В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 40
Текст из файла (страница 40)
а) Мноязество векторов, коллинеарных данному вектору; б) множества векторов, коллнцеарных данаым векторам; в) множества векторов, параллельных плоскости, которой параллельны данные векторы; г) множества векторов, параллельных нласкости данных векторон, если среди них есть неколлинеарные векторы, и множество векторов, коллинеарных данным векторам, если они коллинеарные: д) маожество всех нектаров.
12. * Сначала доказать, что столбцы матрицы АВ являются линейными комбинациями столбцов матрицы А. 19. * Восподьзоваться тем, что х и у динейно зависимы, если существует число а такое, что у = х , либо х = у . 21. Размерность,линейного пространства равна: пайп а)ип п, б); в)и; г)и — 1; д)и-Ь1; е)и. 2 24. * Воспользоваться теоремой о базисном миноре. 25. * Воспользоваться тем, что ранг матрицы равен размерности линейной оболочки ее столбцов. 27. * Сначала доказать, что одаорадная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда столбцы матрицы ее коэффициентон линейно зависимы.
Затем воспользоваться утверждением из упр. 24. 28. * Воспользоваться тем, что определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше числа столбцов. Затем воспользоваться утверждением из упр. 24. 29. * Воспользоааться утнерждениями из упр. 27, 24, 28. 30. * Пусть Аы ..., А„-- базисные столбцы матрицы А. Представить каждый из остальных столбцов зиатрицы А в ниде линейной комбинации базисных столбцов: А~ = снАз + ... + с ~А, Д = г+ 1, ...). Затем предста- вить матрицу А в виде суммы А = ~~ В„где матрица В, получается из матрицы А, если положить А, = 0 при у' ф з' (О --нулевой столбец). 31. а) да, б) нет; в) нет; г) нет; д) да. 32. а) 3; б) 3; в) 4; г) и — 1; д) 2. 34.
Ранг матрицы равен: а) 2; б) 2; в) 1; г) 2; д) 2; е) 3; яс) 2; з)3; и)3; к)4; л)б. 35. Ответы неоднозначные. Приводим один из вариантов ответа: 8 О О 1 О О -1 О 2 1 3 ' О 2 О 1 О а) 1 , О ; б) О , О : в) 38. * Если С= А В и с1есВ ~ О, то А =С В '. Лалее воспальзанатьсн утверждением из упр. 36 и 37. 39. Ла. 40. Размерность линейной оболочки равна: а) 2; б) 2; в) 2. Базис определяется неоднозначно, например: а) хмхы б) хыхз; в) хмхз. 41. Ответы неоднозначаые. Принодим адин из вариантов столбцов координат базисных элементов: Глава П а) ..
о: б) 1, 2, 0 1 ' 0 ' 1 ' 0 42. Размерность лицейвого пространства равна: а)и,— 1; б)6; в)3; г)4; д)и; е)4; ж)2. Базис определяется неоднозначно. В качестве базиса можно взять: — 1 — 1 0 0 0 0 1 0 а) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 б) 0 0 О, 1 0 О, 0 0 О, 0 (о о в) 1 0 О, 0 0 О, 0 0 1 г) х — 2, х" — 4 тз — 8 х' — 16 д)х, л — 1, х, х — 1; ,,3 з ) О 1 О 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ' 0 1 48. а) 0 0 2; б) 1 1,5 0 в) 4лот = О, Х)л — — 1, Сзр= 2, Сзд = 0 43. Базис: ры рз,ро. 45. а) Поменяются местами две строки; б) поменяются местами два столбца; в) попая матрица получается из старой в результате симметрии относительно своего центра. 46. Координаты элементах раппы: а) 1, 4, -3: б) 1, 2, 3; в) О, 8, — 5.
47. 0,25; 0,25; 0,5; 0,5. Огаветлы и указания 230 г) 1"в — 6, з 1 — а а — ог з 3 0 1 — 2а Заз 49. Матрица 0 0 0 0 ( — а) ' в — 1 и( — а) ' с размера- 1 / 0 3,5 2,5 ) от базиса Гирю Вз к базисУ йыйз,йз. 1 4,5 4,5, матРица обРатного 0 — 3 — 2 /' -9 1 — 9'( перехода -4 0 -5 6 0 7 52. / = 3/1 — 4/з + 5/з — 2/ж / 7/9 -4/9 -4/9 1 / 2/3 -1/3 1/3 1 53. а) — 4/9 — 1/9 — 8/9 ; б) — 1/3 2/3 1/3 4/9 -8/9 -1/9 -1/3 1/3 1/3 /О О 1'1 /О 1 Оз1 в) 1 0 0 или 0 0 1 в зависимости от направления пово- 0 1 0 1 0 0 рота. 55. * Выбрать базисы ем...,е и е'„...,е'„в пространствах Л и Л' и далее элел1енту х = х1е1 -~- ... э; х„е„пространства Л поставить в соответствие элемент х = х1е, + ...
ф х„е„ пространства Л . Пля доказательства обратного утвержденин воспользоваться тем, что при изоморфизме линейно независимым элементам пространства Л соответствуют линейно независимые элементы пространства Л'. 56. * Воспользоваться тем, что если Л Л', то линейно независимым элезаентам пространства Л соответствуют линейво независимые элементы пространства Л . 57. а) 3; б) 2; в) 4; г) 5; д) 6; е) 7.
Глава 111 1. а) система сонместна; б) система несовместна; в) система несовместна. 2. а) 1; б) 5; в) 10; г) с любое число, не равное 7. 3. а) ; б) ; в) -3 ; г) -2 4. ФСР определяетсн неоднозначно. Приводим адин из возможных внриантов ответа. ми (и+ Ц х (и+ Ц. В (к+ Ц-и столбце матрицы стоят числа ( — а)ь, к(к — Ц..П — 1-~- 1\ с, (-а), ..., сь(-а), 1,0,0, ...,О, где с„= 50. 80+ 107(х — 3) + 54(х — 3) + 12(х — 3) + (х — 3) .
51. Координаты вектора х в базисе 10 Гз,(з равны: 11, 5; 11, 5; — 9. Координаты вектора х в базисе Кы йз, пз равны: — 11, — 1, 6. Матрица перехода Глава П1 — 1 — 1 — 1 1 . 0 0 а) ФСР: Хз =, Лг =, Хз =; общее решение 0 0 1 системы: Х = сзХЗ -'; сгХг + сзХз, где сз, сг. сз — — пРоизвольные числа; 4 -13 б) ФСР: Хз =; общее решение системы: Х = сЛЗ, где с —— 0 произвольное число; / 144 в) ФСР: Хз = — 1; общее решение системы: Х = сХЗ, где с 0 произвольное число; 1 0 0 0 1 . 0 4") ФСР: Хз =, Хг = О, Хз = 1, общее решение 0 0 0 системы: Х = сз Хз -'г сгХг 4- — 8 11 д) ФСР: Хз — — — 2 5 0 Х = сзХЗ -~- 444Хг, где сз, сг 0 1 е) ФСР: Хз = 3 0 0 Х = сзХЗ + сгЛЗ, где сз, сг- 1 сзХз, где сз, сг, сз . произвольные числа; — 2 Хг = 4; общее решение системы: 0 1 произвольные числа; 0 — 2 Хг = О; общее решение системы: 0 3 — произвольные числа; 0 1 — 1 1 0 х 1 0 0 1 ж) ФСР: Х~ = общее решение системы: Х = сзХЗ + сгХг, гле сы сг - произвольные числа.
7 хз,хг; хз,х4; хг,хз; хг,хз; хз,х4; гз,хз. 8. ил-1 — 74. 9. Например, 2х — Зхг + хз, бх — 7хг + хл. 10. Например: / 10х~ -~- 12хз — хл — 1бхз = О, ) ) 10хг -~- 62хз — х4 — 86хз = 0; ( 10хз + 12хз — х4 — 16хз = О, б) 10хг + 62хз — хл — 86хз = О, (последнее уравнение поау10хз +10хг -Ь 74хз — 2хл — 102хз = 0 чена в результате сложения уравнений системы в и. а)); Ответь! и рлазания 1ОХ4 -!- 12хз — х4 — 16хв = О., 10хз -!- 62хз — х4 — 86хз = О, 10х, !. 10хз !. 74хз 2х4 102х.
= 0' " УР 10Х4 — 10хз — 50хз -!- 70хз = 0 раз- ность ураввений системы из п. а)). 11. Нет. 12. а) х! = 1 — С4 — сз — сз, хг = ш, хз = сз, х4 = сз, где с!,сз,сз произвольные числа; б)х! = ! 4- 4С, хг = 1 — 13с,хз = 7с,х4 = О, где с произвольное число; 1 1 в) х! = с, хз = гга+5) — с, хз = -го — Ь), где с произвольное число: 2 2 г) х4 = см хз = с, хз = сз, х4 = 10, где с4, сз, сз произвольные числа: 23 6 23 д) х! = — — ЗС4 — 4сз, хз = — — -~- 11С~ — 2сз, хз = — — — 2с! + 4сз, 5 5 5 х4 = 5с4, хв = сз, где с4,сз произвольные числа; е) система уравнений несовместна; ж) х1 = с4, хз = 1 + с! — сз, хз = см Х4 = 1 — с! -!- сз, хв = см хв = сз, где см сз произвольные числа; з) х4 = — — 7с4 4-5сз, хз = Зсм хз = Зсз, х4 = — 1, где смсз пРоиз- 3.
вольные числа; и) х~ = — 2С! — 2ом хз = 1 — с4, хз = см х4 = сз, хз = О, где си се произвольные числа. 14. а) х4 = — 1,'- с4 + 2сз, тз = — 3 -> С4 4- 2сз, хз = с4, Х4 = сз, где с4, с, произвольные числа; б) х1 = 6 — с, хз = -5 -!- с, хз = 3, х4 = -1 — с, хв = с, где с произвольное число. 2 -!- с 4с -!- 7 хз = — а + , х4 = а, где а -- произвольное число. 2 2(2 — с) ( Х4+ Зхз — х4 = 3, 17. Например, ) х 4 — 2тз -!- хз -!- х4 = 1. 18. Например, 14-х — 2х, 14-Зх — 5зз -'с ха, 14-15х — 17хз жхв. 15.
а) При с ф 5 система несовместна; при с = 5 система совместна и ео !1 общее решение мол!но записать в виде х! = — 4 — ба, хз = — + 7а, хз = 2а, 2 где а — произвольное число; б) при с = — 2 система несовместна; при с ~ — 2 и с ф 1 система имеет единственное решение х! = Хз = хз = !2+ с) ', при с = 1 система совместна и ее общее решение мол!но записать в виде х! = 1 — с! — сз, тз = с4, хз = сз, где с! и сз произнольные числа; в) при с = 0 система несовмества; при с ф 0 и с ф 1 система имеет ! ! 1 единственное решение х1 = —, хз = — — 2, хз = — —; при с = 1 система с с с ! совместна и ее общее решение можно записать в виде х| = — — 2ав хз = 3 2 — + о,хз = За, где а произвольвое число; 3 г) при с = 2 система несонмостна; при с ф 2 система совместаа и ее общее 3 3 решение можно записать в виде Х4 = — !2 — с)а+ ,хз=2а+ —, 2 2(с — 2) с — 2 Глава Л' Глава 1Ъ' 1.
Нет. 2. а) 1') Нет; 2*) да; 3') да; б) в случае 2': (х, у) = — 2, ))х() = чгб., ()уп = ьг2, Эг = агссоз! — 21'гггГО); в случае 3': (х, у) = О, дх)) =;г2, 'Зу5 = 1, х = 90'. 3. В случае 2': (7',д) = — 9, ОД = ьгЗ, Оу3 = Зьгб, 1а = агссоз ( — — ); 3 ,гГ5) ' 4 в случае 3': (7", у) = — 12„'5Я = чгЗ, '39)) = Згггб, зг = агссоь ( — ) . 3, 2)' 5. 9. 6.
* Воспользоватьсн тем, что если )(х,у)) = ))хд 'ду)), то дискриминант квадратного относительно Л трехчлена (Лх — у,Лх — у) = Лз'ахпз— — 2Л!х, у) + Оу3~ равен нулю и, следовательно, квадратный трехчлен имеет вещественный корень. 8. )га, если а = О, нет, если а ~ О. 10. а) 1' нет; 2 да: 3 нет; б) ггА, В) = 2 Ч- 8г, )/А)) = г/15, аВ)( = у'7.
15. к Используйте результат примера 2 на с. 90. 16. а) ег — 2ег 4- 2ез, 2ег -> 2ез 4- ез, бег — Зез — без; б) ег 4- ел + ез 4-ел, 2ег + 2ез — 2ез — 2ел, — ег + ез — ез Ч- ег. 17. Ответы неоднозначны. Например: а) 2') сг!ег 4- ез 4- ез) + сз(-ег 4- ег 4- ег); 3') ег -1- ег -1- ез, -ег 4- ез -1- ел; б) 2') сг!2ег + Зег + ез) + сз1-ег — 4ег + ел); 3') 2ег + Зез + ез, ег— — ез 4- ез -1- ел, где сг и сг произнольные числа. 18. В приведенных ниже ответах использованы обозначения: ги = гйгп В; уг, ..., у ортанорлгиронанный базис в 74 гу„,лг, ..., у элементы, дополняющие ортонормированный базис в Ь до ортонормированнога базиса всего евклидова пространства. 1 а) 1 ) пг = 3;хг, хг,хз; 2 ) уг = — (ег — 2ег + 2ез), уз = -- (2ег -~- 2ез -1- 3 3 1 ч-ез), уз = — (бег — Зег — без): 9 1 1 б) 1') га = 3; хг,хг,хз; 2') Уг = — г!ег +ег + ел + ег)., Уг = — !ге! + езв 2 2 1 — ез — ег), Уз = — 1г-ег + ег — ез + ел); 3') Уг = — !гег — ег — ез + ел); 2 2 1 в) 1') т = 2; хг,хз! 2') уг = хггггГ55., уг = хзгггГ5; 3') уз = — (ег -~- Лл -1-ег + ез), Уг = — (-ег + ег -1- ел); =,3 г) 1') га = 2: хг,хг; 2') уг =, уг =; 3') уз = (2ег+ ъгГ2 ггг422 ггГ4 1 4- Зез 4- ез), ул = — (ег — ез + ез и е4); 2 1 д) 1') гв = 3; хг,хз,хз; 2 ) уг = — (ег + ел — ез+ 2ел-1-Зез), уг = 1 ! (ег + ег + 15ез + 2ег + Зез), уз = (бег + ез + 7ег — 7ез); 4г/!5 гг 135 ! 3') уг = — 1 — ег — ез 4- ег), уз = '1 — Зег ж 4ез 4- ел — ез).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
