И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 46
Текст из файла (страница 46)
~,2а+ 1 з 343) а) бГ(4+ о) ~ Г(п+ и+ 1)(3 — и)!' б) 24Г(5+ и) 7 Г(п+ о+ 1)(4 — п)!' в) Г(и+а+1)Г(и+1) ~~~ ", о > — 1; ( 1)а ги( .) Г(в+о+1)Г(и — и+1) ' ОО ю а л~-~ Г(п + а + 1) ~-~ 2а+и(п -~ а) 344) Указание. Воспользоваться производящей функцией для Ь„(х), 345) Указание. Равенство для е ~~ (пример 25 гл. П1 з 9) умножить на (а+ 1) ' и проинтегрировать по промежутку (О;+со): +ее +оо 1' --и+1г-'н=йсы)'( ',)' а а=а а Х „(х) В интеграле слева положить а = — — 1. х Глава 1Н. Гдлгциальньш функции 480 2иЬ-Ь~ Х ' Нп(Х) и 346) Указание, Полагая в равенстве е2*' ' = ~~ " 1" и! =О с = 0 н разлагая функцию е ~ в степенной ряд, сравнить козффицнгнты при одинаковых степенях 1.
347) а) Указание. Замечая, что степенной ряд можно дифференцировать почленно, подставить функцию у(х,1) = е ~ = ~ —,1", (1! < Оо, и=о в тождество ду2(х,1) д1 — (2х — 21)у = О. ду б) Указание. Использовать тождесгво — — 2122 = О, 22 = д* 2п1 — Ь и =е 348) Указание. Использовать рекуррентные соотношения предыдущей задачи. 351) Указание. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, имеем Н„(х)Н„(у) и е +У ~ ( — 1)п 2" и! л ~ и! и=в ппо +О:+Оп / -и*-и~+2ииз+зиу1( )и 1 .1 е*' и Р+2 2+2иу и и ( — ) ( ) е л п=е 2 2 +пи+'"' Еп +у е-и -и +2ии2+2иу2-2им ли 1О =. 11 ь э +С О Г г и 2Ь ~/Л ьь ПОСКОЛЬКУ / Е и " " Оу = — С.г, тО ЗваЧЕНИЕ дВОйНОГО а интеграла равно И'(х,у,1).
Отеетм, решения, указания 352) Указание. Заменить в разложении производящей функции для Н„(л) я на у, умножить полученный ряд на 2 е'*" ' и проинтегрировать по промежутку ( — оо;+со). Проверить справедливость равенств +се +00 ' =!' г г я ' Н зя8-Ф*-~й-+1яд ыя-я- х ~ — ОО я=с +са 1Я я=а +со зя,,2 Ф+э.„, Г 12+зон =~ ~/2яке г ~~~ Н (х) (П)" »=О Сравнить коэффициенты при одинаковых степенях 1 в этих равенствах. 353) Указание. Применить результат задачи 349 к функциям и„(к) и и (е).
Получить соотношение Б — (и'„и — и' и„) +2(п — тв)и и„= О, которое проинтегрировать затем по промежутку (-оо;+со). 354) Указание. В рекуррентном соотношении задачи 347 а) заменить и па и — 1, умножить полученное соотношение па Н„(х), а исходное соотношение — на Н„~(х) и вычесть одно иэ новых полученных соотношений из другого. Полученное равенство умножить на е * и проинтегрировать по промежутку ( — оо;+со). 355) Указание. Рассмотреть дифференциальное уравнение для функции и = е ' Н (х), записав его в виде и" + (2п — 1)и = кзи, 1'лаев П1.
Специальные функции 482 откуда, учитывая начальные условия и(0) = Н„(0), и'(О) = = И„(0), получить равенство н(х) = Нь(0) соя~/2п+ 1х — Н„'(О) + в)п |/2п+ 1;с ~/2п+ 1 + / „гп(„) в;и | |2 — + — 1( |/2п + 1 1 а Используя соотношения Н,„(0) = (-1), Нг,„+|(О) = О, Г(2пг+ 1) Г(пг+1) ' Нг„,(0) = О, Нг,„+,(0) = 2 ( — !) Г(2пг+ 2) Г(в|+1) ' записать н(х) в виде и(х) = а„[сов (оп + 1х — — ) + г„(х)~, Г(п+ 1) 21'(и+ 1) где а„=... если и четное; а„= Г (2+1) ' Г(пг+-г') 1~ +1" если и нечетное и г„(х) = / у и(у) в|п (с/2п+ Цх — у)) ь(у. 1 а„~(2п+ 1 о Доказать, используя неравенство Буняковского — Шварца, что )г„(х)( ( = Д„)х)~1~. (2'*(и!)|Я'~~ )х)ь1г а„2п+ 1 |/2 Л Используя формулу Стирлинга, получить, что а„е т2'+пг, |г„(х)( < С)х(~1~в следовательно, и(х) а„ сое (|/2п + 1х — ™), и -ь оо, кы а ь я.п з Н (х) 2 г пт.е * е т сое ~|/2п+ 1х — — ), и -+ оо.
е 2 Ответы, решения, указания 483 356) а) Указание. Использовать соотношение +ОО +ОЭ 10, ифО, Н„(у)е " е1у= / е " Но(у)Но(у) ~!у = ~~/к, н = О. б) Указание. Рекуррентное соотношение задачи 347 а) умножить на Н,(у) и вычесть из полученного уравнения такое же уравнение с переставленными х и уд разделить полученное равенство на 2" и! и просуммировать по и от 1 до т. 357) ~/я при и=О; О при нфО.
Представить этот интеграл в виде 1 и во втором интеграле сделать замену — = 1. х е * + ( — 1)" е < 2 для 0 < х < 1, то Поскольку 1 4~/й / /1 — хз'! Их ~/пГ (и+'-) 1 ( — о( ,/ 7' 1,1+ ') 1+х' Г(ц+1) ' о тоэ 358) Указание. При вычислении интеграла / ~(х)Н„(х) Ых Но(х) „ умножить обе части равенства (1 — 1 ) *е'Ф = ~ 2 2» и! о=о (см. задачу 351) на Дх), проинтегрировать по промежутку ( — оо;+оо) и вычислить значение !е(С) интеграла в левой части равенства.
Разложить функцию у(1) в степенной ряд и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях 1 в обеих частях рассматриваемого равенства. 359) Указание. См. указание к предыдущей задаче. 360) Указание. Воспользоваться равенством (см. задачу 359) Глпва П1, Специвльиые функции 484 !,11 )! < ) " е с(х х , )!г х ~ / (1+ х )е ()«(х)()х~ ~/п Г Н~(х) +о« ))г (1+ х )е г«(х)()х а Используя результат предыдущей задачи, показать, что '«1-а)а) 2) оо (см. при большом а. Для таких а, заменяя в интеграле в«. l полипом Эрмита выражением а„е « ~сояч'2п+ 1х— +г„(х), где ов е «2 «н !г„! < С!х!«и г при и-) 1 указание к задаче 355), показать, что а„п)(л ( «(«) (2в,п) ~-)г/г а Г кпх х а„/ е «(в(х) соя ~~/2п+ 1х — — ) (1х+ — О а ~«( )" (*)«'! — « стремится к нулю при и — ) +со.
Необходимая оценка следует из асимптотнческих формул для Г-функции. 361) Указание, Представить данный интеграл в виде сум- мы трех интегралов: по промежутку ( — оо; — а), по промежут- ку ( — а; а) п по промежутку (а;+ос). Применяя неравенство Буняковского — 1Бварца, доказать, что Ответы, решения, указания 485 362) Указание. См. указание к задаче 358.
363) Указание. Применить результат задачи 362 и теорему об обращении Фурье. 364) Указание. См. указание к задаче 358. 365) а) Указание. Применить результат задачи 358. б) Указание. При р = 1 результат получить дифференцированием формулы и. а). В общем случае применить метод математической индукции. ) (2р)! ~-» Нгп(х) 2гР л (2п)1(р п)1' (2р+ 1)! ~ Нгп+1(х) 22р+1 ~ (2п + 1)!(р — п)! 1 ~ » ( 1) Н2п+1(х) /у ~ 22л(2п+ 1)п1 п=в 1 по ( 1)ла2п+1Н и 1(х) р) — 7 и ~~ 22лп1(1+ аг)л+гв(2п + 1) 2 т ( — 1)пНгп(х) х ~„~ 22п.п1(2п+ 1) ппа 4 ~ ( — 1)п Нгп(х) е) — р х ~-' 2гп+4п! 2п+1 л=в 1 1 4 368) НО(х) + — Нз(х) + — Н1(х). 8.271ГЗ 91ГЗ 31/3 00 ггп 377) а) ет ~~1 Ьгп(х) —,. Указание. Сложить разложения =О 1, и 1 для функций -е * 1 и -е 2 2 и пп 12п+1 б) е 2 ~~~~~, Ьгп+1(х); (2п+ 1! ( 1)л12п В) е ' Е , Ь (х); =О ( 1)п12п+1 г) е ',2 1), 11гп+1(х).
(2п+ 1)! Слава П!. Специальные функции 480 378) Ьп(х) = 2 "/ Нк ( — ]' Но(х) = 2 / Ьи(хъ/2). 'ь, ~/2/ 379) Сделав замену переменной х</Л = 1, получить равенство о о /л — +1,Л-+ а 1 Г 3<0)Р р. р А=(~х(в * <* — — у-ль)(.
2 у' Л о Используя результат предыдущей задачи и теорельу Лагран- жа, имеем а «/~ио) — лоо.-"*'<,!< ( — ) < о < с/ *.-"*'<*,- ° ( — ) =. [ — ), о 381) Указание. Показав, что функция х(1), М Е [О;Л/у(6)~, обратная к </у(х), х Е [О; 6], непрерывно дифференцируема на / 2 0; Л/<у(6)~ и х'(0) = „, сделать в интеграле ь 1у (0) /(х)е * Их замену х = х(1) и использовать результат зао дачи 380. 382) Указание.
Использовать указание к задаче 381, заменяя отрезок [О;6] на [а;О]. 383) Указание. Представив интеграл ~ Дх)е ьоООЫх как ь е о~~<1 / /(х)е "1оОО о1*<П <(х, сделать в нем замену и = х— а — хо и применить результаты задач 381 и 382. 487 Ответы, решения, указан««я 384) Сделав замену ! = хи в интеграле, получим, что 2 г < — е *в! !=— 2 1 2е и, аналогично, 1/3 О 2е Я о 2е е Поскольку — + О при х -+ +оз, то Х «!з — о+со, ~ е 'вудами-+ О, х -++со.
о а/Л +О« (ен й — / е'««!!= Г~ е *в!"!««и-+ О, 2 а «л. ' 385) ~ егл «!л =— лГЛ ее«« +О« — '(( Лл. у = — ! !-.«'««+ !«.' «'««) = Г(х+ !) = я*+1 / е *в!"! «!и, о где у(и) = и — !ив. Используя результат задачи 383, имеем е *в!"! «!и — е е х -+ -!-со. Пз Кроме того, еОО +«О О < / е *в!") «!и < 2 з( д«(и)е в!"! е)и = — е *в!з! < 2 л 7'леев Ш. Гнгциальныс функции 488 386) В силу теоремы Лагранжа ((х) — )'(О) = хр(х), где х(х) непрерывна. Далее, имеем О а (у(х) — 7(0))ем* Йх = / ху(х)егл Нх = о о а = —, ~ р(х)е (егл ) = —,р(х)еы* /— о Π— —,~ р'(х)е' * дх = о ( — /, А — >+сю. е 387) д) Указание. Воспользоваться тождеством ~с)п е = / е "~~а <ц о +сю Тогда ~~~ С„"Ии "= / (1+1)"е "'Й. а=о о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
