В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Напишите в общем виде уравнение кривой второго порядка. 2. В чем состоит задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду? 3. Изложите метод приведения кривой второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных, приводящего к каноническому виду квадратичную форму, связанную с этим уравнением. Каков геометрический смысл этого ортогонального преобразования? 4.
Напишите в общем виде уравнение поверхности второго порядка. б. Изложите метод приведения поверхности второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных. Каков геометрический смысл этого ортогонального преобразования? Примеры решения задач 1. Привести уравнение кривой второго порядка 11хз — 20ху — 4уг — 20т — 8у + 1 = 0 (3) к каноническому виду с помощью поворота осей координат системы Оху и последующего параллельного переноса. Ь Приведем квадратичную форму 11хз — 20ху — 4уз, связанную с 1л.
е7. Кеадрагни еные и Лилинеаные форели шз уравнением (3), ортогональным преобразованием к каноническому виду. С втой целью составим матрицу квадратичной формы: — 10 — 4 и запишем характеристическое ураннение: И вЂ” Л вЂ” РО 4 Л вЂ” — Л" — 7Л вЂ” 144 = О. Оно имеет корни Л~ = — 9, Лг = 16. Далее находим взаимно ортогональные нормированные собстненные векторы (столбцы) Г~ и Рг матрицы лй если Лг = — 9, то Рг = ~ ); если Лг = 16, 7 1!у'5Л 1,27у'5) ' тоГг= Следовательно, искомое ортогональное преобразование имеет мат рицу / 1/ьгб — 2/ье5 ) (,2/ье5 1/Я) ' у которой е1оьР = 1. Матрица Р является матрицсй оператора пово- 1 .
2 рота на угол р такой, что сов дг = —, 81п р = —. Повернув оси коорде' и755' 1 динат системы Охд на угол ее = агссоз — (против часовой стрелки), и75 получим прямоугольную систому Ох'д'. При етом координаты точек преобразуются по формуле (см. (2)) или х = — (х' — 2д'), д = — (2х'+ д').
5 ' 5 (4) При ортогональном преобразовании (4) квадратичная форма переходит в форму Л~ (х')г + Лг(д') = — 9(х')г + 16(д') . Запишем в новых координатах линейные члены уравнения (3): 36, 32 -20х — 8д= — — х + — д. и75 5и'5 ' В системе координат Ох'д' уравнение кривой принимает вид — 9(х')г + 16(д') — — х'+ — д'+ 1 = О. дее ' 75 Уравнения второго порядка ~79 Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получаем — 9 (х' + — ) + 16 (у' + — ) + 5 = О. Полагая 2 „, 1 + ~ У =У+ л75' л/5' т.
е. производя параллельный перенос осей координат так, что начало 2 1 координат переходит в точку О'~ - †, ††), приходим к канони- ,/5 Д) ческому уравнению данной криной (х) 1У) — — — = 1. 5/9 5/16 Это --. каноническое уравнение гиперболы в системе координат О'хну". А 2. С помощью поворота осей координат системы Оху и последующего параллельного переноса привести уравнение кривой второго порядка бх~ — 2ху+5уа+ ъ/2х+ л/2У+ — = 0 4 (5) к каноническому виду.
Составляем матрицу квадратичной формы, сннзанпой с уравнени- ем 15): и решаем характеристическое уравнение — "— Л Л 1ОЛ+24 0 Оно имеет корни Лл = 4, Ла = 6. ЕЕаходилл взаимно ортогональпые нормированные собственные векторы матрицы А: 1/,/2 ' ' 1/,2 ' Тем самым определена матрица Р= ~ - -~ (сЕе1Р=1) /1/ъ'2 — 1/л/2 1 ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму, связанную с уравнением (5), .к каноническому виду 41х')а + 6(у')~. 1л. 17. Кеадрагаи еные и билинейные форели Это преобразование является поворотом осей координат на угол ие 1 такой, что сову = вшие = —, откуда ее = 45'. С помощью формул т/2 преобразовании координат х = — 1х — у'), у = — 1х + д') т/2 ъ'2 выразим в новых координатах линейные члены уравнения 15): х/2х + т/2у = 2х'. Итак, в системе координат Ох'у', полученной из системы Оху поворотом осей па угол 45', уравнение кривой имеет вид 41х')з + 61д')з + 2х'+ — = О.
Выделив полный квадрат по переменной х', получигн уравнение 4(х'+ — ) +6(р')з -~-1 = О. Положим хи = х' + —, ди = у' т. е. произведем параллельный перенос осей координат системы Ох'у' так, что начало координат перейдет в точку О'( — †,0). В новой системе координат О'хирн уравнение данной кривой имеет канонический вид: О н)е ( и)е — + д = — 1. 1/4 1/б Это — — уравнение мнимого эллипса. А 3. С помощью поворота осей координат системы Охд и последующего параллельного переноса привести уравнение кривой второго порядка 4х — 4ху + д — 2 х/5 х + 3 т/5 д + — = О з 129 (6) 20 к каноническому виду.
2Л Составляем матрицу квадратичной формы., связанной с уравнением 16): — 2 1 и решаем характеристическое уравнение 4 — Л вЂ” 2 з =Л вЂ” 5Л=О. Уравнения второго порядка Оно имеет корни Лз = О, Ла = 5. Находим взаимно ортогональные нормированные собственные векторы матрицы кП 2/ъ'5 ' 1/х/5 Они являются столбцами матрицы Р ортогонального преобразования, приводяшего квадратичну1о форму к каноническому виду: 1 / 5 -2/~/Р'1 2/у'5 1/х/5) При этом преобразовании (как и в примере 1, это поворот на угол у = агссоз(1/т/5)) координаты точек преобразуются по формулам (4).
Пользуясь этими формулами, запишем линейные члены уравнения (6) в координатах х', д'. — 2т/5х+ Зт/5д = 4х'+ 7д'. Итак, уравнение данной кривой в системе координат Ох'д' полученной из системы Охд поворотом осей на утоп д = агссоя(1/т/5), имеет вид 5(д') + 4х' + 7д'+ — = О. 20 В результате выделения полного квадрата по переменной д' получаем уравнение 5(д' + 0,7)г + 4(х' + 1) = О. Положим хп = х' + 1, дн = д'+ 0,7, т. е. произведем параллельный перенос осей координат системы Ох'д' так, что начало координат перейдет в точку О'( — 1; — 0,7). В системе координат О'ходи уравнение кривой имеет канонический вид: (до) = — 0,8х". Нто каноническое уравнение параболы.
я 4. Перейти к такой прямоугольной системе координат, в которой уравнение поверхности Зд + Зг~ -'г 4хд + 4хг — 2дг — 12ъ'30х — 14т/300д + 2т/300з + 506 = 0 (7) имеет канонический вид, и определить тип поверхности. Квадратичная форма Здз + Зг~ + 4хд + 4хг — 2дг, 1л. е7. Квадратичные и билинейные форыы йг связанная с уравнением (7), имеет матрицу 2 3 — 1 Собственные значения этой матрицы суть Лч = — 2, Лг з = 4, а столбцы (векторы) являются попарно ортогональными нормированными ее собственными векторами (сил, пример 1 на с. 160). Определитель ьлатрицы, составленной из этих столбцов, равен — 1.
Поменяв местами первый и второй столбцы в матрице (Ег Р~ гз), получим ортогональную матрицу 1/ч/5 — 2/т/6 2/т/30 Р = (Е~ Г Гз) = 2/ч/5 1/ч/6 — 1/ч/300 0 1/т/6 5/ч/300 определитель которой равен единице. Ортогональное преобразование переменных (8) приводит квадратичную форму к следующему каноническому виду, 4(т/)г 2(„~)г+ 4(г')г С помощью формулы (8) вычислим в новых координатах линейныс члены уравнения (7): — 12тБЮ:, — 14т/30 0р + 2т/30 0= — 40т/6 т' + 12ье5 д'. Итак, в системе координат Ох'у'г' с коордиватными векторами 1', 1', 1е' уравнение поверхности имеет вид 4(щ ) г — 40ъ/бг' — 2(р )' + 12ч/5 у' + 4(г ) + 506 = О. Выделив полные квадраты по переменным х' и д', получим уравнение 4(х' — 5ч/6)г — 2(у' — Зт/5) + 4(г')' — 4 = О.
24. уравнения второго порядка Неловким хн = х' — 5~ 6, уо = р' — Зтгоб, зо = з', т. е. произведем параллельный перенос осей координат системы Ох'р'з' так, что начало координат перейдет в точку О'(5хГ6,3уг5,0). В новой системе координат О'хоуп-в уравнение поверхности имеет канонический вид: о г Это -- уравнение однополостного гиперболоида. Обсудим геометрический смысл ортогонального преобразования Р, имеющего своею матрицей матрицу Р. Это преобразование ЯвлЯетсЯ опеРатоРом повоРота пРостРаиства 1'з на Угол гр вокРУг некоторой прямой 5, и векторы 1',т',1с' получаются соответственно из векторов 1, 1,1с в результате такого поворота.
Найдем направляющий вектор Ъ = (Ь',Ьг,Ьз) прямой Е и утоп поворота гр. Вектор Ъ это собственный вектор матрицы Р, соответствующий ее собственному значению, равному единице, поэтому координаты Ьг, Ьг, Ьт вектора Ъ удовлетворяют однородной системе линейных уравнений (Р— 1. 1) Ьа Отсюда находим направляющий вектор: Ъ = ~ ",+ ' т, т, ( 6+ Л)т~ 11 ~ О). Угол поворота уг вычислим, пользуясь формулой Рн жрггн Рзз 1 созуг = 2 откуда следует, что , чрб ж Л вЂ” ъ~ЗО Ч- о уг = агссоа А 2ъ'30 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 17. Нриведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с поьющью поворота осей координат системы Охд и последующего параллельного переноса.
Укажите угол поворота и координаты нового начала координат (точки О') в системе Ох'у', Рл. 17. Квадратичные и билинейные формы полученной в результате поворота осей системы Оху. Укажите тип кривой; а) 9хг + 12ху + 4дг + ах + 5у + с = О, где; 1') а = бч!ГЗ, Ь = 4чг13, с = 13; 2') а = 8чт13, 5 = ъгГЗ, с = 13; б) Зхг — 2ху + Здг — 8чт2х, + 16ъ'2д + с = О, где: 1') с = 42; 2') с = 44; в) 5хг + бху + 5дг — 16х — 16у — 16 = 0: г) Оху+ 8уг — 12х — 26д + 11 = 0; д) 7хг + 16ху — 23уг — 14х — 16у — 216 = 0; е) 9хг + 24ху + 16уг — 40т + 30у = О. 18. Перейдите к такой прямоугольной системе координат, в которой уравнение данной поверхности имеет канонический вид.
Определите тип поверхности и напишите формулы преобразования координат; 2 2 4 16 32 а) 2х + у- — 4ху — 4уг+ — х — — д 4- — г+ 10 = 0; 3 3 ' 3 б) — 2уг+ ох — З~/29+ чГ2г — 7 = О, где; 1') о = 5, 2') о = 0:, в) 5хг + буг + 7гг — 4ху + 4уг — 10х + 8у + 14г — 6 = 0; г) 2хг + 5дг -~- П г — 20хд + 4хг + 16у — 24х — бд — 6г — 18 = 0; д) Зхг — 2уг — гг + 4хд + 8хг — 12уг + 18х — 12р — 6- = 0; е) 4хг + 2уг + Згг + 4хг — 4дг — 10х + 4у + 6 = 0; ж) дг — гг + 4ху — 4хг — 2х + 6д + 2г + 8 = О. 3 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
