И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Г Ия Как было шжазано выше, интеграл / — сходится при 1 р ) 1 и расходится при р < 1. Дословно повторяя ход анализа 1 ь Г ь!я бя интеграла ~ — получаем, что интеграл / / (Ь я)г (-оо < 23 $1. Несобсювемиыб интаегрол < а < Ь < +со) сходится при р < 1 и расходится при р > 1.
В силу линейности для любого с > О получаем, что инте+оо 1 соя грал ( — сходится при р > 1, расходится при р < 1, а / Г сс1я интеграл у (-со < о < Ь < +со) сходится при р < 1 1 (-*) О и расходится при р > 1. Обратим внимание иа то, что хотя в теореме сравнения и признаке сраввевия есгь условия как сходимости, так и рас- ходимости ивтеграла у(я) Их, однако ви то, ии другое ве а являются крвтерием сходимости. Дело в том, что вет та- кой универсальной (зависяпюй только, может быть, от про- межутка [а; ы)) функции д: [а; ы) — > й, чтобы из неравенства О < у(я) < д(я), я Е [ори), следовала бы сходимость, а из неравенства у(я) > д(я), * Е [а; ы), — расходимость интегра- ла / 7(я) Их (или вз веравеиства О < у(я) < д(я) сходимосчь, а а вз неравенства у(я) > д(х) расходимость). Признаки Дирихле — Абеля еходимости несобст- венного интеграла.
1. Пусть функции у: [о;ы) -+ й и д: [ари) — ~ й удовлетво- ряют условиям: е а) интеграл ) (х) Ия сходится, О б) фувкция д локальио моиотовва слева в точке ы и огра- пичева иа [а;ы). Тогда ивтеграл у(я)д(я) Ия сходится. а П. Пусть функции у: [а; ы) -+ й и д: [а; ы) -~ й удовлетворяют условиям: 25 З 1. Несобсшеенммб интеерал ниченная слева в точке м функция, следует, что у локально сохраняет знак слева в точке м. Если произведение у(л)у(л) локально сохраняет знак слева в точке м, то, не ограничивая общности, можно считать, что обе функции у и у локально неотрнцательны слева в точке м, поэтому ограниченность Ь Ю функции Г(6) = 1(л) Ня и сходимость ингегрзла 1(л) Ыл е О эквивалентны.
Из всего этого следует, что при выполнении условий признаков Абеля и Дирнхле сходимость интеграла / 1(я)у(л) ~Ь следует из теоремы сравнения и сходимости а интеграла 1(х) ал. Проверка же того, что для данной по- а дынтегральной функции выполнены условия теоремы сравнения, обычно проще проверки выполнения условий признаков Абеля или Дирихле. Чаще всего признаки Абеля — Дирихле применяются для +со установления сходимости интегралов вида / 1'(л) еш лил и +ао +со у(з) созвал, если интеграл / !1(л)!дх расходится. В та а е ком случае проще начать с установления сходимостн интеграла, а для анализа абсолютной сходимости широко используемым приемом является оценка: !1(л) 81пл! ) Щж)!81П л = (1 — сое2л); !Л )! !1(х)соея! > Щл)/сое л = (1+сое2л).
з 3У(л)! Распространенной ошибкой при применении признаков Абеля — Дирихле является пропуск установления монотонности сомножителя у(л). Часто она происходит из-за очевидности этой монотонности, но всегда необходимо отмечать, что это свойство выполнено. Иногда считают достаточным написать оценку 0 < у(з) ( р(л), где функция р(я) монотон- Глава 1. Несобственный интеграл 26 но стремится к нулю при х -о +со. Следует ясно понимать, что из этой оценки следует только равенство 1пп у(х) = О, в-++во но никоим образом не монотонность у(х). Заметим, что алгебраическая (в частности, рациональная) функция локально монотонна слева в +со: этим фактом будем в дальнейшем пользоваться. Пример 10. Исследовать сходимость интеграла + в з х" — 2х — 1 бх.
хо+ 4хз+ 3 о Решение. Прежде всего заметим, что поскольку функция х — 2х — 1 о 3 У( ) = рациональна, то ее первообразная вырахв+ 4хз+ 3 жается в виде элементарной функции. Найдя это выражение, можно было бы не только решить вопрос о сходимости данного интеграла, но и в случае положительного решения найти его величину. Но вычисление первооброзной здесь технически громоздко, а задача определення величины интеграла не ставится, поэтому вместо нахождения и исследования первообраэной воспользуемся првзнаком сравнения. Так как хо — 2хз — 1 единственной особой точкой функции у(х) = з на х +4а +3 +оо / бх (О;+со) является несобственная точка +оо, интеграл ~ хо — 2хз — 1 1 сходится и — при х — ~ +оо, то в силу признаке + 4хз+ 3 хз е о 3 Г х — 2х — 1 ка сравнения интеграл / о з Ых сходится.
,/ хо+4хз+3 о Пример 11. Исследовать сходимость интеграла +00 1 Решение. Функция ~(х) = имеет на проме~Ух" + 8х жутке (О;+ос) две особые точки: О и +со. Следовательно, не- 27 1 1. ГГесобсшвенныб инв1еерал обходимо отдельно рассмотреть сходымость каждого из ина +оо <Ь Г тегралов: и / , для некоторого а Е У Ч х~ + 8хз ./ ~~*~ + 8ж~ в о Е (О;+со). Пользуясь признаком сравнения и соотношениями 1 1 1 1 о .- з прнх "++со о в7з приз "+О фхв+8хз 2хз .Чхв+8хз хв(з +оо Нх получаем, что интеграл сходится, а интеграл Яв+ 8хз / Ых о (о«<)р д .т оо о < —,8.
+<о Их интеграл расходится. У фхв + 8зз о Пример 12. Исследовать сходимость интеграла 1 8х ~/х+ х в 1 Решение. Функция имеет на промежутке (О;+со) ~й+И две особые точки — собственную хв = О и несобственную точку (+со). Следовательно, необходимо отдельно рассмоа Ых треть сходимость каждого нз интегралов 1 и +оо / / + з ах для некоторого а Е (О;+со). с~+ х а Пользуясь признаком сравнения„из соотношений 1 1 1 1 — при х -+ В+, — пры х -+ +со о/а + х' хзрз получаем, что каждый из зтых интегралов сходится, т.
е. схо- -1Л- в Глава й Несобственный интеграл Пример 13. Зависимость периода колебаний Т математического маятника от его длины 1 и начального угла отклонения от вертикали ра выражается формулой т 1 Уо Т=2 Показать, что этот интеграл сходится при О < рв < я.
Решение. На промежутке (О; к) функция 1 в1п ~- — в!п Пз имеет одну особую точку р = ре. Так как 1 2 ,,/... (р -+ ро), в;пз Кв в,вг и (в)п Ро)(ро — Р)~~в з з иа и р р р Р вш яа — в)из и сходится. Если представить маятник как невесомый стержень, один конец которого закреплен в шарнире без трения, а второй, с закрепленной на нем точечной массой, свободен, то можно говорить и о начальных углах ра = О и рв — — н. При этом маятник качаться вообще не будет, ибо в первом случае он находится в устойчивом, а во втором — в неустойчивом равновесии.
Если рв -+ О+, то Т вЂ” ь О, а если ра -+ я —, то Т -ч +со, т. е. по мере приближения начального положения маятника к состоянию неустойчивого равновесия период его колебаний неограниченно растет. Пример 14. Исследовать сходимость интеграла с '~лая. а Решение. Функция Дя) = е 'Гг имеет на промежутке (О;+оо) одну особую точку (+со). Поскольку функция з 1.
Несобственный иишеерал 29 /(х) = е ~/* при х -Ф +ос не эквивалентна никакой степенной функции, то применяем не признак сравнения, а теорему 1 сравнения. Для любого а > О неравенство О < е "* <— ха справедливо, если х > В(а) (обратите внимание, что значение В зависит от а). Если а < 1, то такая оценка неинформа+о~ Г Нх тивна — интеграл ~ — расходится, а этот факт ничего не / ха 1 говорит о поведении интеграла от меньшей функции. Зна+ОО / с/х чит, нужно взять такое значение а, чтобы интеграл / /( хе 1 1 сходился, тогда оценка О < с '/у < — будет информативхь на.
Поскольку единственное ограничение на о есть условие а > О, то имеем право взять о = 2, и тогда из неравенства 1 е ~/и < —, х > В(2), в силу теоремы сравнения получим, что хз' +00 интеграл е ~/И </х сходится. а Пример 15. Исследовать сходимость интеграла 1пвш х Ых. о Решение. Подынтегрвльная функция /(х) = 1п зш х неположительна и имеет на (О; — ) одну особую точку хе = О. В е/з силу линейности скодимость интеграла 1и з1п х Их эквивао лентна сходимости интеграла от неотрицательной функции е/3 «/3 (1пз1пх~с/х = — / 1пзш хая.
Так как аргумент логарифо о ма при х -+ О является бесконечно малой величиной, то функция ( 1пв1п х~ не эквивалентна никакой степенной функции ар- ЗО 1'лава 1. Несобственный иншеграл 1 гумента логарифма, т. е. функции вида —., '1. Поэтому В1ва Х применим не признак сравнения, а теорему сравнения. Для 1 любого числа а > О неравенство ~1пвгпх~ < справедли- В1П' Х во, если О < х < В(а) (величина В зависит от а). Если а > 1, 1 1 то из соотношения,, —, х — 1 О, и признака сравв1по х х' гг/2 1 пения следует, что интеграл / ,, йх расходится — эта ,/ Вгвл Х о оценка неинформативна, поскольку расходнмость интеграла от большой функции ничего не говорит о поведении интеграла от меньшей.
Значит, надо взять такое значение а, чтобы гг/2 / г/х 1 интеграл / —,, сходился, тогда оцеыка )1пвгпх~ < 1 в1п х Виго Х о будет информативна. Поскольку единственное ограничение 1 на а есть условие а > О, то имеем право положить а = —. 2 1 1 Тогда иэ соотношения — —, х -+ О и признака сравг/вгп х ~/х гг/2 / йх пения получим, что интеграл ~ сходится, а из ые- 1/в1п х о равенства ~ 1п вш х~ < — и теоремы сравнения получим гг'В1П Х гг/2 окончательно, что сходится интеграл 1п в1п в г/х. о Обратим внимание на то, что в ходе решения использовалось соотыошеыие эквивалентности вшх х, х — 1 О„а не 1пвшх 1пх, х — 1 О+. Иэ соотношения у(х) /'(х), х -+ а, вообще говоря, ые следует соотношение Ь(у(х)) Й(/(х)), х -+ а; такое утверждеыие в каждом конкретном случае требует обоснования.
Соотношение 1пвш х 1вх, х -+ О+ верно (проверьте), но его обоснование было бы излишним усложне- /11 *11ва ю о ~ — /1, а -+ О+, Ллв любого о > О. ао З 1. Несобсюееяимб ииюеерал нием решения примера. Пример 16. Исследуем сходимость интеграла +оо / х сов х 40+ хз о а соя х Функция Дх) = имеет на (О;+со) одну особую 40+ хз точку (+со) и не сохраняет знак локально слева в этой точке.
Теоретически надо было бы начать с анализа абсолют:- х 1 ной скодимости данного интеграла, но так как 40+ хз х -+ +оо, то простейшая оценка Ях) ~ ( не дает воз- 40+ хз +со можности утверждать, что интеграл ~ ~~(х)~ ох сходится. о Как уже говорилось, в данном случае проще начать с проверки выполнения условий признаков Абеля — Дирихле. Дейь ствительно, функция Р(е) = / сояхЫх = ап6 ограничена о на [О;+ос), рациональная функция у(х) = локаль- 40+ хз но монотонна слева в точке (+ос) (у(х) монотонна на луче х ) ~/400) и йш у(х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
