В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Г»ь Р1П. Группы 2»6 14. Докажите, что если С» нспустоо конечное подмножество группы С, такое, что У а, .у е С» . х о у е С», то С» --. подгруппа группы С. 2 2. Группы преобразований Основные понятия 1. Группа движений. В элементарной геометрии рассматриваются преобразования плоскости (пространства), которые называются движениями (их называют также перемещениями или наложениями).
Движение это такое преобразование плоскости (простра»»ства), при котором сохраняются расстояния между точками, т. е. для любых точек А и В плоскости (простра»»ства) выполняется равенство А'В' = АВ, где А' и В' — точки, в которые переходят точки А и В при данном преобразовании, АВ расстояние между точками А и В. Примераъ»и движений являются параллельный перенос плоскости (пространства) на данный вектор, центральная симметрия плоскости (простра»»ства) относительно дашюй точки, осевая симметрия плоскости (пространства) относительно данной прямой, зеркальная симметрия пространства относительно данной плоскости, поворот плоскости на заданный угол вокруг данной точки.
Множество всех движений плоскости (простра»»ства) образует группу. Групповой операцией является композиция двух движений, т. с. последовательное выполнение двух движений н заданном порядке. Ясно, что композиции двух движений является движением. Композицин движений обладает свойством ассоциативности. Единицей группы движений является тождественное преобразование, при котором все точки плоскости (пространства) переходят сами в себя. И наконец, обратное преобразование к данному движению также сохраняет расстояние между точками, т. е.
является движением. Важную роль играют различные подгруппы группы движений, например подгруппа поворотов плоскости вокруг данной точки (см. пример 1 на с. 217). 2. Группа преобразований линейного пространства. Иаждый линейный певырожденный оператор, действующий в линейном пространстве, осуществляет взаимно однозначное отображение линейного пространства на себя. Множество всех линейных невырождецных операторов, действующих в данном и-мерном линейном пространстве, образует группу относительно операции умножения операторов. Единицей группы является то»кдественный оператор, а обратным элементом для операто- 42. Груваьс аргоаразований 217 ра А явлнотся обратный оператор .4 г.
Эта группа называется также группой преобразований данного линейного пространства и обозначается С1 '1п). Множество нсех ортогональных операторов, действующих в п-мерноче евклидовочл пространстве, образует подгруппу группы СЦгс). Она обозначается 0(гс) и называется ортогональной группой (см. пример 2 на с. 218). 3. Изоморфизм групп Определение. Группы С и С' называются изоморфнылси, если между их элементами существует такое взаимно однозначное соответствие, при котором длн любых элемснтон ац у из С и соответствующих им элементов ж', у' из С' выполняется равенство (т о у)' = т' о у', где (т о у)' -- элемент из С', соответствующий элементу х о у из С. Указанное соответствие между изоморфными группами С и С' называется изомор?ризмом.
Группа преобразований данного и-мерного линейного пространства С1,?и) изоморфна группе (по умножению) всех невырожденных квадратных матриц п-го порядка (ель пример 2 на с. 214), а группа 0(п) ортогональцых операторов изоморфна группе всех ортогональных матриц и-го порядка. Контрольные вопросы и задания 1. Что называется движением плоскости (прострассства) в элементарной геометрии? 2.
Приведите примеры двилсений. 3. Является ли движением композиция любых двух движений? 4. Какое преобразование является единицей группы движений? 5. Образует лн множество всех параллельных переносов плоскости (пространства) подгруппу группы двилсений? б, Что такое группа преобразований данного линейного пространства' ? 7. Что такое ортогональная группа? Укажите какую-нибудь подгруппу ортогональной группы О(2).
8. Дайте определение изоморфных групп. 9. Приведите пример изоморфных групп. Примеры решения задач 1. Доказать, что: а) всевозможные повороты плоскости вокруг данной точки образуют абелеву группу относительно операции композиции двух поворотов; г в чс вжтзов в лг Гж ТХХХ. Группы б) эта группа поворотов изоморфна группе, элементами которой являются матрицы вида / соз ф — зш 'р ) гйп~р сов~с) ' (2) а групповой операцией является умножение матриц. а) При повороте плоскости на угол у вокруг данной точки 0 сама точка 0 остается па месте, а произвольная точка ЛХ плоскости, отличнан от О., переходит в точку ЛХ' такую, что ОЛХ' = ОЛХ и радиус ОЛХ окружности с центром О совмешается с радиусом ОЛХ' в результате понорота на угол ~р.
При этом поворот производится по часовой стрелке, если р ( О,. и против часовой стрелки, если р ) О. При ~р = 0 все точки плоскости остаются на месте, т. е. поворот на угол д = 0 является тождественным преобразованием. Ясно, что композиция (т. е. последовательное выполнение) двух поворотов на углы у1 и ~рз является поворотом на угол сл1 + ~рз, причем независимо от того, в каком порндке выполняются повороты на углы р~ и Члз., т. е.
композиция поворотов обладает свойством коммутативности. Очевидно также, что эта операция ассоциативна и для поворота на угол р обратным преобразованием является поворот на угол -р. Итак, всевозможные повороты плоскости вокруг данной точки образуют абелеву группу, которая является подгруппой группы движений плоскости. б) Множество матриц А(р) вида (2) образует группу относительно операции умноженин матриц (сьь пример 3 на с.
214). Поставим в соответствие повороту плоскости на угол р вокруг данной точки (обозначим этот поворот Р, ) матрицу А(ф. Тени самым между элементами Рл группы поворотов и элементами А(уп) группы матриц вида (2) установлено взаимно однозначное соответствие. Убедимся в том, что это соответстние является изоморфизмом, т.
е. удовлетворяет условию (1). В самом целе, композицией поворотов Р, и Рл., является поворот Р,,ен„ которому соответствует матрица А(~р1 + ~рз). Но А(р1 + + рз) = А(р1)А(дз), т. е. композиции днух поворотов соответствует матрица, являюшаяся произведением матриц, соответствуюших этим поворотам. Это и означает, что в данном случае выполнено условие (1). Итак, указанные группы изоморфны. я 2.
Обозначим через ЯО(2) множество всех операторов из ортогональной группы 0(2), у каждого из которых определитель матрицы в ортонормированном базисе равен 1. Доказать, что: а) 50(2) является подгруппой группы 0(2); б) группа ЯО(2) изоморфна группе матриц А(:р) вида (2). ХУ а) Пусть Я~ и ьХз .
" операторы из множества 50(2), т. е, с1ет Я1 — — 1 и с1еФЯз = 1, где 01 и Цз —. матрицы операторов О и Яз в ор- В 9. Группы преойразоеапий 239 тонормированном базисе. Матрицей оператора Ц~Яз в этом базисе является матрица Я~(~я Так как е1ет(У~Цв = ЙетЦ~ . с!еГЯв — — 1, то оператор ЩЩ принадлежит множеству 50(2). Матрицей оператора Я, ' в указанном базисе являетсн матрица Я, ', и так как е1е1Я,п = = 1/ е1е1 Я~ = 1, то оператор 0, ' также принадлежит множеству 50(2). Таким образом, для множества операторов 50(2) выполнены условия 1) и 2) определения подгруппы, и поэтому 50(2) является подгруппой ортогональной группы 0(2). б) Зафиксируем какой-нибудь ортонормированный базис в двугяерпом евклидовом пространстве. В данном базисе каждому оператору 0 из группы ЯО(2) соответствует матрица 0 этого оператора, которая является ортогональной с определителем, равным 1.
Пусть Р~ Рз Согласно свойству ортогональной матрицы имеем а 2 а р!+Ч1 1 рз+Цз 1' Поэтому существуют такис во и 6, что р~ = сов во, 9~ = яп уо, рз = сов уй, 92 = яп еп Так как, кроме того, р~рг + ей па — — О и с1ег 0 = райфо — Врз = = 1, то сов9о совф+ впар 91п4 = О и япоо.вшф — в1п9о совф = 1, т. е. сов(ф — уо) = О, .вш(ф — 9о) = 1. Отсюда получаем ф = 9о+ — + 2ли 2 и, следовательно, Р, = сов:Р, оп = вш уо, Рв = — вш уо, йз = сов9о.
Итак, матрица Ц произвольного оператора 0, из множества 50(2) в данном базисе имеет вид (сов~о — яп9о ') 1 вш~р сов уо ) ' т. е. Я = А(~р), где А(уо) -- матрица вида (2). Очевидно, верно обратное: каждой матрице А(уо) вида (2) при фиксированном ортонормированном базисе соответствует ортогональный оператор из множества 50(2), матрипей которого в этом базисе является А(во) Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между операторами из 50(2) и матрицами А(уо). Поскольку матрицей произведения операторов Я~ и 09 с матрицами А(9о~) и А(воз) в данном базисе является произведение матриц А(9о~)А(воз), то установленное взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, а значит, ГруППа 50(2) ИЗОМОрфиа ГруППе МатрИц А(уо).
Л Гл. У1П. Группы 220 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 15. Докажите, что композиция движений плоскости (пространства) обладает свойством ассоциативности. 16. Докажите, что множество движений, состоящее из поворотов пространства вокруг оси Оз дашюй прямоугольной системы координат, зеркальной симметрии относительно плоскости Оху и всевозможных композиций указанных движений, образует подгруппу группы движений пространства. Укажите группу квадратных матриц третьего порядка, изоморфных этой подгруппе движений. 17.
Докажите, что множество движений, состоящее из зеркальных симметрий относительно координатных плоскостей данной прямоугольной системы координат и всевозможных композиций этих симметрий, образует конечную подгруппу группы движений пространства. Найдите порядок этой подгруппы и укажите изоморфную ей группу квадратных матриц третьего порядка. 18. Докажите, что множество унитарных операторов, действующих в и-мерном унитарном пространстве, образуют группу относительно операции умножения операторов (эта группа называется унитарной и обозначается 11(п)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
