И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 7
Текст из файла (страница 7)
И, е > О, х ~ ~ х 1 с ! в)п$х) Щ ( н н О < х < ~/ †, то 1 — ~ < с. Таким абра'у' нз' ~ х зом, на множестве Е„= (1, )1~ < н) семейство у(х,1) схо- !'.и<88 Е Лс<обгтосннь<й интсерал дптся к <бл(1) = 1 при х — + О+ раппол<ерно, Иокажем, что на множестве й = Ц Е„< емейство /(х,б) сходится к <р(1) при «=! х — б хе неравномерно. Для этого нужно указать такое положительное число бе, что для любого числа д > О найдутся числа хб, О ( хб ( 8, и1б с бс, для которых верно неравенство 8!пббхб ( (й 1б — ~ > ее.
Действительно, пусть хб = пнп1-;1 н хб (2' 2 1б = —, тогда имеем, что хб Блпббхб ббхб 8лп1бхб 2 — Б<п2 1 1б. — — » — 1. хб хб Хб Хб Блп1х Итак, семейство 1(Х,1) = сходится при х -б О+ к р(1) = 1 равномерно на каждом из множеств Е„= (1: (1( < и) и неравномерно на множестве !И =- ( ) Ьа. пы! На практике удобно пользоваться следующим критерием — фактически переформулировкой определения равномерной сходимости: семейство б (х,1), х с Х, 1 с Е, сходится при х -б хе равномерно на Е тогда и только тогда, когда )пп Бпр ЩХ,1) — у(1)) = О. с-+Ба <ев Критерий Коши равномерной сходимости семейства функций. Семейство б'(х,1), х а Х, 1 с Т, равномерно сходится при х — + хе иа множестве Е С Т тогда и толы<о тогда, когда для любого положительного числа е > О найдется такая окрестность У(хе) точки хе, что для любой пары х! с У(хе) ! ! Х, хз с (<'(хе) П Х и всех 1 Е Е справедливо неравенство Щх<,1) — у(хз,1)( < 8.
Если критерий Коши нс выполнен для семейства б(х,1), х. е Х, 1 с Е, прн х — б хе, т. е. можно указать такое положитеб<,нос число 8, что для любой окрестности У(хе) точки хе найдутся гочки х<, хз нэ проколотой окрестности У(хе) н значение 18 с Е, для которых верно неравенство )б'(х<,18)— 1 3. Несобстоеиный интеграл, завосла!ой от ааролея~ра 49 —,!(хз,1о)! ) с, то говорят, что семейство 1(х,1) не сходится равномерно на Е при х -+ хо. Обратите внимание, что говоря "семейство Дх, !) сходит- ся неравномерно прн х -+ хо на Е" мы утверждаем существо- вание предела 1пп Дх,1) = «о(1) для всех ! б Е. Говоря же ~-Фс а "семейство Дх,1) не сходится равномерно на Е прн х — «хо", мы не утверждаем, что множество Е входит в множество сходимости семейства 1(х, 1) при х -«хо.
Только, если сходи- мость 1(х, $) при х -+ хо на Е заранес известна илн доказана, утверждения " 1(х,1) при хг — «хо сходится на Е неравно- мерно" и " !'(х, !) при х -+ хо не сходится равномерно на Е" эквивалентны. Теорема о перестановке двух предельных перехо- дов. Пусть у(х,1) — семейство функций, х б Х, ! б Т, сов предельная точка Х, 1о — предельная точка Т. Если 1) для любого х б Х существует 1пп Дх,1) = ф(х), ~ "Фы 2) при х -+ хо семейство Дх,1) сходится равномерно на Т к «о(1), то существуют оба предела !пп «6(х) = 1пп (1пп Дх,1)) н Ф-+со ~-+~о ~-Ф~а 1пп «г(1) = 1пп ( 1пп Дх,1)) и справедливо равенство й-Фы с Фы с-+ма 1пп 16(х) = 1пп «г(1).
Следствие 1. Пусть семейство функций 1(х,!), х б Х, 1 б Т, удовлетворяет условиям: 1) для любого х б Х функция Дх,1) непрерывна па Т; 2) семейство Дх,1) при х -+ ао сходится равномерно на Т к «г(1). Тогда функция «г(1) непрерывна на Т. Следствие 2.
Пусть семейство функций Дх,1), х б Х, 1 б (а; 6), удовлетворяет условиям: 1) для любого х б Х функция !(х,1) непрерывна на (а; 6); 2) семейство ! (х, !) при х -+ хо сходится на (а; 6) к у(!). Тогда, если предел функции 1(х, а) при х -Ф хо не суще- ствует нли пе существует предел р(1) при ! — > а+, илн оба предела существуют, по 1пп Дх,а) ф 1пп ~р(1), то семейхчжо о-+а+ ство 1"(х,1) сходится неравномерно на (а; 6) при х -+ хо.
50 ['лево й Е7есобс0авекиьн[ интеграл зуак, например, в силу следствия 2 семейство у(х, [) = а[п г', х > О, 1 > О, рассмотренное в примере, сходигся на интервале (О; 1) и, тем более, на отрезке [О; 1] неравномерно, поскольку прн любом х > О функция ена[* непрерывна на [О;1], а предельная функция ( О, 0<я<1, [[е[п1, х = 1 разрывна на (О; 1]. Пример 29. Рассмотрим семейство функций 1(х,1) = е~' сое х(1+ 1), х б Й, 1 б [к. При любом х б [[1 функция ее' сов х(1+1) непрерывна па [О; 1].
Если х — > — оо, то при 1 б (О; 1) имеем, что е*' -з О, и, следовательно, р(1) = 1пп е0~соех(1+ 1) = О. В то же время 0 "+ — 00 функция у(х, 0) = соя х нс имеет предела при х -+ — оо. Следовательно, в силу следствия 2 семейство у(х,1) = е*' соа х(1+1) сходится при х -+ — со на интервале (О; 1) неравномерно. Если семейство у(х,[), х б Х, 1 б Т, сходится при х -+ хе к непрерывной на Т функции [л(1) и для любого х Е Х функции [(х,1) непрерывны на Т, то сходимость может быть как равномерной, гак и неравномерной. Пример 30. Рассмотрим два семейства у1 (х,[) = [е *', х > О, 1 б [О; 1] и 1з(х,1) = х[е ", х > О, 1 б [О; 1]. Так как Д (х, 0) = уз(х, 0) = О, Чх > О, а для М > 0 при х -+ +со имеем, что М = о(е ~) и х[ = о(е ~), то как семейство,~~(х,[), так и семейство 6(х,[) при х -+ +со сходятся к функции [0(1) = О, 1 Е [О; 1]. Покажем, что скодимость семейства у1(х,1) на отрезке [О; 1] равномерная, а семейства Ях,[) — неравномерная.
Действительно, так как для любого х > О, Л(х, 0) = О, [нп ~~(х,1) = 0 и (у[), = е 0 (1 — х1), то при х > 1 име- 1-0+00 ем, что аар [11(х,[)[ = у1 х,— [1 = —, и соотношение ~я[од[ [ 1. х 1 .ее ' 1пп яар [у1(х,[)[ = 0 показывает, что Ях,[) =[е "=$0 0-0+00 Ос[ел[ при х -+ +со на [О; Ц. $3. Несобственный интсзрол, зависящий от параметра 51 Функция зз(х,1) = $хе 'в при любом х > 1 принимает 1 максимальное на [О; Ц значение также в точке 1 = —. Но в этом случае величина внр [Зз(х,1)[ = Ь х,- [~ = — не Фе[031 1 является бесконечно малой при х -+ +со, откуда следует, что зз(х,1) = архе * с 0 при х -+ +со на [О; Ц неравномерно. Теорема Дини. Пусть семейство функций у(х, М), х Е К, $ Е Т, удовлетворяет условиям: 1) множество Т есть компакт; 2) длл любого х Е К функции з'(х, $) непрерывна на Т; 3) для любого 1 б Т функция у(х,1) монотонна на К; 4) предельная функция 1в(1) = 1пп у(х,1) определена и в-+*О непрерывна на Т.
Тогда З(х,й):3р(1) при х -в хе на Т. Пример 31. Рассмотрим семейство функций У(х,$) = азс13, х > О, $ Е [О; Ц. 1 1+ а' Отрезок [О;Ц вЂ” компакт. Для любого хв > О функция 1 З(х,1) = агсйб непРеРывна на [О; Ц. Длл любого $в Е Т 1+ хв функция Лх„8в) = агс$а монотонна на луче х > О. Мв+х Так как при 1 ф 0 1пп у(х,1) = эзс13 — и 1пп у(х,О) = в ФО+ 1 *-+в+ 1 я — 1пп взс13 — = —, то прн х -+ О+ предельной функцией в-+в+ х 2 ' семейства у(х, Ф) является функция агс13-, 4 Е (О;Ц, 1 Ж= 8=0, 2' определенная и непрерывиви па [О;1]. Итак, все условия теоремы Дини выполнены и, следовательно, у(х,1) В р(1) прн х — ~ хв на,[0;Ц.
Теорема Дини не является полным обращением теоремы о непрерывности предельной функции равномерно сходящегося семейства функций — в ней введены дополнительные 1'лови 1. 11есибственныб интеерал 32 требования компактносгн множества значений параметра и монотонносги функции 1(х,1), определяющей семейство, относительно переменной х. Эти условия существенны. '1'ак, например, семейство 1(х,1) = хСе х, рассмотренное в примере 30, сходится при х — о +со к непрерывной на [О; 1] функции 1о(С) = 0 неравномерно.
Здесь множество значений параметра — компакт, функция 1"(хо,1) непрерывна на [О; 1] прн любом хо > О, предельная функция р(С) = 0 определена н непрерывна на [О;1]. Наруспено только условие 3 теоремы Дини — Функция 1(х.,1,) при любом Со б (О; 1] не монотонна на положительной полуоси. Пример 33. Рассмотрим семейство функций Дх,1) =, х > О, С ) О. 1+ хС' Для любого хо ) О.функция 1'(хо,С) = непрерывна на 1+ хоС Со Т = (С: С > О). Для любого Со > 0 функция Дх, Со) = 1+ хСо монотонна на Х = (х:х ) 0). 11редельная функция 1о(С) = = 1нп 1(х, С) =С непрерывна на Т. Покажем, что 1(х, С) -+ Со(С) *-+О+ при х -+ О+ на Т неравномерно.
Действительно, при каждом хоСз хо > 0 разность С— неограничена на поло- 1+ хоС 1+ хо1 жительной полуоси, т. е. условие !нп (опр [У(х, С) — у(С)[) = О с-+О+ ГЕТ не выполнено. Здесь нарушено условие 1 теоремы Дини— множество значений параметра не компакт. Заметим, что на любом отрезке [О; а] выполнены уже все условия теоремы Дини, следовательно, 1(х, С):3 !О(С) при х — + О+ на [О;а].
Если множеством значений переменной х является множество Л натуральных чисел, то семейство 1(х, С) представляет собой последовательность((и,С). В дальнейшем для краткости вместо "несобственный интеграл, зависящий от параметра" там, где зто ясно нз контекста, будем говорить просто "интеграл". Определение. Пусть множество Т есть множество сходи- 6 3. Бссобстоснныб яятс' рал, зссс т нисяб от норялсстра 53 люссги интеграла / с"(я,с) бя н Е С Т. Если для любого ноя ложнтельного числа ь существует такое число В, а < В < ос, что для всех 6: В < 6 < ьс и всех ! б Е справедливо неравен- -~(аьсН* <,----, ' - ~Л*, И ь О сходится равномерно на Е.
Заметилц что равноьсерная сходимость на Е интеграла в Дв, с) ох есть равномерная сходимость семейства функций О ь М Г(6, 1 ) = /,с (х, 1) бх к с*(1) = / у (я, с') бг при 6 -ь сс — на Е. О а Следующие утверждения являются перефразировкой свойств равномерно и неравномерно сходящихся семейств функций, рассмотренных выше, на случай несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Критерий Коши равномерной сходимости интеграла. Интеграл / У(я, с) сья сходитсв равномерно на множеа стве Е тогда и только тогда, когда для любого положительного числа е найдется такое число В, а < В < ьс, что для любой пары чисел Ьы 6з, удовлетворяющих неравенству В < < Ьс < 6з < ся и любого 1 б Е справедливо неравенство ь, ~~сос|г,~~ .
ь, Как и при рассмотрении семейства функций, следует отличать утверждения "интеграл / у(я, с) сЬ сходится неравное лсерно на множестве Е" и "интеграл / Яя, с) Их не сходитсв с равномерно на мномссстве Е". Первое утверждение подразу- 1'лаьо l. Лсгобсюеениыб инюсерал 0,1 мсвает, что Е есть подмпожесгво множества сходнмопгп интеграла, а второе допускает, что в некоторых (может быть, п всех) точках множества Е интеграл 1'(я,1) ~1в расходится. а Следующие утвержденна непосредс гпснпо следуют иэ определения равномерной гходнмостн интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
