О. Какое уравнение называется характеристическим уравнением липей- ного оператора". 11.
Всегда ли корень характеристического уравнения является собственным значением линейного оператора'? 12. Объясните, как найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора? 13. Какое надпространство линейного пространства Я называется инвариантным относительно линейного оператора .4, действующего в Й? !4.
Какие надпространства являются инвариантными относительно: а) нуль-оператора д; б) тождествеввого оператора 1; а) оператора подобия с коэффициентом подобия и? 15. Является ли линейная оболочка Цз1п х, сое х) иввариантной относительно оператора дифференцирования'? 16. Справедливо ли утверждение: надпространство, состоящее из одного нулевого элемента б, нвляется инвариантным относительно любого линейного оператора? 17. Является ли иваариантным подпространством относительна оператора А собственное надпространство этого оператора, отвечающее некоторому собственному значению? 22. Собственные векторы и собственные знвнвния 127 При Л = 1 система уравнений (2) принимает вид 2 1+ з+ з О х1 2хз + хз х' + хз — 2хз = О.
Так как число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2, то размерность пространства решений равна 1. Решан, находим ФСР, состоящу1о из одного столбца Х1 — — ~1) . Столбец Х1 1 столбец координат в базисе е1, ез, ез собственного вектора х1, отвечающего собственному значению Л = 1. Множество всех собственных векторов, соответствующих собственному значению Л = 1, имеет вид х = сх1, где с произвольное вещественное число, не равное нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
