В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 39
Текст из файла (страница 39)
19. Докажите, что множество всех операторов из группы Г'(и) (сьь задачу 18), у каждого из которых определитель матрицы в ортонормированном базисе равен 1 или — 1, образует подгруппу группы Н(и). Образуют ли подгруппу те операторы из Н(п), у которых указанный определитель равен: а) 1; б) — 17 2 3. Группа преобразований Лоренца Основные понятия 1. Псевдоевклидово пространство. Пусть в и-мерном линейном пространстве В задана невыроькденная симметричная билинейная форма В(х, у), у которой соответствующая квадратичная форма В(х,х) является знакопеременной.
Такая билинейная форма не удовлетворяет четвертой аксиоме скалярного произведения, согласно которой должно выполняться неравенство В(х,х) ) О при х ф у. Откажемся от этой аксиомы и введем скалярное произведение в пространстве В с помощью данной билинейной формы; (х, у) = В(х, у). (1) Определение. Линейное пространство В со скалярным произведением (1) называется псевдоевклидовым пространством. Хо. Группа преобразований Лоренца Если квадратичная форма В(х,х) имеет р положительных и в отрицательных канонических коэффициентов (р+ в = п), то псевдоевклидово пространство обозначается Ва (Г:41' 2. Пространство Минковского. Преобразование Лоренца.
Псевдоевклидово пространство Б41 .1 называется пространством Минковского. Оно играет важную роль в физике, поскольку является пространством событий в специальной теории относительности (СТО). Координаты элементов (точек) этого пространства обозначают обычно через хо, х1, .хг, хз. В СТО координата хо считается временной, а координаты х1, хг, хз пространственными. Временную координату хо полагают равной с1, где 1 время, с скорость света. При этом все четыре координаты измеряются в одних единицах. Среди всевозможных систем координат особую роль играют такие системы (они называются галилеевыми), в которых скалярное произве ение 1 имеет ви д () д (х,у) = х у — ~ ~хзрз.
(2) 3 з=1 Величину (х,х) = (х")~ — ~~ (хз)~ называют квадратом пространстз=1 веяло-временного интервала (или просто интервала) и обозначают яг(х). Введем матрицу ΠΠ— 1 О которая является матрицей билинейной формы (2) в галилеевой системе координат. Отметим, что элементы этой матрицы являются координатами дважды ковариантного тензора, который называется метрическим тензором пространства Я, (см. ~ 2 гл. УП). С помощью матрицы Л квадрат интервала в галилеевой системе координат э|ажно записать в виде Яг(х) = Хт ЛХ,.
Р) где Х столбец, элементами которого являются координаты хо, х', хг, хз точки т. Перейдем к новой галилеевой системе координат. Пусть при этом Х = ВЛ, где Х столбец, составленный из новых координатат хо, х', ха, хз точки х, В = (б'.) матрица преобразования координат. Будем называть данное преобразование координат преобразованием с матрицей В. Гл.
?г?В. Группы 222 Квадрат интервала в новых координатах имеет вид Яг(з) = Лт(ВГЛВ)Х, а так как новая система координат по условию является галилеевой, то должно выполняться равенство вида (3), т, е. Вг~ ~ ХтЛХ откуда следует, что ВтлВ = Х (4? Определение. Преобразование координат с матрицей В, удовлетворяющей условию (4?, называется яреобразованиеж Лоренца простраиства Минковского. Множестно всех преобразований Лоренца образует группу относительно композиции (т. е. последовательного выполнения) преобразонаний. Единицей группы является тождественное преобразование с единичной матрицей, а обратным для преобразования с матрицей В являетсн преобразование с матрицей В Важную роль в специальной теории относительности играет подгруппа преобразований Лоренца, при которых координаты тг и шз це изменяются (тг = шг, зз = хз?, а координаты т.
и х выражаются через х~ и шг формулами 0 ?? 1 1 Л 0 (б) ??г ' где Д произвольное число из интервала (-1,1). Полагая в формулах (5) х~ = с?, лг = с~, Д = гг?'с, получим 8 — — л 1 сг , з — гя Соотношения (6) представляют собой знаменитые формулы Лоренца в том виде, как их обычно записгявают в физике. При этом величина о имеет смысл скорости, с которой новая система координат движется относительно старой в направлении оси ш~. Контрольные вопросы и задания 1. Какое линейное пространство называется псевдоевклидовым? 2.
Что такое пространство Минковского? 3. Напишите выражение для скалярного произведения в галилеевой системе координат пространства Минковского. 4, Напишите выражение для пространственно-временного интервала. 5. Какое преобразование называется преобразованием Лоренца пространства Минковского? 4о. Группа преобразований Лоренца б. Напишите формучы преобразования Лоренца, при которых две пространственные координаты не изменяются, а изменяются только одна пространственная н временная координаты. Примеры решения задач 1.
Доказать, что преобразования Лоренца (т. е, преобразования, удовлетворяющие условию (4)) образуют группу относительно операции композиции преобразований. Рассмотрим два преобразования Лоренца с матрицами В1 и Вз. Согласно определению (см. равенство (4)) имеем В~аВ, =,1, 1=1.2. (7) Композицией этих двух преобразований (Х = В1Х и Х = В2Х) является преобразование Х = В1В1Х с матрицей В = В, В . Убедимся в том, что матрица В удовлетворяет условию (4).
В самом деле, используя формулу (В1В2)т = ВтВ2, ассоциативность умножения матриц и равенства (7), получаем В" ДВ = (В,В2) тЛ(В1В2) = (ВтВ",) Л(В1 В2) = — В2 (В1™1)В2 — В2 ~В2 Итак, ВтоВ = Л, т. е. матрица В удовлетворяет условию (4), и, следовательно, композиция двух преобразований Лоренца является преобразованием Лоренца. В силу ассоциативности умножения матриц композиция преобразований Лоренца также обладает свойством ассоциативности.
Далее, единичная матрица (матрица тождественного преобразования), очевидно, удовлетворяет условию (4), т. е. тождественное преобразование является преобразованием Лоренца, а так как композиция любого данного преобразования и тождественного есть данное преобразование, то тождественное преобразование удовлетворяет требованию, предъявляемому к единице группы.
Наконец, убедимся в том, что обратное преобразование по отношению к преобразованию Лоренца с матрицей В также является преобразованием Лоренца. Для этого нужно проверить, что матрица В обратного преобразования удовлетворяет условию (4), т. е. (В-1)Т,УВ-1 = В Для матрицы В равенство (4) выполнено. Умножая это равенство на матрицу (Вт) ' слева и на матрицу В ' справа, получаем (Вт)-1 В'ЛВВ-1 = (Вт)-1 ДВ-1.
Гл. 1'1В. Группы Но (Вт) зВ = 1, ВВ ~ = 1, 1В ) ~ = (В з)г, и поэтому соотношение (9) принимает вид ,3 = (В ')~эВ ', т. е. имеет место равенство (8). Таким образом, для композиции преобразований Лоренца выполнены все аксиомы группы. Тем самым доказано, что преобразования Лоренца образуют группу относительно операции композиции преобразований.
а 2. Доказать, что преобразования координат, при которых координаты хз и хз не изменяются (хз = ха, хз = хз), а координаты хо и х' преобразуются по формулам (5), где 13 — произвольное число из интервала ( — 1. 1), образуют группу. Данное преобразование координат можно записать в виде Л = В(В)Х, (10) где Х= з, Х= В(ц) = <11) Композицией двух преобразований Х = В(3~)Х и Х = В(Дз)Х является преобразование Х = В(33з)В(>3~)Х. Проделав соответствующие вычисления, приходим к равенству В(332)В(д1) = ВЮ где А + 33з (12) 1+ Д33з Нетрудно доказать, что из неравенств -1 < Д < 1 и -1 < Дз < 1 следует, что — 1 < В < 1. Таким образом, композицией двух преобразований вида (10) является преобразование вида (10).
Ассоциативность композиции преобразований вида (10) следует из ассоциативности умножения матриц. При,З = 0 матрица (11) является единичной матрицей, соответствующей тождественному преобразонанию, которое играет роль единицы группы. Наконец, вычислив 1 ХУ1 — 13з — Р г1 "Зз 0 0 0 0 /1,3з 0 0 У1 Дз 0 1 0 0 0 1 уу. Группа преобразований Поренпа обратную матрицу для матрицы В(р), получим  — т (Д) — В( 0) и поэтому обратное к (10) преобразование координат имеет вид Х = В(-Д)Х, т. е.
также является преобразованием вида (10). Таким образом, множество преобразований вида (10), где — 1 < < Д < 1, образует группу. д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 20. Матрица В(1з) задана формулой (11). Докажите, что; а) В(1зт)В11зз) = В(Дз), где Д определено формулой (12); б)еслиДзб( — 1,1),В Е( — 1,1),тоДЕ( — 1,1). 21. Докажите, что композицией двух преобразований Лоренца аида (6) с параметрами пд и оз является преобразование Лоренца нида (6) с параметром о, связанным с от и оз формулой зп -~- оз зп оз 1 -~- —, сз (форгпула сложения скоростей в специальной теории относительности).
22. Докажите, что обратной для матрицы В(Д), определенной формулой (11), является матрица В( — Д). ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 1 1. а) 1 2; б) -2 3; в) т. =О=О. б. ) ЛВ= О О ВЛ= „,, АтВ'= О б) ЛВ= — ВА= -3 А В = — -3 ВтАт— в).4В=В4=А В =В Л =(оиЬобо)„х„, г)4В=, В4= 1 Π— 1 АлВг= О О Вт 4т — 2 — 1 — 4 — 1 Π— 3 — 5 3 О л) АВ= ! — 1 О, ВЛ= — 3 Π— 3 1 !г-4 1 21 АтВл =, ВлЛл = -1 — 1 — 1 3 1 3 1 О О О О О О О 8 а) О 13 а Ъ б) 2 2 ! 2Ь, где а и Ь произвольные числа; Глава Н в) Х не существует 1 ' 1))4 1))32 ' а)С вЂ” Ьс — с 11 У) 1) 1 — 4 — 3)1 — д) 1 — 5 — 3); е) (а,,'Ь;,) 1 — 1 6 4 12.
а) 0; б) 4аЬ; в) 40; г) Забс — аз — Ьз — с; д) або ф х1аЬ+ Ьс + са); е) — 20; )к) х~р~. 13. * а), б) Воспользоваться тем, что определ)стель имеет две одинаковые строки, если а = Ь или Ь = с или с = а; н) воспользоваться тем, что третий столбец раасн разности второго и первого столбцов. 14.а)х= — 10их=2; б)х=2. 15. а) — 6 < х < — 4; б) х < 0 и х ) 2. 16. 10х~ — 5хз. 17. а) -(" '") 19.
а) б),; в) -2; г) 20. г)* Использовать метод математической индукции. 21. а) Поменяются местами Ь-й и 1-й столбцы; б) Ь-й столбец умножится на число 1)х; в) из 1-го столбца вычтется Ь-й столбец, умноженный на число х. 22. а) 3"+' — 2"+'. * Сначала с помощью разложения данного определителя (обозначим его Р,) по элементам первой строки получить рекуррентную формулу Р„= 5Р„) — 6Р„з. Затем воспользоваться тем )ке приемом, что и при вычислении определителя в примере 3 па с. 17. б) )хз х)))хз х))(хз хз)» )х х))(х хз) ° ° )х х — )) * Воспользоваться тем, что определитель имеет даа одинаковых столбца, если для каких-нибуль неравных индексов с и 7 выполняется равенство х, = х,. Глава 11 4.
е) Не выполняется аксиома бо: о()3х) ф )о)3)х, например, если х = 1, а = 1))5, )3 = 5. 7. а) да; б) да; в) да, если а = 0; нет, если а ф 0; г) да; д) да, если а=О:нет,еслиафО; е) да,селин=О;нет,еслиа~О; ж) да; з) да. 8. а) Множество векторов, параллельных плоскости с нормальным вектором хо; б) множество векторов, коллинеарных вектору хо. )с — 3 2 г) — 4 5 — 5 3 .)(', /1 — 3 г) 0 1 0 0 б) 0 2 -3; н) 2 -5 -1,5 228 Ответик и указания 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
