В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Дополним это выражение до полного квадрата членами, не содержащими хз, и, чтобы кнадратичная форма Я(х1,х-',хз) не изменилась, вычтем добавленные члены. Получим (е)( 1, з 3) =3(х + — х — — х) — — (х) — — (х) + — тх +3(х) +4хх. 2 з 1,з1 4 1з 1 зз 4 з з зз |з 3 3 ) 3 3 3 Положим 2 1 з 1 з у = — х+х — — х. 3 3 Тогда в выражении квадратичной формы появляется переменная уз и исчезает переменная хз. Приведя подобные члены, перепишем квадратичную форму в вице 3(у ) + — (х ) — — (х') + — х т, = 3(у ) + И'(х',х ). К квадратичной форме И~(х',хз) снова применим метод выделении полного квадрата.
С этой целью сооерем в одну группу все члены, содержащие х': — — (х) + — хх. 4 за 1б з з 3 3 Дополним это выражение до полного квадрата слагаемым, не содержащим х1, и, чтобы квадратичная форма И'(х~,хз) не изменилась, вычтем добавленное слагаемое. Получим И;(х1 хз) (хз 2хз)з, (хз)з + (хз)з Положим у' = х' — 2хз. Приведя подобные члены, перепишем исходную квадратичную форму в виде 3(уз) — — (у~)з + 8(хз) . 4 К Канонический вид квадратичной формы 161 Вводя обозначение хз = дз, получаем следующий канонический вид исходной квадратичной формы: Я(д~, уз, уз) = --(у')з + 3(уз) + 8(дз)з, (4) где д =х — 2х, .д = — у +у, — — х', у =х.
з а 2 1 а 1 3 ' ' 3 Преобразование переменных, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду, .можно записать в матричном виде уз = 2/3 1 -1/3 хз 3 а м е ч а н и е 1. В результате применения метода Лагранжа всегда получается невырожденное линейное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. б) Составим матрицу данной квадратичной формы; А= 2 3 — 1 Найдем ес собственные значения. Характеристическое уравнение имеет вид — Л 2 2 2 3 Л 1 Лз 6Лз+32 О 2 — 1 3 — Л бе1<А — Л1) = Оно имеет корни Ла = — 2, Ла з = 4.
Это позволяет сразу написать канонический вид квадратичной формы: Я(д', уз, уз) = -2(у~)з + 4(дз)з + 4(дз) . 2хс + 2хз + 2хз = О, йхс + 5ха — хз = О, 2х~ — хз + 5хз = О, у которой ранг г матрицы равен 2, а п — г = 1. Следовательно, фундаментальная совокупность решений системы состоит из одного о Ич В Ф. вхихнов н нр. Построим теперь матрицу ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к атому каноническому виду.
С втой целью найдем собственные векторы матрицы А. Элементы х1, ха, аз любого собственного вектора Х, соответствующего собственному значению Л = — 2, являются решением системы уравнений (А+ +21)Х = О, т. е. системы 1л. Ий Квадратичные и билинейные форыы решения, например, такого '=(') Нормируя Хы получаем собственный вектор Еч = 1/тамб Элементы х~, хз, хз любого собственного вектора Х, соответствующего собственному значению Л = 4, являются решением системы уравнений (А — 42')Х = О, т. е, системы + 2хз 1 2тз — О 2х' — хэ — хз = О, йх' — хз — хч =О, у которой ранг г матрипы равен 1, а и — г = 2.
Поэтому фундаментальная совокупность решений этой системы состоит из двух решений. Чтобы их найти, оставим только первое уравнение системы (второе и третье являются следствием первого). Положим вначале хз = 1, хч = О, тогда хе = 0,5; затем положим хз = О, хз = 1, тогда хр = 0,5. Таким образом, фундаментальнал совокупность решений состоит из решений Хч = 1 и Хз = 0 Это и есть два линейно независимых собственных вектора матрицы А, соответствующих собственному значению Л = 4. Заметим, что собственные векторы Ха и Хз матрицы А ортогональны к собственному вектору 1гы но не ортогональны между собой.
Применим к ним процедуру ортогонализации. С этой целью положим Уз = Хз, Уз = Хз — аУ2. Коэффициент а определнстся из условия ортогональности Уе и Уз. и = 1/5. Итак, мы построили два ортогональных собственных вектора плат- рицы А, соответствующих собственному значению Л = 4; 1, 1ч= — 02 Нормируя их, получаем собственные векторы на = 2/ье5, Гз = — 1/и'30 4 К Канонический вид квадратичной фор41ы 163 Матрица искомого ортогонального преобразования состоит из столб- цов Е1, Гз, Ез.
т. е, искомое преобразование имеет вид Оно приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду гт(у~ „2 Уз) 21У1)2+41У2)2+41уз)2 Замечание 2. Отметим, что как канонический вид (4) квадратичной формы, полученный методом Лагранжа, так и канонический вид (ос), полученный ортогональным преобразованием, содержит два положительных канонических коэффициента и один отрицательный канонический коэффициент, что соответствует закону инерции квадратичных форм. А 2.
Ыетодонт Лагранжа привести квадратичную форму ,,2 з 4) 2,з,4 к каноническому виду. Положим 3 3 ч 4 4 3 4 1 1 2 2 =У: * =У~ Тогда квадратичная форма приводится к каноническому виду Я(у~, уз, у', У4) = 2(у~)2 — 2(У4)2. Проверьте самостоятельно, что преобразование (6) невырожденное. А Задачи н упражнения для самостоятельной работы 1. Принедите данную квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и запишите соответствующее преобразование переменных: а) 2Х1 хз + 2хз Х4. б) (хт)2 + 2х1хз + 2(хз)2 + 4хзхз + 5(х~)2' в) (Х1)2 + Х1хз + хзх4. г) ГХ1)2 — 4х'хз + 2хтхз + 4ГХ2)2 -~- 1хз)2 2.
Приведите данную квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием и запишите зто преобразование; а) — [2(Х1) 2 + 4Х1хй — 2хтхз — (хз)2 + 4хзхе + 2(хз)2) 3 И4" Рл. 17. Квадратичные и билинейные форгзи б) 17(хз)з — 1бхзхз + Яхзхз + 17(хз)з — Яхзхз .1- 11(хз)з. в) 11(х' )з + 4х~хг — 1бх~хз + 2(хз)з + 20хзхз + 5(хз)з. г) 2хзх' + 2хзхл; д) 2(х')г + (хз)г — 4х'хг — 4хзхз; е) !х1)г + 2!хз)г + 3Езз)г 4хзхл 4хгхз 2;зхз 3.
Докажите, что любую квадратичнучо форму могкцо привести к каноническому виду, в котором канонические коэффициенты имеют значения 1, — 1, О. 4. докажите, что для квадратичных форм ьг(х', ..., х") и Фу, ..., р") существует линейное невырожденное преобразование Х = РУ, переводящее одну квадратичную форму в другую, тогда и только тогда, когда эти квадратичные формы имеют одинаковое число положительных и одинаковое число отрицательных канонических коэффициентов. 3 2. Знакоопределенные квадратичные формы Основные понятия и теоремы 1.
Классификация квадратичных форм. Квадратичная форма Я(хз, ..., х") называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для всех значений хз, ..., х" выполняется условие (д(х', ..., х'") > О Я(х', ..., хо) < О), причем Я(х', ..., ха) = О только при х' = хг = ... = х" = О. Например, Я(х', хз) = 2(х1)г + 3(хз)з - положительно определенная квадратичная форма; 1,)(хз, хз) = — (х1)г — 2(хз)з — — отрицательно определенная квадратичная форма. Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы называются зиакоопределенными. Теорема 3. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда асе ее канонические коэффициенты положительны (отрицательна).
Квадратичная форма !'„1(х1, ..., х") называется кеазизиакоопределенной (либо неотрицательной, либо неположительной), если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этол1 обращается в нуль не только прих'=...=ха =О. Например, Я(х1,хз) = (хз)з — 2хьхз+ (хз)з = (хз — хг)з неотрицательная квадратичная форма, так как ь„!(х~,хг) > О при любых х', хз, но ц(х',хз) = О не тольго при х' =ха = О, :так, 1,!(1,1) = О. 42. 3нокоовределенные квадратичные формы 165 Квадратичная форма называется знакоперел1енной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значении. Например, ®х',хз) = — (х') + 2(х~)з знакопеременная квадратичная форма, так как она имеет как полоя1ительные, так и отрицательные значения: ьг(1, 0) = — 1 < О, ?г10, 1) = 2 > О.
2. Критерий Сильвестра зиакоопределеииости квадратичной формы. Определители ам " ауь аы а1 йь агу а тг аы ... аль 41 = а11, ау 1 ... аул д„= аэ1 " аээ Контрольные вопросы и задания 1. Какая квадратичная форма нээываетсн положительво ?отрицательно) определенной? Приведитс пример положительно определенной квадратичной формы. 2. Чем отличаетсн неотрицательная квадратичная форма от положительно определенной квадратичной формы? 3. Приведите пример зпакоперемен|юй квадратичной формы.
4. Может ли положительно определенная квадратичная форма иметь: э) отрицательные канонические коэффициенты,. б) канонические коэффициенты, равные нулю? 5. Сформулируйте критерий Сильвестра положительной 1отрицэтелыюй) определенности квадратичной формы. 6. Какая матрица называется положительно определенной? Примеры решения задач 1. Определить, является ли квадратичная форма тт?(х~, хг, хз) = (хз)з — 4х1 хз -~- 2хзхз знакоопредеченной. 7 1?3 В Ф. Бутузов и Лр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
