И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Точки а и о будем называть концевыми точками промежутка (а, Ь) независимо от того, являются ли они собственными или несобственными точками числовой прямой. Несобственную точку числовой прямой и такую собственную точку, что в любой левой или любой правой полуокрестности ее функция у неограничена, будем называть особыми точками функции у. Пользуясь введенными терминами, заметим, что определение А есть определение несобственного интеграла функции у' на промежутке (а, ы) в том случае, когда особой точкой функции у' является только правав концевая точка промежутка (а,ь1); а затем определен несобственный интеграл у"(я)1[я, если особой точкой функции [' является только левая концевая точка промежутка (м, а).
Определение В. Пусть функция /: (а„9) -у й имеет на пролиежутке (а, ф) конечное число особых точек и Т: а = аи < а1 « ... а„= [у такое разбиение промежутка (а,1У), что на каждом из (а; 1, о;), 1 < 1 < и, особой точкой функции у является только одна нз концевых точек. Тогда 1Фуикиил 1' й В[а;6[ тогда и только тогда, когда она ограничена на [а; б] н лиюие«тио ее точек раарыаа на [а; Ь[ «еть миан«стао меры нуль.
~ 1, Песобстпсннмн нцви'рол а) если каждый нз интегралов / Дх) Ил, 1 с' ~ < и, Ф а сходится, то интеграл ~ Дх) ох называетсв сходящимся (ин- Ф а теграл / У(л) Нв сходится), его величина цолагаетсн равной а, и ~~', / Х(г) Ыл и функции 1 называется интегрируемой в нс 1а собственном смысле на (а,,б); а, б) если хотя бы один из интегралов / Дх) с(л расходится, Р а, то интеграл / у(л) сЬ называется расходящимся (ннтеграл Р а ,1(к) Ых расходится). Это определение корректно, т. е. ни сходимость или расхо- Ф димость интеграла / Дх) Ив, ни его величина в случае сходи- а мости не зависит от выбора разбиении Т, удовлетворяющего сформулированному условию.
Обратим внимание на то, что выражения "функция )' не интегрируема в несобственном смысле на (а,р)" и "ннте- Р грал / Дх) Нл расходитсв" н~ полностью тождественны. а Ф Именно, говоря "интеграл / ((л) Ии расходится", мы вреда полагаем и конечность множссгва особых точек функции ( на (о,Д), и интсгрнрусмость в смысле Римана функции ( на любом отрезке (а; 6) С (о, б), не содержащем особых точек, и 11лщ и 1.
11есобщноснныб онтгерол утверждаем только то, что хотя бы одни из пределов, входящих в определение несобственного интеграла но промежутку (о; ь,о;) с концевой особой точкой, не сущесгвует. Выражение афункцня 1' нс ннтегрнруемя на (о; Я) в несобственном смысле" может, кроме того, обозначать н то, что множество особых точек функции 1' на (о;11) бесконечно, н то, что 1 ис ннтегрируема в смысле Римана на некотором отрезке [а; 6) С (о; 11), не содержащем особых точек функции 1 (в силу критерия Лебега это эквивалентно тому, что множество точек разрыва 1 на 1о; Ь) и, тем более, на (об 11), не есть множество меры нуль).
+аа дя Пример 1. Рассмотрим интеграл ( . Функции / 1+ з' 1 о У(*) = на (Ог Рос) имеет одну концевую особую точ1+я ку -- несобственную точку ы = +оо. Так как ь 1 Ия и 1нп / с1л = 1нп агой 6 = —, ь->+ / 1+ лз ь-ь+ 2' о +аа Ня то по определению интеграл / — сходится и его вели- 7Г / 1+из чина равна —.
о 2 +са Пример 2. Рассмотрим интеграл ~ ош л а1я. Функция о 1(я) = о1нк на (Он+со) имеет только одну концевую особую точку — несобственную точку ьо = +со. Так как 1нн о1и л Ия = ! нн ( — соо Ь) Ь-а+аа .1 Ь-++аа о +аа не существует, то по определению интеграл ( о(пг~уя расходится. '1 1. Песобспаееяяыа ипоаеграл Пример 3.
Расслютрпль шггегралы: +оо 1 +оо ) ~-' )~'-* ) ~Ф 1 о о Начнем с пункта а). На промежутке (1;+со) функция 1 Г(х) = — имеет одну особую точку — несобственную точас ку (+со). '1ак как ь (Ь' г — а' г) ~1 И= — О<а <6<+со, яг 1п —, р=1, о а +оо ь то интеграл / — = 1пп ~ — сходится при р > 1 и рас,/ яг ь-о+оо,/ хг 1 1 ходится при р < 1. Переходим к пункту б). На промежутке (О;1) функция 1 Г(к) = — интегрируема в смысле Римана при р < О и имеет яг особую точку ае = О при р > О. Пользуясь приведенным выше равенством, получаем, что ! l ' г 1 (1 — Ь'- ), р~1, — 1п6 р — 1 ь 1 Г ~Ь откуда следует, что интеграл ~ — сходится при р < 1 и расходнтсл при р > 1.
Переходим к пункту в). !'азбиснне 7': (О, 1, +ос) представлвет промежуток (О;+ос) как объединение двух промежут- 1 ков (О; 1) и (1;+со), на каждом пз которыхфункция Г(я) =— имеет не более одной особой точки, причем зта точка консч+оо Г ая »аю Согласно определению В пигеграл ~ — сходится тогда е 12 1лспи 1. 11ггпбгтнс инин ттнтрил 1 + ссс 1' ь1х ~ с1х и только тогда, когда сходятс.я оба интстриля 1 — и ) ' '/х о 1 Иирвььй нз этих ннтсгралов расходится при р > 1, второй —- при р < 1, таким образом, одновременно оба эти интеграла +~ / дх не сходятся ни при каком значении р. Итак, интсграл ) ! х расходится нри любом значении р. о + ссс х сов х — ян х Примор 4.
Рассмотрим интограл ) с1х. х сов х — вш х Функция Дх) = з на промежутке (О;+ос) имеет г две особые гочки — собственную точку хо = О и нссобствсиную точку (+со). Разбиение Т: (О, л, +ос) представляет промежуток (О;+оо) как объединение двух промежутков (О; л) и (л;+ос), на каходом из которых функция 1(х) имеет только одну концевую особую точку. Так как хсовх — япх (св1вх 1 то ь ) исаях — янх, /вш 6 яп а'1 с1х = ~ — — — ), О < а < Ь < +со. хг Ь а ) и Ото|ода получаем, что о ь +со +с хсовх — янх 1 /нй хс1 янЬ хг ь-с+нс ~ х ь-с-/-сю Ь г и 1 1, Несобственный интсерал +00 1 х сов х — в!и х Итак, по определению В интеграл / Их схоо днтся, поскольку сходятся оба интеграла в +оа / х сов х — в!и х Г хсовх — в!пх ~1х и / Нх, Г хсовх — в!пх и при этом Г о(х = — 1 + О = — 1.
хг о с(х Пример б. Рассмотрим интеграл / —. 11а проме- Г! .г' о жутке (О; 2) функция Г(х) = имеет одну, но уже не 1 — хг концевую особую точку хо = 1. По определению В для схог Г йх димости интеграла ( — необходима сходимость обоих о г Г ах Г а'х интегралов: / и / о ! Г йх 1 — Ь Если О С Ь ( 1, то / =!и —. Так как функция 1+Ь 1 — Ь Р(Ь) = 1п — не имеет предела при Ь -+ 1 —, то, следова- 1+Ь 1 йх тельно, интеграл ~ расходится. Итак, независимо от / ! г о г о(х о!х поведения интеграла / интеграл / г расходит/ ! г / ! г ся.
1 о 1 — х Замечание. Функция Р(х) =!и определена при х = О 1+х 1 п х = 2 и Р(2) — Р(О) = 1п —. Если не обратить внимание па 3 то, что функция Г(х) = неограничена н, тем самым, 1 — хг 1'лаеа 1. Нссобстеенный шалссрал 14 пеинтегрнруема на (О;2), то, формально нрименнв формулу 11ьк>тона — Лейбница, можно сделать неверный вывод: нптеах 1 грал /, сходится н его величина равна 1н —.
,/ 1 — хз 3' е Внимание! !1режде чем применить формулу Ньютоь на - Лейбница к интегралу / Дх) дх, необходимо убедиться, а что функции у(х) интегрируельа в смысл Римана на (а; 6). Пример б. Функции Дирихле (О, х — иррационально, '(1, х — рационально не интегрируема в смысле Римана ни на каком отрезке [а; 61 С С [О; Ц. Следовательно, функция 11(х) не интегрируема и в несобственном смысле на (О; 1).
Множество функций, интегрируемых в несобственном смысле на промежутке (а;6) (собственном или несобственном), обозначим через Й(а;6). Еще раз обратим внимание, что для собственного промежутка (а; 6) множество В[а; 6[ интегрируемых в смысле Римана на [а; 6[ функций есть подмножество В(а; 6). Основные свойства несобственного интеграла. 1. Если ь с Й(а; 6) и у б В(а; 6), то для любых постоянных о, Д функции а1" + Ду б Й(а; 6) и ь ь (оу(х)+1УУ(х)) ах=аз[ У(х) Их+11~~ д(х) их (линейность). Другими словами, несобственный интеграл есть линейный функционал на линейном пространстве Й(а; 6). Следствие. Если у(х) = 1~(х) + ..
+ Ях) и интеграь ь лы / Д(х) Их, 1 ( 1 ( у — 1, сходятсл, а ннтеграл / А(х) Их е а 1 1 Несобппаенныд интеграл расходится, то интеграл Дх) йх расходится. а 2. Кслн У б Й(а; 6) и с б (а; 6), то 1 б Й(а; с), ~ б В(с; 6) н с ь ь нс»*+1ле»*=1 на»* (»»-- '» а с а 3. Если У б Й(а;6), д б Й(а;6) и Дх) < д(х) для всех х б (а;6), то Ь Ь 1(х) с1х ( / д(х) их (монотонность интеграла). а а Следствие. Если у б Й(а; 6) и [1[ б Й(а; 6), то ь ь 1'л*|»*( с 1" ~л*г»*. а а 4, Если ы — единственная особая точка функции у иа (а; ы) и 1" Е В(о; ы), то для любой строго монотонной и непрерывно дифференцируемой на [о; р) функции ~р: [о; Ф) -+ [а; са) функция (у о 1а)1а' б В(еб )у) и М Ф / Их) бх =/ Л1 (1))Ю'(1) б1 а а (замена переменного в несобственном интеграле).
5. Если функции ~: [а; ы) -+ Е и д: [а; ы) -+ Ж непрерывно дифференцируемы на [а;ы) и существует 1пп у(х)д(х), то Ь-н»- М н интегралы / 1 (х)д~(х) с(х и / у'(х)д(х) с1х одноврсмешю схоа а дятел илн расходятся, и в случае их скоднмости имеет место равенство / Цх)д'(х) дх = у(х)д(х)~ — /,)»(х)д(х)й:, а а Глооо 6 Песобстосяяь~й онтсгрол аде 1(я)у(г)~ = 1пп ()(л)д(х)) — ~(о)9(о) (интегрирование по частям в несобственнола интеграле). Из рассмотренных выше примеров видно, что если перво- образная функция Г: (о; 6) -+ ьс для функции,)'; (о; 6) — Ь Й аналитически представлена как элементарная функция, то исследование сходимости и вычисление несобственного ин- Ь теграла / 1(я) ня сводится к ранее изученному вопросу существования н вычисления предела элементарной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
