И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если интегралы /,)~(я,1) Ня н / Яя,1) Ня равномерно а а сходятся на множестве Е, то и интеграл (а~~(я,1) + Яэ(г,1)) Их, где а и ф — — постоянные, равномерно сходится на множестве Е. М Если интеграл / у(я,1) Нх равномерно сходится на множеа стве Е, то он равномерно сходится на любом подмножестве Е. Если интеграл / 1(я,1) <1я равномерно сходится па кажа дом иэ множеств Е~ н Ью то он равномерно сходится на множестве Е = Е1 0 Ею Это утверждение не переносится на бесконечное объединение множеств.
+ОЭ Пример 33. Рассмотрим интеграл / с юля. о а) Покажем что па множестве Ь'„= ~1:1 > — ~, и Е И, и этот интеграл сходится равномерно. Действительно, есян 1 1 > —, то для любого Ь > 0 имеем неравенство н +сю 0< / е ~~На= — е <вс 1 — ы 1 ь з 3. Нссобсспеенный инапграл, зааислиий аш ссаразсстрсс 55 я Так как 1пп пе = О, то для любого с > 0 существует Ь-++сю такое В ) О, что для всех Ь > В верно неравенство 0 < < / е ссЬ < е, т. е. по определению интеграл / е * Их ь о сходится равномерно на Е„. б) Покажем, чтонамножестве11+=(1:1> О),й+= [ю) Ь'„, юю1 интеграл сходится неравномерно. Для этого нужно указать такое положительное число с, что для любого В > 0 при не- которых значениях Ь > В и 1а > 0 справедливо неравенство +сю 1 с *" с1х ) с.
Возьмем с = 1, Ь = тах(В + 1, е) и 1а = —. ь + Тогда / е амс11 = — с ьм = — ) 1, что и требовалось про1а с ь верить. Теорема о непрерывности несобственного интез рана, зависящего от параметра. Если семейство функ- ций у(х,1), х б [а; ас), М б Т, удовлетворяет условиям: 1) ~(х,1) Е С([ас ы) х Т'), сс 2) интеграл у(х,1) ах сходится равномерно на Т, а то функция .7($) = /,1(х, 8) с1х непрерывна на Т. Эта теорема является переносом следствия 1 теоремы о перестановке двух предельных переходов. Переносом след- ствия 2 является следующее утверждение. Если семейство.
функций у(х,1), х' б [а;са), М б [с;с1), удо- влетворяет условиям: 1) у(х, Ф» б С([а;са) х [с; а)), 2) для любого $ б (с; а) интеграл / у(х,1) ах сходится, сс а 3) и~ггеграл / У(х, с) сЬ расходится, или он сходится, но а Власа Д Песабгтаенный интетрал на [г;гС) разрывна функция .С(С) = / Дх,С) ах, тогда шпт- М а грал / С(х, С) ах сходится неравномерно на (г; г(). а +со гСх Пример 34. Рассмотрим интеграл /, С Е [2;10). / 1+. а 11окажем, пользуясь критерием Коши, ч го этот интеграл схо- дится равномерно на [2; 1О). Действительно, для любой па- ры Ьы Ьг, 1 < 6, < Ьз, и любого С Е [2; 10] имеет место нера- венство ь, ьа гСх С' а'х 0 < ~, < / = агськ Ьз — агськ Ьь / 1+.г ь, ь, Поскольку функция агсь3х имеет предел при х -+ +оз, то в силу критерия Коши для любого е > 0 найдется такое число В > 1, что дли любой пары 6ы Ьз из неравенства В < Ьг < Ьз следует неравенство 0 < агськЬз — агськ61 < е, ь, Нх т.е.
0< /, <сдляВ<61<ЬзивсехСЕ[2;,10), Так / 1+. ь, как функция С'(х, С) = непрерывна на множестве [2; 10) ,г +со Их и интеграл ~ , сходится равномерно на [2;10), то на / 1+х +СО отрезке [2;10) функция,У(С) = ( непрерывна. / 1+хг а +Со ь е '* соа Сх Пример 35. Рассмотрим интеграл С гСх. Для 1 е любого С > 0 существует такое ха(С), что — соя Сх < х С-га « — —, для всех х > аа(С). Следовательно, в силу теорех хз + (Ю Р е '*соаСх мы сравнения интеграл ~ ах сходится абсолютно х 1 8 3.
Нгсобстоеиный ш1тегроя, зооисяи1ий от пиролстра 017 +со -1 СО Г е *со80.х Г йх для всех ~ > О. Интеграл же / бх= ~[ — расх 1 1 +со Г г ' сочЬх ходится. Следовательно, интеграл / Й: сходится 1 на луче 1 > 0 и на любом интервале (О; а) неравномерно. Пример 36. Рассмотрим интеграл С '*81П1Х Для любого 1 > 0 существует такое хо(1), что ( е « — — для всех х > хо(1). Следовательно, в силу теореха +оо Е ' 81ПЫ мы сравнения интеграл / г(х сходится абсолютно 1 для всех 1 > О. В отличие от предыдущего примера интеграл -1-оо +оо е 81пО 1 о +00 Г е ы81пМ сходится. Покажем, что функция 1(1) = ~ ах раз- 1 рывна на [О;+оо), откуда следует, что интеграл С 81П 1Х бх х 1 сходится на (О;+оо) и, тем более, па [О;+со) неравномерно.
Как уже установлено, у(0) = О. Если 7 > О, то +00 1 е "тпи Ге "тпи ,7(1) = / йи = / 17и+ 71, и и 1 1 Гга»гг /. Пстабснгаенный иннгсграл 2»» любого и Е Р). е -» Так как функция — не определена при и = О, то оцен- +г» Е 21ПИ где К = / г(и (сходимость этого интеграла уже 1 установлена). Функция „О1П И е" —, и>0, (и) = и 1, и=О интегрируема на (О; 1) в смысле Римана, откуда получаем, что 1 +о» г-го+ у и ,/ И о о Итак, для доказательства разрывности функции г'(М) на (О; 1) (точнее, справа в нуле) осталось показать, что +о» г(иф О. о Применяя теорему о среднем, получаем, что для любого на- турального и имеет место равенство 2гг(гг+1) Е-и Огв И г(и = 2ггп гг(2п+1) 2гг(п+1) Е "О1ПИ би+ ( г(и= 2 — — 2 —, И и 6 6 ' 2ггп п(2»+1) гДе 6 Е (21гп; 11(2И+ 1)) и С2 Е (11(2п + 1); 2и(п+ 1)).
Так как е ', функция — ' монотонно'убывает и С1 ( О2, то 2»(п+1) Е "О1ПИ и для я З3. Несобственный интсврал, эавислиГий от поралгенгро 59 зя ( с "игпи ку интеграла / гги проведем другим способом. Из о вш и 2и неравенств — > О, и Е (О; гг), н вгп и > —, и Е (О; л/2), И л получаем, что е "в)пи Евши р айпи Е ~~ ~, г" и и г" е-Я в)п и Так как / Ии тсльно имеем, что зя я Зя """ю — ~~' """а ~ о о я > с '(1 — )п2) > О. Объединяя все полученные неравенства, выводим, что что и требовалось установить.
Замечание. Неравномерную сходимость на (О, +со) ин- +ОО г е ~явшЫ теграла ~ ох можно было доказать и с помощью х 1 критерия Коши, но в данном примере главной целью было +00 с 'Явгп1х показать раэрывность функции г'(г) = / йх, а зал а ключенпе о неравномерной сходимости интеграла есть следствие этого основного факта. е "вгпи гГи = и о зя е "в)пи Ии и а г" Ии ( с ~ — = е !п2, то оконча- и зя +С,О с "вгпи ) е ягйпи а 21г зягя+1) +~~г, / ди>0, и 1 3 1'лоос !. Ласобгтоснный иояггрол 60 Теорема Дини. Рлли ггмоч1гтво функций 1(х,!), х Е [о; ы), 1 Е Т, удовл1"пюрягт 1ч л<шням: 1) мно1кРГГВО Т гсГь колапакт, 2) 11аункцпя 1(х,1) непрерывна и нсотрицательпа на [о;ы) х Т, 3) функция 7(1) = /,1(2:,1) Их определена и непрерывна на Т, \ ' тогда интеграл / )(х,1) Их сходится равномерно на Т. а +оо 1' 1дх Пример 37. Расслиотрила интеграл / 2 2, 1 Е [О;1].
/ 12+ г 1 Множество значений параметра 1 есть компакт. Функция У(: 1) оо непрерывна и неотрицательна на множесгве 12 1 х2 [1;+сю) х [О;1]. Функция +оо ] я 1 1 Их 1 — — агс1я -, 1 7е О, l+х [ О, 1=0 1 определена и непрерывна на [О; 1]. Все условия теоремы Ди+со 1дх ни выполнены следовательно, интеграл ~ сходится / 12+ 2 равномерно на [О; 1]. Лгрсходим к свойствам несобственного интеграла, зави- сящего от параметра, не являющимся перефразировкой сфор- мулированных выше свойств семейства функций.
Рекоменду- ем читателю гравнить вге рассматриваемые свойства инте- грала с соответствующими свойствами функциональных ря- дов. Достаточные признаки равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Признак Вейерлптраеса (мажорантпмй признак). Пусть гслосйгтво функций 1'(х,1), х Е [аом), 1 Е Т, удовлетворяет условиям; з 3. Несобсшвенный интсерал, завислезии от парплетри 61 1) для любого [а; Ь] С [а; ы) функция /'(я,1е) Е К[а; Ь] при любом 1е Е Т; 2) существует функция д: [а;ы) -э й такая, что прн всех л б [и;ы], 1 Е Т справедливо неравенство «у(я,1)«< д(я) (мажораптная функция семейства Дх,1) на Т) н интеграл / д(я)<Ь сходится.
а Тогда интеграл / Дх,с) с(я сходится абсолютно и равно- а мерно на множестве Т. 1 Ня Пример 38. Показать, что интеграл '(." о сходится равномерно на положительной полуоси. 1 Решение. Функция ~(я,1в) = непре- /1 — хз(1 + х 212) рывна на множестве [О; 1) при любом 1е Е [О;+оо), следовательно, для любого Ь, 0 < Ь < 1, функция у(л,1е) Е В[0; Ь]. Так как 0 < < для любого 1 Е [О;+со) (1+ яз12)ъ/1-яз Л вЂ” хз 1 Ия и интеграла ~ сходится, то в силу признака Вейер- 1 — х о штрасса данный интеграл сходится равномерно на положительной полуоси. Признак Вейерштрасса представляет собой аналог теоремы сравнения для несобственных интегралов, независящих от параметра.
Существенное отличие этих двух утверждений состоит в то, что в теореме сравнения требовалось выполнение неравенства Щл)«< д(я) локально слева в точке ы, а в признаке Вейерштрасса требуется выполнение неравенства Щв,1) «< д(х) как для всех 1 Е Т, так н для всех я Е «арл). Дело в том, что если д(е) Е Й[агм) и неравенство Яя,1)«< д(л) для каждого 1 Е Т выполнено для яе(1) < я < ы, т.
е. левая полуокрестность точки ы, в которой это неравенство справедливо, зависит от значения 1, то интеграл может сходиться неравномерно. Приведем соответствующий пример. Тлава Н Несобственный интгврал ! г~ "~ Пример 39. Рассмотрим ингегрол ( — Их, если / д о а) Т = (О; А), О < А < +со, н б) Т = (О;+со). Покажем, что в случае а) данный интеграл сходится равномерно, пользуясь признаком Вейерштрасса. Действительно,нз неравенства О < 1 < А следует, что 11пх~ < шах(1,)1пх~ ). 1+ ~1пх)л Таким образом, функция у(х) = является мажа~ 1п х1~ раптной функцией семейства ь"(х,ь) = — для 1 Е (О;А).
л Так как существует такое Х, что 1 + ~ 1и а) < — для х ~ б (О; Х), то функция у(х) локально справа в точке О удовле- 1 творяет неравенству О < у(х) < †, следовательно, схо- 1 з/о ' дится интеграл о~у(х) Ых, и в силу признака Вейерштрасса о Т )1пх1' интеграл ~ — в(х сходится равномерно на (О; А). l д о Покажем, что в случае б) данный интеграл сходится не- равномерно.
Действительно, сходимость этого интеграла для любого 1 б (О;+оо) показана в пункте а). Далее, для любой 1 нары Ьы Ьз из неравенства О < 61 < 6з < — следует перавень, е ство у Их > 2(1пЬз)'(~/бз —. тф~). Если числа Ьь и Ьз К11пх1' ',/, „Гх ь, фиксированы, то 1пп 2~ 1вЬз)~(~/Ьз — ~/Ьь) =- +со, следоваь-ьса тельно, для любого М > О и любой нары Ьм Ьз, удовлетвори- 1 ющей неравенству О < 61 < Ьз < —, найдется такое значение ь 1 11пх)~ 1 б (О;+оо), что 1 — Их > М. В силу критерил Коши l,д ь, О 3. Несобси»еенный интеграл, зааисл»ций ат иаралетрабЗ 1 к~ *~ отсюда следует, что интеграл / Их сходится неравномерно на луче (О;+оо). Теперь обратим внимание на то, что для любого1Е(0;+со) )1пх!с 1 неравенство 0 — « — верно, если 0 < х < хо(»), т.
е. /х' хз/4 )!их)о 1 для каждого 1 Е (О;+ос) оценка 0 « — ~4 справедлива локально справа в точке О. Но, как было показано, из 1 зтого факта и интегрируемостн функции у(.с) = — на (О; 1) з!л 1 Г!1пх1» не следует равномерной сходимости интеграла ~ Ых на луче (О;+со). »»х Пример 40. Рассмотрим интеграл 1, если У (х — 1)з+ 1' а) 1 Е (О; А) и б) 1 Е (О;+со). Покажем, пользуясь признаком Вейерштрасса, что в случае а) данный интеграл сходится равномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
