В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин - Линейная алгебра в вопросах и задачах (1113035), страница 42
Текст из файла (страница 42)
5 П2 2 П2 2 и 1 18. а) хп + у — — = -1 !двуполостной гиперболоид), х = — 12х— 2 3 — 2у + 2) + 1, уп = — 12х + у — 22) — 1, Хп = — 1х + 2у + 22) — 1; ,3 3 1 П)2 !у! )2 б) 1') хп = — — !гиперболический параболоид), хп = х — 2, 5 5 Ьп)2 у = — 1 — ужх)-52, хп = — )уз-2)+1; 2') — =1 1гипер- 2!2 ч2 ' 10 10 болический цилиндр), хп = х, уп = — 1 — у-1-2) -1-2, Хп = — !у 4- х) -Ь 1; 222 ' 222 ( .П)2 ~уи)2 ( П)2 в) + + = 1 !эллипсоид), хи = — 12х+ 2у — 2) — 1, уп = 6 3 2 3 1 п 1 = — 12Х вЂ” у+ 22), -" = — 1 — х+ 2у+ 22) + 1; 3 3 !уи)2 ) !)2 г) !Хп)2-Ь вЂ” =1 1однополостный гиперболоид), хп = — ( — х+ 2 2 3 -52у 4-22), уи = — 12Х вЂ” у-5 22) — 1, ХП = — 12Х-1-2у — 2) -ь 1; 3 3 д) 1хп) -Ь 2Гуп)2 — 3!хи)2 = 01конус)! хп = — 1 — 2х — 2у 4-2) — 1, уп = 3 1 = — (-2Х 4- у — 22) — 1, 2 = — (х — 2у — 22) — 1; 3 3 е) + 1у' ) = 2 ' !эллиптический параболоид), х = — ! — 2х — 2у+ 1Х ),! 2 п П 2 3 2 и 2 1 +2) + —, у = — 1-2х+ у — 22) + —, 2 = — 1х — 2у — 22) — —; 3 3 3' 3 3 Глава ! В ж) — ' = зе (гиперболический параболоид), хл = — ( — 2х— (у")' и ! 2 2 3 ! зз ! 4 — 2у -!- з) — —, у = — ( — 2х -~- у — 2з) — —, з = — (х — 2у — 2з) — —.
3 ' 3 3 3 3' 19. а) ьЗ = (з')1+(зз)', С = — 2(з')1+ — (зз)', х' = з'+ —, хз = 1 З 2 2р»3 б) Ю = (з )з 4- (зз)з, С = 4(з')з — 2(зз)з, х' = — 2Ч2 аз+ 3/2 аз, хз = 1 3 ч'2 н) 42 = (з') + (з ) -~-(з ), С = -(з') -!- 3(з ) -~- (з'), х' = 2 1 З З 1 З Глава Ъ'11 1г — 2 1. А, = (алз) = — ! 0 2 В =,1т В =,1т 0 бз! )з — 99 — 36 72 з! 0 3 и Аз = (а,гз) = — 44 — 16 32 0 0 77 28 -56 тле А, и Аг матрицы из задачи 1 3.
* Сначала доказать, что матрица А дважды ковариантного тензора н новом базисе выражается через данную матрицу А формулой А = СТАС, где С --.матрица перехода к новому базису. 4. * Пусть А и  — матрицы тензоров [А)з и [В)о~ в новом базисе, С— матрица перехода от старого базиса к новому. Выразить матрицу.4 через А и С, а матрицу В через А ' и С ', и убедиться в том, что В = (А) 6. * Ввести матрицы А = (иь*)„»„, В = (Ь„) „„„, доказать, что В = А и воспользоваться задачей 4. 2 4 7. Ь1 = —, Ьз = — — и с1 = с, сз = — с, где с --. любое аеществениое число, с с отличное от нуля.
Представление тензора типа (2,0) в виде произвелении двух тензоров типа (1,0) возможно тогда и только тогда, когда матрица тензора [А)1 вырожденная. 8. Получается тензор нулевого ранга †. число, равное 0 в любом базисе. 9. Полу. чается тензор нулевого ранга число, равное 2 в любом базисе. 3 10.б)ди=(Л 11)=! дзз=дм= —,, дю=(7г Уз)=1' 2 и) д" = 4, дзз = дз' = — 2з1'3, дзз = 4; г) осли х, хз - — координаты элемента х, а у', уз . — координаты элементаувбазисеГ1,71,то(х,у) =х у 4- — х у -з- — х у +х у.
1 1 »3 1 з 13 3 1 3 2 2 2 11. а) х1=0, х1=3, хз= — 7; б) у'=23, у'= — 7, уз= — 2. 12. дрчдез = Ьз = и. 13. а„ь = д,рдззагзч, где дрз . - координаты ковариантного метрического тензора, т. е. элементы матрицы, обратной для матрицы (длз). 14. д'здрза", гДе д'з и др, кооРДинаты соотаетстаенно коптРаваРиантнога и ковариантного метрических тензоров в данном базисе. Ответы и указания Глава Ъ'111 2.
Порядок группы равен 4. 3. а) Нет; б) нет. 4. Да. 5. а) Да; б) да. 6. Да. 14. * Воспользонатьсн задачей 13. 16. Указанная подгруппа движений изоморфна группе матриц вида < соз из — а1п уз О З1 сйп уз соь з О, где ьз произнольаое вещественное число, о раа- О О а но 1 или -1, а групповой операцией является умножение матриц. 17. Порядок подгруппы движений равен 8.
Эта подгруппа изоморфна группе квадратных матриц третьего порндка, у которых элементы главной диагонали равны 1 или — 1, а остальные элементы разны нулю, и групповой операцией янляетсн умножение матриц. 19. а) Да; б) нет. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебраические дополаения и ыиноры 14 Альтернатива Фредгольма 97 Базис 38 Базисный минор 43 Билинейные формы 167 Взаимно одаозначное соотаетстаие 59 Гиперплоскость 29 Группа абелеаа 211 даижсний 216 коммутатианая 211 конечная 212 Лоренца 220 — ортогональная 217 по словению 211 — — умножению 211 преобразований 216 -- унитарнан 220 Днижение 216 Единица группы 211 Закон инерции квадратичных форм 159 Изоморфизм групп 217 Изоморфизм линейных пространств 59 Инаариантные подпространстаа 125 Кааонические коэффициенты 158 билинейной формы 171 Канонический базис симметричной билинейной формы 170 яид каадратичной формы 158 "- симметричной билинейной формы 170 Квадратичная форма 157 .
- неотрицательная 164 неположительная 164 отрицательно определенная 164 — полол ительно определенная 164 Ковариантные координаты элемента 202 Коаариантный метрический тензор 201 Коммутатор 111 Контрааариантнй метрический тензор 202 Контраяариаятпые координаты 202 Координаты элемента 38 Критерий Сильвестра 165 Линейная комбиаация элементоа 28 оболочка 28 Линейное преобразоаание переменных 158 — пространство 23 Матрица билинейной формы 168 вычисление ранга 44 единичная 7 кяадратичной формы 157 линейного оператора 109 -- преобразояанин 158 неаырожденная 14 . †.
обратная 7 Паули 107 Предметлный указатель Матрица перехода 54 положительно определенная 165 присоединенная 19 "- с размерами тп х п 5 симметричная 27 транспонированная 6 треугольная 16 унитарная 101 - эрмитова 145 — - эрмитово сопрлженнал 103 5!атрицы равные 5 Метод Лагрантка 158 ортогональных преобразований 159 Минор порядка г 43 элемента 14 Многочлены Лежандра 95 Наклонная 97 Неравенство Коши- Буннковского 81 треугольника 87 Норма (длина) элемента 81 Нормальная ФСР 69 Нулевой элемент 23 Образ элемента 59 Оператор дифференцирования 108 --- единичный 108 линейпын 108 обратный 111 ортогональный 135 поворота 108 — подобии 108 самосопряженный 135 сопряженный 134, 145 -" унитарный 146 - эрмитов (самосопряткенный) 145 Операторы равные 110 Операдия сложения элементов 23 умножения на вещественные числа 23 транспонированил 6 Определение линейного пространства 23 Определитель Вендермонда 22 — п-го порядка 12 Ортогональное дополнение 97 Ортогональность элементов 88 Ортогональные матрицы 101 Ортонормированный базис 88 Основнал матрица системы 63 Перпендикуляр 97 Подгруппа 212 Подпространство 28 Порождающая система линейной оболочки 29 Порядок группы 212 Правило треугольников 15 Преобразование вырожденное 158 ливейного пространства 108 — Лоренца 221 — невырожленное 158 ортогональное 159 Проекции элемевта 89 Произведение линейного оператора на число 110 -- линейных операторов 110 матрицы на матрицу 6 число 5 тензоров 194 Прообраз элемента 59 Пространстненно-временной интервал 221 Пространство 79 евклидова 79 --- Минковского 221 — псевдоевклидово 220 †.
унитарное 80 Противоположный элемент 23 Праман сумма 97 Разложение элемента по базису 38 Размерность линейного пространства 39 Разность матриц 5 Ранг матрицы 43 тензора 193 Расстонние элемента до надпространства 97 Расширеннан матрица системы 63 Свертка тензора 195 Символ Кронекера 7 Симметричные билинейные формы 169 Система уравнений совместная 63 Системы координат галилеевы 221 линейных уравнений 63 Лредлзетный указатель Собственное значение матрицы 124 надпространство оператора 124 Собственные векторы 123 значения 123 Собственный вектор матрицы 124 Сумма матриц 5 тензоров 194 линейпых операторон 110 Тензор 193 -- деформаций 204 — — инерции 204 -- напрнжений 207 Угловые миноры 165 Угол между элементами 81 Унитарные матрицы 102 Характеристический 124 Характеристическое 124 многочлен уравнение Числовое поле 24 Элементы линейно зависимымые 32 -.- -- независимые 32 Формулы Крамера 64 Фундаментальная совокупность решений 67 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 1.
Матрицы 3 2. Определители 12 ГДА БА 11 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 23 28 63 67 74 79 88 96 101 Г;1 А БА 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 3 1. Определение и свойства линейного пространства 3 2. Подпространства линейного пространства 9 3. Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства '1 4. Базис и координаты. Размерность линейного пространства ....
5 5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре............... 5 6. Преобразование базиса и координат . 3 7. Изоморфизм линейных пространств . ! ЛАБА Н1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 9 1. Существование решения системы линейных ураннений . 3 2. Однородные системы линейных уравнений 3 3. Неоднородные системы линейных уравнений . ГЛАБА 1М ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1.
Определение евклидова и унитарного пространства 3 2. Ортоцормированный базис 3 3. Разлогксние енклидова пространства на прямую сумму взаимно ортогональных подпростравств. Альтернатина Фредгольма для квадратной системы лине йных уравнений............... 3 4, Ортогональныеи унитарныематрицы 32 38 43 54 59 Оглавление ГЛАВА У ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 51 32 33 34 ГЛАВА УП 'ГЕНЗОРЫ 31 32 ГДАВА У!г! ГРУППЫ 11 32 53 Определение группы. Примеры Группы преобразований Группа преобразований Лоренца 211 216 220 226 Ответы и указания Предметный указатель 243 51 32 з3 54 55 Линейные операторы в линейном пространстве.........., .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
