В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 33
Текст из файла (страница 33)
...,Ь„, определяющие форму Е(х) в базисе е|,е|ь...,е„, по формулам (3). Заметим, что формулы (3) имеют такой же вид, как (1), т. е. величины Ье при переходе к другому базису преобразуются так же, как базисные элементы. При мер 2. Любой элемент х линейного пространства В„в ба- ЗИСЕ Е|, ЕЗ, ..., Еп ОнрЕдСЛяотея П ЧИСЛаМИ т', Хз, ..., т," КООрдннатами элемента х в этом базисе: х = х'е,. При переходе к базису 11, Гз, ..., Тп элемент х бУДет иметь пРеДставление х = х о Го, пРичем столбец Х, = (х') координат элемента х в базисе е|, ез...., еп связан со столбцом Хс = (хе) координат этого элемента в базисе 11, Гэ, ..., Гп следующим образом; Хс = С 'Х„или т о = с о:го, д = 1, 2, ..., п.
(4) Формулы (4) схожи с формулами (2): новые координаты хо элемента х выражаются через старые координаты хо аналогично тому, как старые базисные элементы е, выражаются через новые базисные влез|виты Тр (короче говоря, с помощью обратной матрицы С 1). В ы вод. В рассмотренных примерах есть нечто общее: и линейная форма, и элемент линейного пространства в каждом базисе определяются п числами, причем при переходе от одного базиса к другоыу эти числа преобразуются линейно.
Но есть и важное различие: у линейной формы определяющие се числа (координаты) преобразуются с помощью л|атрицы С, т. е. так же, как базисные элементы. В такоы| случае говорят, что они прсобразуютсн ковариантно с базис- ными элементами, и индексы у координат пишут внизу. Координаты Гл, р11. Тензоры элементов линейного пространства преобразуютсн с помощью матрицы С ', т, е., как говорят, контравариаятнв с базисными элементагии. В этом случае индексы у координат пишут вверху. Иными словами, положение индексов внизу или вверху у координат того или иного объекта показывает, как именно (ковариантно или контравариантно) преобразуются эти координаты при переходе от одного базиса к другому. Рассмотрим еще два примера.
П р и мер 3. Пусть В(х, у) билинейная форма, определенная на линейном пространстве В„, емез,...,е„. базис в этом простРанстве, т. = х"е„, Р = Уесе. Тогда В(х,р) = В(х"е~, у~е ) = Ьр хну~, где Ьре — — В(ср,ее). При переходе к базису 1ы~з,...,1н по формулам (1) приходим к равенствам х =х"Б.
р =У'Б„В(х,Ч) =ВГИК "1р,У'1е) = ЬреТ"У', где Ь„, = В(1р, 1е) = В(с' е„с'е,) = с' с'Ь,, т. е. (5) Таким образом, билинейная форма В(х,у) в каждом базисе определяется пз числами, занумерованными с помощью двух индексов, причем при переходе от одного базиса к другому эти числа преобразуются по правилу (5), т. е. по каждому из двух индексов, так же, как базисные элементы (ковариантно). П р и мер 4. Линейный оператор А, действующий в линейном пространстве В„, в базисе ем ел, ..., ен имеет матрицу А, = (ан). При переходе к базису ~»,1з, ..., 1н по формулам (1) эта матрица преобразуется в матрицу А1 = С 'А„С, элементы а~' которой связаны с элементами матрицы А, соотношениями (6) Таким образом, линейный оператор А в каждом базисе определяется п~ числами, занумерованными с помощью двух индексов, причем прн переходе от одного базиса к другому эти числа преобразуются по формулам (6), т.
е. по нижнему индексу, так же, как базисные элементы (ковариантно), а по верхнему — с обратной матрицей, т. о. контравариантно по отношению к базисным элементам. 2. Определение тензора. Итак, мы рассмотрели четыре различных объекта: линейную форму, элемент линейного пространства, билинейную форму и линейный оператор. Иаждый из этих объектон в 91. Тензоры в п-мерном линейном пространстве 193 любом базисе линейного пространства описывается совокупностью и или и- чисел, занумерованных с помощью одного или двух индексов, причем при переходе от одного базиса к другому эти числа преобразуются по указанным правилам.
Существуют другие объекты, которые в каждом базисе линейного пространства описываются упорядоченной совокупностью чисел [координат), занумерованных с помощью трех и более индексов, и при переходе от одного базиса к другому эти координаты преобразуются аналогично тому, как прообразовывались координаты объектов в рассмотренных примерах. Такие объекты называются тензорами.
Дадим определение тензора. Определение. Геометрический объект [А[", который в каждом базисе еыез,...,еп линейного пространства Л„ определяется тР+ч кооРдинатами [числами) а ' ""' ' [индексы сз, ...,1ч, 1е, ...,1р независимо друг от друга пробегают значения 1,2, ...,и), называется тензорол типа (р,д) [р раз ковариантным и а раз контравариантным), если при переходе к базису ~в 19, ...,1"„по формулам (1) его координаты преобразуются следующим образом: — ив..м о~ ое ое — и — ж — Ы щэо.,.(3 [7) а с с с сз сд ° св а Здесь а " ..'" ' координаты тензора [А[о в базисе ~~, ~з, ..., Тп, с" элементы обратной матрицы (сьь (2)). Верхние индексы ез,19, ...,1о называютса нонтРаваРиантныли индексами, а нижние индексыйыуг, ... ...,1р — — новариантными инденсалш.
Число т = р+ д называется рангом тензора. Как следует из определения, тензор ранга г в и;мерном пространстве имеет и" координат в каждом базисе. Скаляр, т. е. величину, имеющую во всех базисах одно и то же значение, можно рассматривать как тензор нулевого ранга. Набор из и чисел [бч) в примере 1 координаты ковариантного тензора ранга 1; набор из и чисел (хч) в примере 2 координаты контРаваРиантного тензоРа Ранга 1; набоР из пг чисел [Ьро) в пРимере 3 координаты ковариантного тензора ранга 2; набор из пз чисел (а") в примере 4 .. координаты тензора ранга 2, один раз ковариантного и один раз контравариантного. Последний тензор называется также сметанным тензором ранга 2.
Если в каком-либо базисе координаты двух тензоров совпадают, то они совпадают и во всех других базисах, так как при пароходе к другому базису координаты обоих тензоров преобразуются по одним и тем же формулам [7). Следовательно, чтобы задать тензор, достаточно задать ого координаты в каком-нибудь базисе.
Определение. Тензор, координаты которого не меняют своего значения при перестановке двух верхних или двух нижних индексов, называется симлетричныл по этим индексам. Гм 711. Твнзори 3. Операции над тензорами. 1) Сложение и вычитание тен воров. Пусть [А]» и [В]" два тензора Одного типа (р,с1), и пусть их координаты в некотором базисе ез,езя...,ев равны соответственно а.',",з и Ь' '"' ". Срм- 1,2 ..р 2122 "Зр' мвй [А]» + [В]» «разностью [А]» — [В]') этих тензоров называется тензор [Р]» того же типа [ряд), координаты а' ' " ' которого в базисе ез, ез, ..., е„выражазотся формулой дйи "= "" "+Ь"" *. З1И" ' = "" ' Ьпяял С мм з, зззя "з, зяле з, [ зсзя" зр мм з, зям" з,)' =а ' + ' . [с ' =а 2) Умножение тензоров.
Пусть [А]» — тензор типа «р,сз) с координатами а,',', " ' в базисе езяез, ..., е„, а [В];, - — тензор типа «г, а) с координатами Ь"",;„",„з' в том же базисе. Составим всевозможные произведения координат тензора [А]" на координаты тензора [В]„': 1112..12 ЬЗ1З2" 1 Зз 22 Зр ~ шя... рл Индексы у координат тензора [В]„' заменим новыми индексами, по- ЛОЗКИВ 12 = 2» 1, ..., Ср = 2» я, Гас = З» »21 ..., Гар = З» Ьр.
ПОЛУЧИМ ПРО- изведения вида а 1112 «8) 2122 .Зр Зр.2122.12 Зр.|. Произведением тензора [А]' на тензор [В]„ 'называется тензор [Р]»~~"„ типа [р+ г, 21 + а), координаты И ' '"' '"' которого в базисе ез, ез, ..., е„ равны величинам (8)1 т. е. ~1112" яя-1 1112" 12 Ьср»11»»2" 1ЯР' =а, йп-.З с« 'з и" з з р 3 ря . з р, ' «й) Например, произведением тензора [А]с с координатан|и а» в базисе ес, езя ..., е„на тензор [В]оз с координатами Ь' в том же базисе является тензор «Р], 'с координатами д»2 = а»Ьз в базисе ес, ез, ..., е, Коли [А],", = а тензор нулевого ранга, т, е, число, то при умножении его на тензор [В]» получается тензор того же типа [р,яз), каждая координата которого равна произведению соответствующей координаты тензора [В]' на число О. Умножение тензора пе обладает свойством перестановочпости, т.
е. равенство [А]»[В]'„ = [В]„'[А]» вообще говоря, не имеет места. О п р е д е л е и и с. Тензор, у которого при перестановке каких-либо двух верхних или двух нижних индексов не меняются абсолютные значения координат, но изменяется их знак, называется нососилзмвтричним тензором по данным индексам.
91. Тензоры е п-мерном гщнейном пространстве 195 Рассмотрим, например, произведение двух ковариантцых тензоров [А]", и [В]о ранга 1 в пространстве Лг. Пусть в базисе еы ег первый тензор имеет координаты аг = 1, аг = 2, а второй тензор имеет координаты Ьз —— 3, Ьг — — 5.
Произведение [А]о,[В]о = [С]~г есть дважды ковариантный тензор, имеющий в том же базисе координаты с, ~ — — агЬг — — 3, с,г — — агЬг = 5, сгг — — агЬг — — 6, сгг = агЬг = 10. Произведение тех жс тензоров в обратном порядке [В]о[А]о = [Р~~ есть также дважды ковариантный тензор, имеющий в базисе еы ег координаты сгы Ьга~ — — 3, гггг —— 5~ аз —— 6, сгг~ — — Ьга~ — — 5, сггг — — Ьгаг — — !О Так как сгг Ф Агг то [С]г Ф [Р]г 3) Свертывание тензора.
Пусть тензор [А]' имеет координаты а ' '"' ' в базисе емег, ...,е„. Выделим какой-нибудь верхний Эггг . гр индекс, например, 1 [т. е, индекс с номером а) и какой-нибудь нижний индекс, напримерг 1вг и рассмотрим только те координаты, у которых эти индексы равны: 11...г -1г 1 .гг...гч а. "' .71 1е-гг М.г1 "гч Здесь индекс 1в заменен на равный индекс г . Введем тепзор [В]о координаты которого в базисе ем ее, ..., еп выражаются формулой 11...1 — 11'1..1111...1 — 11 1-г-1...11 гг.ое — гйоег "о, гг "ое — гг геег" ж' =а В соответствии с нашей договоренностью выражение в правой части равенства представляет собой сумму и слагаемых, в которых 1„ пробегает значения от 1 до и.
Операция перехода от тензора [А]' к тснзору [В]~~ д называется свертыванием тензора [А]„" по двум выделенным индексам г„и 1в, а сам тензор [В]о будем называть свертяой тензора [А]о по указанным индексам. При мер. Пусть тензор [А]г имеет в базисе ем ег линейного пространства Лч следующие координаты а"": а]г = — 1, а]г = 2, аг~г — — 3, агг = 1, аг" — — 4, агг — — — 5, а~гг —— 1, аггг — — 6. Свертывание этого тензора по индексам й и г1 дает тонзор [В]ог, имеющий в том же базисе еы ег координаты Ь' = а„',ь = а[г + а,'г = — 6 и Ьг = агь = а-" ,+ агг = 9. Операция свертывания часто применяется к произведению двух тензоров по индсксам, взятым в разных сомножителях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
