И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 41
Текст из файла (страница 41)
)/ ях ~ 2 1 1,хз1г) 263) Доказать, что а),1 г(х)х" ггх = х" У„(х) + С; 425 ~ 12. Унражнеиил б) ( у„(х)х нх = — х ун-~(х) + С; в) / 1 ез(а) Их = / 1 (х) Ых — 21,+~ (х); г) (,ур(~) И~ = 2(1д,.ь1(х) + .Ур4 з(х) + А+5(х? + ' '1. о 264) Доказать, что а) 1 х'~~(ох) уи(Ю ~х О = '-)1' (аЛи(0х) 1д,~.~(ох) — Ду (ох) уе ы(IУх)); б)1*1(*)н= — ((х(*)) "~(~ )л~ ~)' о 265) Доказать, что если а и Д вЂ” корни функции,1„(х), то 1 О, аф/3, хД,(ах)Ю„Ях) Их = 1 и ) — 1. -(1'(а)), а = )3, / 266) Доказать, что если а — корень уравнения У,(х) =, то 1 14(о1) й = -Д(а) — 4(а)). 2 о 1х 267) Доказать, что / е Л„()Ух)х ~~ с1х =, е о 268) Доказать формулы г Х е 1 Г 1) С'(х) = — 1~~з(с) И(, 8" (х) = — ~,Г,~з(() ~1~, 2./ о о где С'(х) = ~I- 1соа4зй, Я'(х) = 1~ 1 ать й --- инте- Ч х1 у я о е гралы Френеля.
. Ф !'лиьп ПЗ <:пеццпльнмс функции 426 269) Проверить равенства а) ~ х7ю(х) 6х = х,Цх): о б) / х 7о(х) пх = х 7] — Зх',Уг+Зх 7з-1 Зх г4+ 6~,,7ич ~ ь=г в) х",7г(х) Нх = хг,7з — 4хе3е + Зх',7з, о и) / хА(х) ~1х = х,Уа(г;); о А) / х 7г(х) Дх = х 13(х) — 2с 1е(х). а 270) Доказать, что при любом и справедлива формула ~»(х+р) = ~, 7 (х)7.— Ь) 271) Доказать формулы а) е'*"" е =,7е(х) + 2г ~~~,7гь ~ (х) яп(2к — 1)1а+ а=> + 2~: .7гь(х) сов 2й~р; а=1 б) ем'~'~' =,7а(х) + 21сое цг7г(х) + 2~~~ г" 7ь(х) сов Йх.
ь=г 272) Доказать справедливость разложений а) соа(ха(п 1г) = 7е(х) + 2~~, 7гь(х) солЗЬр; а=1 б) яп(хяп~р) = 2~~ 7гь г(х)яп(26 — 1)ег; л — ! 427 а 12. Упразснения и) сов(хсов~р) = ./а(х) + 2~~~ ( — 1)",/аь(з) сов21р; в=1 г) сдп(хсовр) = — 2~~~ ( — 1)ь,/зь ~(х) сов(21 — 1)р. в=1 273) Доказать, что функции у = в1п х и у = сов.с разлагаются а ряды 1 совх = /а(х) — 2/з(х) + 2/~(х)— сдпх = 2/1(х) — 2/з(х) + 2,/в(х)— 274) Доказать, что функции у = ее'О'г' н у = е "" х разлага- ются и ряды е*'о'"' = /а(х) + 2~~~ /~(х) сов/с~р, А=1 где /„(/х) = е в ',/„(х), /„( — /х) = е ег',/„(х). 275) Доказать интегральную формулу Ф/2 2 /и(х) = — / /. (2 р) Ф = а «/2 и = ( — 1)" — /,/а(2хсову)сов2п1аИ1р, п = 0,1,2, а 276) Доказать формулу в/2 2 /„(х) /„(х) = — /,/„+„(2х сов 1о) сов(д — и) р с/у.
а е ОЭ 277) Доказать формулу / У„(а) Иа = 2 ~~,/„+за+1(х), н > — 1. а в=а 428 !'лаоа !!1, !!пеииальиые функции 278) Доказать формулу 1. =. !ля (!) М = х",! е, (х) — (р — и — 1) / !" ',!е ы (1) М, !л+ и ) -1. 279) Показать, что вычисление интегралов / !м,! (1) Й, о и ) — 1, гп = О, 1,2,..., приводится к вычислению интеграла 1„+ (1) й.
о 280) Показать, что функция Уо(х) удовлетворяет интегральному уравнению ,! (х) = — ~ 7о(у) ду, О < * < + 2 ! еЛп(х+у) 1Г х+у о 281) Доказать, что функция р(хД) = (1 — 2х1+ 1~) '1~ удодр др влетворяет уравнению ! — — (х — 1) — = О. д1 дх 282) Доказать, что полиномы .Лежандра удовлетворяют уравнению (1 — хз)уа — 2ху'+ п(п + 1)у = О. 283) Показать, что )Р„(х)( < 1, (х! < 1.
284) Показать, что многочлены Лежандра удовлетворяют рекуррентным формулам а) (и+ 1)Р„+1(х) = (2п + !)хР,,(х) — пР„1(х); ~) х! «(х) ! и — 1(х) — п!а(х)1 в) Р„'.о(х) — хР„'(х) = (и + 1)Р„(х); г) Р,',+1(х) — Р,', 1(х) = (2п+ 1)Р„(х); д) (1 — ')Ри(х) =, (Р -1(х) — Ри+1(х)); п(п + 1) 2п+1 е) Ц1 — х )Р((х)) + п(п+ 1)Р„(х) = О. 285) Показать, что Р„(1) = 1, Р„(-1) = ( — 1)", (2п — 1)Л Ръ,(0) = ( — 1) и, Рз~+1(0) = О. (2п)И 429 1 12. Упражнения 286) Показать, что многочлен Рзь(х) — четнал функция, а многочлен Рэ),.01(х) — нечетная функция. 287) Доказать, что если А„— старший коэффициент в Р„(х), 2п+ 1 то А„4.1 —— А„.
и+1 Знал, что Ае — — 1, получить А„. 288) Доказать, что для многочленов Лежандра имеет место формула Лапласа Р„(х) = — ~ (х + ~/хэ — 1 соя 9)" ИВ. а 289) Доказать, что для многочленов Лежандра справедливы неравенства )р.)*И < 2 )1 — *) 200)Л у р 00 Л жандра )) 2 у ) 01)р Р„). 0)= — У У . 0 †0<0<к, п=0,1,2,..., используя интеграл Лапласа (см. задачу 288). 291) Доказать, что многочлен Лежандра Р„(х) ортогонален на отрезке [ — 1; 1) любому многочлену ь) (х) меньшей степени (2п < и). 292) Доказать формулу +1 +1 ='" '/ „ Ра (х) 01х = Рл-1(х) Нх, и = 2, 3,.... 2п+1 у -1 -1 +1 2 Получить отсюда, что / Р~(х) 2(х = 2п+ 1 — 1 293) Показать, что многочлен Лежандра имеет и различных корней на (-1; 1).
1'лапа П!. Специальные функции 294) /(оказать, что для любого многочлепа Я, (и) справедливо равенство 1ь1„(х) = СоРо(г) + С,Р,(.е) + + СпР„(х) где Р;(х) многочлены Лежандра. 295) Вычислить следующие интегралы: и) а~ (1 х )(~п(х)) о б) ~(11'п(1))'й, и ~И; о 3 в) /Р„(х)ах, пЕИ. о 296) Выразить через многочлены Лежандра следующие функ"н"а) у=х; б) д=х; в) у=х; О, -1<х<0, е) у= 1, 0<х<1; г) и = х; д) у = [х[; 1, 0 < х < 1, ж) у= — 1, — 1(х(0.
Р„(1) Й = [Р„1(х) — Р„ь1(х)], и Е И. 2 2п+1 299) Доказать, что для любой функции Дх), кусочно-глад- е1 кой на любом отрезке [а; Ь] С ( — 1; 1) и такой, что / Х~(х) е1х — 1 297) Найти наилучшее среднеквадратичное приближение функции у = о11п х, х Е [ — к; и], многочленами Лежандра степени не выше третьей. 298) 11роверить справедливость равенства 1 12. Упрахснепил 431 +1 сходитсв, существует / 1(х)Р„(х) Нх. 300) Используя надлежащую замену в дифференциальном уравнении, определлющем полнпомы Лежандра, привести его к виду 1 И / Ни1 а) — — ( в1п 0 — ( + п(п+ 1)и = 0; .1 в'1в 11,,1в( б) — "",+ .+-' + .', и=О Р„(соеИ) —, е1п и+ О+ — +О и — ~+ос, 6<0<к — Ю, Ю>0.
302) Доказать, что О, п~ш, Т„(х)Т (х) -1 х 2' — т=пфО, к, т=п=О, т. е. многочлены Чебышева ортогональны на [ — 1; 1] с весом 1 ,/Г:х ' ЗОЗ) Показать, что многочлены Чебышева удовлетворлют уравнению (1 — х~)у" — ху'+ пзи = О. 304) Доказать, что многочлены Чебышева удовлетворлют рекуррентному соотношению Т„(х) = 2хТ„1(х) — Та-з(х) 305) Вычислить значение многочлена Чебышева а) Т„(1); б) Т„( — 1); в) Тзп(0); г) Тз .+1(0). 306) Показать, что при (1( < 1 справедливо равенство 1п =г'тле.—, ~,~<1. е — 2~*.~ 1 и нанти выражение решении зтих уравнении через полиномы Лежандра. 301) Доказать асимптотическую формулу для мпогочленов Лежандра: 432 Глава П!, Специальные функции 307) Показать, что при [2[ < г, где г -- меньший из модулей корней квадратного уравнения 1 — 2х1 + ьг = О, справедливо равенство 1 — ьг = П( 2-'; 2г 21 (г)2'.
1 — 2 1.11 308) Доказать, что многочлены Чебышева 7'„(х) имеют на отрезке [ — 1; Ц и различных корней. 309) Доказать, что для многочленов Чебышева справедливы равенства а) Т„(Ты(х)) = Т„(х); б) Т„(2х — 1) = Тг„(~/х). 310) Доказать, что многочлен "1ебышсва можно записать в виде 1 а) Т„(х) = — [1(х + 1/хг — 1)" + (х — ~/хг — 1)"1; б) Т„(х) = ( — 2)"и!2" /1 г22 (1 * ) (2п)! 2(хв 311) Написать разложение следующей функции на [ — 1; Ц по системе многочленов Чебышева а) у = х', б) у = х; в) у = х; г) у = [х[; [О, — 1<в<0, д)у=~ ' [2, 0<я<1.
312) Для функции у = агссовх найти на отрезке [ — 1; Ц наи- 1 лучшее среднеквадратичное приближение г. весом чг1 г среди многочленов степени не выше седьмой. 313) Доказать, что многочлены Чебышева второго рода У„(х) удовлетворяют соотношениям игп(0) = ( — 1); 22гп+~ (0) = О. 314) Доказать, что для многочленов Чебышева второго рода справедливы соотношения О, йфь', У„(х)У,( ) /1 г,1 — К= 2'. -1 2' 3 12.
Упрахсненил 433 315) Доказать, что многочлены Чебышева первого рода Т„(х) и многочлены Чебышева второго рода У„(х) удовлетворяют соотношению Т„'+, (х) = (и+ 1) 11„(х). 316) Доказать, что многочлен Чебышева второго рода У„(х) является миогочленом степени и. 317) Доказать, что многочлены Чебышева второго рода являются решением уравнения (1 — х~)у" — ху' + п~у = О.
318) Доказать, что производящей функцией для многочлепов Чебышева второго рода является функция 1 1 — 2х1+ 1з ' т. е. что справедливо соотношение р(1,х) = = ~~~ 1" 11„(х). 1 а=О 319) Введем следующие обозначения: Тп'(х) = Те(2х — 1); У„'(х) = 17е(2х — 1); х л 2 ьйв ((и + 1) агстое лз) С„(х) = 2 сол (и агссов -); 5„(х) = Ы' " =,Д хд где Т„(х) — многочлены Чебышева первого рода, а К,(х)— многочлены Чебышева второго рода. Доказать соотношения С„(*) = 2л ( — ) = 23 „( — ); я(е=и.(*-,) =г„'(*+,'); Тп(х) = -Сп(2х) = Т,* ( ); Т„'(х) = -С„(4х — 2); 1 и„(*) = Я„(2 ) = и„' ( , /1+ х'1 "(, 2 (' У„'(х) = Я„(4х — 2).
320) Разломить следующую функцию по системе многочленов Чебышева второго рода а) у = хз; б) у = х~; в) д = (х(. 434 ! лана П!. Гпгци«левые функцпн Пусть Ь«(х) †-многочлеп '1 бьппева — Лагерра. 321) Доказать, что Ь«(х) есть многочлен степ~ни и. 322) Доказать, что старший козффнциепт у многочлена !.«(х) равен ( — 1)", а свободный член ран~и и!. 323) Доказать, что многочлены Ь„(х) ортогональны с весом р = е на положительной полуоси, т, е. е ~1,„(х)1, (х) Нх = О, т;е и.
о +с« 324) Доказать равенство / е 1.~(х) ох = (и!)~. о 325) Доказать, что многочлены 1с«(х) удовлетворяют рекуррентным формулам а) (и+1)Ь„~.~ — (2п+1 — х)Ь +п1, ~ —— 0; в) хЕ«+ (и+ 1 — х)1„— (и+ 1)1.„4~ = О. 326) Доказать, что производящей функцией для многочленов 1 Е«(х) является функция р(х,!) = — е ~-~, т, с. 1 — ! — е '-' = ~~А«(х) —. 1 — ! ~-' и! ««о 327) Доказать равенство Ь„(х) = ~ ( — 1) С„" ~ —,х". Й ь«о 328) Доказать рекуррентные формулы а) Ь„+о + (х — 2п — 1)А„+ па 1,„, = 0; б) 1,'„— пЬ'„, + пЬ„~ — — 0; в) хЬ'„= п܄— и Ь„-ы 329) Доказать, что функция 1«(х) удовлетворяет уравнению ху +(1 — х)у +ну= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
