И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Собсн«еенныа и«««««серая,,««««,осли««««««ии наро«нсн«ра 41 непрерывна на прялюугольннкс [1; 3] х [О; Ц. Следовательно, в силу теоремы о непрерывности интеграла, зависящего от параметра, з — «* ««««. ««* — ««*= ° 1 х«*.«««*= 1 Г «-«о+ С / «-«о+ / 1 1 3 3 !«3 г( 0),(х /х / з 1,«х (,з 1)з/з!' 1 1 « «х Пример 23. Найти !!и« и — «+сю у 1.! (! я! а и Решение. Для того, чтобы применить теорему о непрерывности интеграла, зависящего от параметра, введем функцию двух переменных: х б [О; Ц, ! Е (О; 1), 1+ (1 — 1х)'Д ' хб[0;Ц,1=0. 1+е Функция у'(х,1) непрерывна иа прямоугольнике [О; Ц х [О; Ц (проверьте!), следовательно, в силу указанной георемы: « 1 1 «!х !пп 1(х,1) «!х = у(х, 0) ««х = / = 1п(1+ е).
о а о Так как то .. 1„„"'., =..-И -'.) '= !пн у(х,1) ««« =!п(1+ е). «-«а+ а /'лоос /, //ссобсноагнныб интггрол 42 Пример 24. Функции а/2 а/2 Ну «/» — яз о»п р о о где О < й < 1, называются полными эллиптическими инте- граламн. Доказать, что /о (/с) /з(1) /с(» — /оз) для любого я Е (О; 1).
Решение. Для любого й Е (О;1) существует такой отрезок [о;»«) С (О;1), что й Е (о;/«). На прямоугольнике я» 4' — ь:ло» ь л~,е= а '2 1 — Е.;. „ а"ФФ Р ~"Р щего от параметра, следовательно, «/з о Алгебраическими преобразованиями из этого равенства по- лучаем следующее: %/з Гз ~ (1 — азз»пз )з/з о е/3 е/з фсоозу 1 ~ 4у + з Иу —— е Х (1 — е ЬРе'1' ОЗ Я:Р,1~~' о о где /о Е (а;,О), откуда выводим, что е/з (1 — М~)рь' = й/"(й) — / сову з, й Е (а;»з).
Н(1 з»п у) (» 1з з;пз у)з/з ' о 2 2. Собственный итиеерал, зовисли1ий от парометпра 43 е/2 / 2 (1 -")'/' (, /1-"~' в/2 (1 — йвв н2 в)в/2 о «/2 /" сов ф81п 12 в/2 в 8)п 1р + в е/2 в/2 /1 /1н и е~ д) у/ 1-о,;и е «/ о и следовательно, /е(1 — й )Г' = йод(й) — р(/е) + цц, й Е (о;/1) С (Ю; 1), откуда и получаем, что для любого в Е (О; 1) верно равенство Е(в) гР'(/е) "- й(1-й2) ! лоос А !1«гоб«эооеннмй онтгг1юл ()3.
Несобственный интеграл, зависящий от параметра Определенна. Пугть для каждого 1 Е Т функция 1'(х, 1) Е Е А(а; 6), нрн чем 1"(х,1о) Г й(а; 6) хотя бы для одного 1о Е Т. о Ь Тогда функция лм(1) = з(,1(х,1) Нх и сам гил«вол / 1(х,1) «1х называютгя несобственным интегралолц эавнсянЛим от параметра 1. Замечание 1.
Необходимость исгледовать нглобственный интеграл, в котором от параметра завнслт не только нодынтегральная функция, цо и пределы интегрирования, возникает крайне редко. Поэтому здесь будем рассматривать только несобственные интегралы, зависящие от параметра такого вида, как определены выше.
Замечание 2. Требование неингегрируемости в смысле Римана на (а; 6) функции у(х, 1о) хотя бы для одного значения 1о Е Т существенно, поскольку в противном случае мы имеем дело с уже рассмотренным собственным интегралом, завигялцим от параметра.
В то же время в целях удобства формулировок и применений соответствующих утверждений нс стоит вводить жесткое условие: для вгех 1 Е Т функция 1(х,1) нс интегрируема в смысле Римана на (а; 6). Определение. Пусть задан несобственный интеграл о Р(1) = / Дх,1) Их. а Л4ножегтволл сходнмостн (абсолютной сходнмости, условной сходимосгн) этого интеграла называется множество И тех значений 1, нрн которых он сходится (абсолютно сходичтя, условно сходится). +сю 1 а1вх Пример 25. Для интеграла ~ — 4х из признаков Абе/ л о ля--Днрихле и теореллы гра1шення нолучаслц что луч 1 ) О есть множс«"гно сходимогтн н луч 1 ) 1 -- множество абсо- З 3.
Несобстоенный интеерал, занислтий оп~ норалетра 45 лютной сходимости, полуинтервал (О; Ц вЂ” множество условной сходпмости. По тем же соображениям, как и для несобственных интегралов, не зависящих от параметра, будем в дальнейшем изложении рассматривать только интегралы вида ~ 1(х, 1) ах, а где Дх,1) Е В[а; Ь) для всех [а; Ь) С [а;ы), если не оговорен специально другой вариант.
Определение. Функцию Дх,1), определенную на множестве Х х Т, называют семейством функций, зависящих от параметра 1, если переменная 1 выделена и называется параметром. Множество Т в таком случае называется множеством значений параметра. Семейство у(х, Ц функций, зависящих от параметра 1, иногда записывают в виде Ях), явно выделяя параметр. Определение. Пусть Дх,1), а б Х, 1 б Т, — семейство функций, зависящих от параметра 8, а хо — — предельная точка множества Х. Множество М С Т тех значений 1 б Т, для которых существует предел 1пп 1'(х,1) = р(1), называн-+но ется множеством сходимости семейства 1(х,1) при х — о хо.
Функция у(1), 1 Е М, называется предельной функцией или пределом семейства Дх, 1) при х -+ хо В дальнейшем для любого множества Е С М будем коротко говорить: семейство Дх,1) сходится на Е при х -+ хо к р(1), и записывать р(1) = !пп ~(х,1), 1 6 Е, илн,)(х,1) -+ р(1) н-+но прн х -+ хо,1 е Е. Пример 26. Рассмотрим семейство функций Дх,1) = о1п(1*), х ) О, 1) О. Если О ( 1 ( 1, то при х -+ +ос имеем, что 1~ — > О н, следовательно, 1(х,1) -~ О. Если 1 = 1, то прн любом х ) О имеем, что Дх,1) = ил 1. Если 1 > 1, то прн х -+ +со аргумент синуса неограниченно растет и функция ои (1~) прн этом не имеет предела.
Итак, множеством сходимости семейства Дх,1) = о(п($ ), х > О, 1 > О, при х -+ +ос является отрезок [О; Ц. 46 Елово 1. Пгсобстпесиныб интеграл Определение. Пусть семейство 1(х, 1) сходится на Е при х -+ хо к у(1). Если выполнено условие; для любого положительного числа о найдется такая окрестность П(хо) точки хо, что для всех х б У(хо) ОХ и всех 1 б Е справедливо неравенство ~~(х,1) — ~р(1) ~ < е, то говорят, что семейство 1(х,1) сходится равномерно к ~р(1) на множестве Е прн х -+ хо.
Если семейство у(х,1) сходится на Е при х -+ хо к ~р(1), но не удовлетворяет приведенному выше определению, то говорят, что зто семейство сходится к ~р(1) неравномерно на Е при х — ~ хо. Равномерная сходимость семейства Цх,1) к функции р(1) на Е при х -+ хо обозначается символом у(х,1):3 ~р(1) па Е при х -+ хо. Приведем формальную запись сходнмостн н равномерной сходимости к у(1) семейства 1(х,1) на Е прн х — > хо в случае, когда хо — собственная точка числовой прямой и функция 1'(х,1) при всех 1 б Е ойределена в некоторой„может быть, проколотой, окрестности точки ао: у(х,1) — ь ~р(1) при х -+ хо на Е с.'==": ~11 б Е Че > О 36 = й(1,с): Чх: О < ~х — хо~,< б ==о 1У(х,1) - р(1Н < ; у(х,1):2 ~р(1) при х — > хо на Е 4=О 'уе > О М = О(е): Чх: О < )х — хо~ < О, Ч1 б Е =:Ф 1У(х,1) — р(1Н < с.
Предлагаем читателю самостоятельно записать в таком виде определение сходимости и равномерной сходнмости на множестве Е семейства у(х, 1) к у(1) прн а -+ +со. Пример 2Т. Семейство функций у(х 1) = —, х б (О; 1), 1 б (О; 2), 31+ х 1+х иа интервале (О; 2) сходится прн х -+ О+ к функции у(1) = 3. Покажем, что а) на интервале (1; 2) семейство Дх,1) сходится к ~р(1) равномерно; б) на интервале (О; 1) семейство Дх,1) сходится к ~р(1) неравномерно. 2х Для любого 1 б (О; 2) имеем, что 1'(х,1) = 3 — —, т. е.
З 3. Несобственный интеерал, зааисли1ий от параметра 47 !У(х,1) — 1 (1П =— 2х 1+я 2х Начнем с пункта а). Если 1 <1 < 2и х > О, то — < 2х, 1+а с откуда следует, что если О < х < —, то для всех 1 б (1;2) выполнено неравенство )у(х,1) — 1с(1) ~ < е, т. е. ~(х,1):3 р(1) на (1;2) при х -+ О+. Переходим к пункту б). Нужно указать такое положительное число се, что для любого б > О найдутся значения хз: О < хз < б и 1а б (О; 2), для которых /Дхз, 1з) — у(Мз)) > со.
б 2хю Возьмем ха = — н 1а = хз, тогда = 1, откуда и сле- 2 ' 1а+ аз дует, что ~(х,1) неравномерно сходится к 1а(1) на (О; 1) при х -ь О+. Следующие утверждения немедленно следуют из определения равномерной сходимости семейства функций. 1. Если два семейства 11(х,1) и Ях,$) равномерно сходятся на множестве Е при х -+ хе, то любая их линейная комбинация о~1(х,1)+Яз(х,1), где и и Д вЂ” постоянные, равномерно сходится на Е при х -+ аа. 2. Если семейство у'(х,1) равномерно сходится на множестве Е при х — ь ха, то зто семейство равномерно сходится при х -+ ха на любом подмножестве Е. 3.
Если семейство у(х,1) равномерно сходится на каждом из множеств Е1 н Ез прн х -+ ха, то это семейство при х -+ хе сходится равномерно на множестве Е1 0 Ез. Внимание) Это утверждение не переносится на бесконечное объединение множеств, как показывает Пример 28. Рассмотрим семейство 81п1х У(х,Ф) = —, х > О, $ б Й. Для любого 1 б й имеем: 1нп у(х,1) = 1. Из неравенства с-+О+ ! а)п1х ) Пзхз 1 — — ~ ( ~ — = )1~а~) следует, что если и с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
