И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 43
Текст из файла (страница 43)
1.Л( ' ! 13) Указание. 11айти решение уравнения у' = у - — с на- ~/лхх чальным услояием у(0) = 1 и применить теорему единственности задачи Коши. 16) б) Указание. В уравнение Га(х) + 2х1г(х) .= ! подставить ряд г'(х) = ~ аах и получить рекуррентное соотношение а=о ао = О, аг = 1, (й+ !)ал.г1+ 2ал ~ —— О. в) Указание. 11рименить два раза правило Лопнталя. +з С(х) = ~( — ~~~ ( — 1)" —, )х) < оо. )! л „(23)!(4/г + 1) ' оказание.
Разложить функции в!пх и гоех в ряды и проинтегрировать почленно. а!и хз + соа хз 2(соа хз — ейп хо) 4 25) + 3хз Зх 3 447 Ответы, решения, указания 27) Указание. Использовать равенства 1 в1п — "' (1 — 1~) Г (хи~ — = / исоа ~ — (1 — 1 ) Ии, х 1 — 1г / '1 2 о 1 сйп — ',* (1+1г) Г (яиг г = / исоа — (1+ !г) Лн 1+1 о н изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. 32) Указание. Записать выражение функции Е~(х) в виде Г Ге' — 1 11 е' — 1 Е1(х) = А+ / ~ + -~ а1; разложить функцию в 1 а ряд и проинтегрировать его почленно.
Использовать выражение производной Гамма-функции Г'(а) = / еЦ1в '!п1а1 и о равенство Г'(1) = — Сз аг 36) Указание. Проинтегрировав по частям интеграл ~ —, /11' й Г й о оделись ~ц~~ку 1 — ( )в 1и 1 1и х 1и х о о 37) Указание. Испольэовать разложение ГИ(х) в ряд. Г ео 40) Указание. В интеграле / — й сделать замену 1 = — и, ,/ с полученный интеграл три раза проинтегрировать по частям е в аи е * Г аи е * 1 и получить оценку / — †. (— и и х и х 41) См, указание к задаче 32).
54) %(5х) + С. 55) — С)(2тх) + — !и ~х)+ С. 1, 1 2 2 Етя 56) — — + тЕ1(гпх) + С. 57) е Е)(х — а) + С. 58) сова 81(х — а) +в1паС1(х — а) + С. 59) сова С1(х — а) — вга а%(х — в) + С. 448 Глава 111. Специальнь4е функции еь 60) —, + 5 Е1(5х + 10) + С. х+2 61) — е — Ь!(е ) + С. 4 1 ( 24-4) 211( гл-2) 63) — ~х +Зх+ — — ) +64е Ь)(е ~ )+С. 21 82 4 г -4 2 2 х — 2) е 3 64) — —, Е) (2х — 2) — — 1п (х — 1 ~ + С. 2 4 65) 21.1(х ) — 1л(х) + С. 66) 1;(хг) 1;(хг) + 21;(2,) + С е* 67) — — 2 Е1(х) + е Е1(х — 1), х < О.
68) — + + С. сов Зх С1(2х) С)(5х) + С1(х) 1, 1 69) — 21п 2х%(Зх) + — (С1(5х) — 05(х)) + С. 2 4 1 . 1 70) — -сов4х%(5х)+ -(%(9х) — Я(х)1+ С. 8 1 .. 1 71) — вгп 2х С1(х) — -(%(Зх) + %(х)] + С. 2 4 72) х 03 (2х) + — %(4х) — еЗп 2х С1(2х) + С. .г 4 1 73) х%(2х) С1(2х)+ — (сов 2х С1(2х) — в|и 2х%(2х) — С)(4х)]+С. 2 Я' и 74) — при Ц > 1; — при Ц = 1; 0 при Ц < 1.
Указание. 21 В случае 7 ~ 0 проинтегрировать по частям. В случае 7 = 0 проинтегрировать по частям два раза и применить вторую теорему о среднем, Использовать оценку ! сов 1 Г ' С 4 75) — при Ц > 1; — при Ц = 1; 0 при Ц < 1. 27 1 1+1) 76) — 1и 1 при 1 ~ О, .1 ф. 1, 1 ф — 1; 1 при 7 = О. 27 1 7 Ответы, решения, указания 449 1 77) — 1и )1 — 7~) при 7 ф О, 7 ф 1, у ф — 1; 0 при 7 = О. 7 1 78) — 1п(1+ у) при у > 0; 1 при .у = О.
7 79) — при а > ф; — при а ( 12. 80) — при а > ф; — при а ( 12. 2а а+)у 1 /)аг ууг~ у 1 81) — 1и — + — 1и ( ) при а ф )У; — 1п2 при 2а а — )8 217 (, аг ) а а =,д. 82) 1п 2 622 ° 6) . У .3 *= — 266. 2 66 82) . У .3 *=266. ) 6 3 2 ) )6* 6 2) ' 2 6 62 1 — 1 88) — у . У .3 )*. ))*.Ь)' 1+1 89) -Р(й,)р), 18у)т —, й= 90) (К (й) — Р(й, 13)1, )р = агссов —, Ь = Ь й~~ ~-у 1 а Ь 91) — (К(й) — Р(й, )р)), )р = аусвт —, Ь = —. а а 1 е 92) — Р(й, уг), уг = агсзуя —, Ь = —. а ' Ь' а Ответа, решении, указание 453 135) ~/2 Р†,агсГК ~Г2 — Р 136) Я Р вЂ”, вгсг5п 0,6 — Р 13 аяЬ авЬ 24 246 1 137) Е(й,ог) = ао — -азЬ~— 2 (2п — 3)! ! аза агн = ~вш~" ф г!ф, ао о 1 Р(й, !о) = ао + — азк + 2 (2п 1)" 2» (2п))! азн= /в!п "гЬг!гЬ, ао о 1 в!п 2~р = !о, аг —— — ог — —.
2 4 1.3 , 1 3 5 — аай + — авЬ + + 24 246 1 вш2у т!о, аг= -р— 2 4 К' = К и тождество принимает вид 2ЕК вЂ” Кз = (2Š— К)К = С. Применить результат а) и 6). 142) 1,31103. Указание. а = ъг2, Ь = 1; аг =, Ьг = Ф2. Я+1 2 ~/аз — Ьз 143) аЕ(е) — аЕ (е, — — гг), е =, и = згссов —. '2 ' а ' а 144) 4аК вЂ” . 147) 4~/2Е 6Нз 148) — ((1+ й~)Е(Ь) — (1 — й~)К(Й)~, Ь = —. 149) ВН(Н+ г) [Е (й) — (1 — Й)К(Й)), Й = —.
Н 150) —. 2,/~: Ьз' 152) б) 0,915965.... 153) в) Указание. Пусть й = —, тогда Ь' = й, Е' = Е, /2 454 Глава Ш. Спеииальиме фуиггции 155)— 22 91/3 158) —. 3 2л. 16Ц— 91/3 21г 156) —. 1/3 159)— 2 /2 (2п) )! 162) (2В+ цц о 1/2 в первом интеграле сделать замену --ях = у, а во втором— 2 1Г 1ГХ вЂ” — = Д.
2 154) —. 8 15Т)— 21/2 211 160) —. 3,/3' (2п — 3)П л. ла (2и — 2).'! 2' 16 (2" 1)" ге+2 14 ... (Зп — 2) я 165)( + ))2 +' + 166) 36 3 Згг я1/2 167) —. 512 168) —. 4 169) — Г Указание. Сделать замену соз х = 1 — 21/и. Г70) . 17ц — +,—. 172) — ггз.
173) —. Г(Ь+ ц Г (йы) 2 2 Зяз ив+1 2а~+ 27 321/2 1 / + 1~ Г' Ц) Г(п+ Ц вЂ” Г'(и+ ЦГ (21) 1 /1'1 Г'(и+ ц Г (21) — Г' (1) Г(п+ ц 1г я1 1Т6) — !11+ 1п — ). Указание. Сделать замену х = 1 — 1 и я~ 2)' применить формулу дополнения для функции Г(х). 1 177) —. Указание. Сделать замену х = 1 — 1 и применить 4п' формулу дополнения для функции Г(х). Представив интеграл 1 / 1плшяхсов2пяхг(х в виде 0 1/2 1 !п лш ах сол 2япх Г(х + 1п зш лх сол 2япх г!х, Ошвсшы, рс|испи, указаиил 455 178) 0<т+1<и, изш » 1 1 тг 1 79) — — < ш < и —— 2' п з|п 2 11к' 3» 180) 0 < ти+ 1 < и, В(и — ш — 1,тп+ 1).
и|+1 а тт так ты+1 та+1| 181) о « — р, — Н в ( — р - — ) (ь) и п 182) а>0, ге+ |)' 1 гф)г(у) 183) р > О, д > О, г(л-+ч) ' 184) р > О, д > О, ' . Указание. Сделать замену в(р,у) ' ( +7)'У+7)' (а+ 7)х ах + тт(1 х) + 7 1 т 1 185) и < 1, — В ~ —, 1 — и 188) .,„+,, +, ти > — 1, и > — 1. Указание. Сдех — а И вЂ” а лаз ь замену — = — 1.
х+с 5+с 187) ти > О, и > О. 2 +" зВ(ти, и). Указание. Сделать замену 1 (1+х)з 2 1+аз ' 1 188) 1<и|<2. 2(ш — 1) в; . 'г:.Й тг 1 189) 0 <тп< 1. шт вш »т-1 190) 1 < ти < 2. — В(2 — т, тп — 1). и| — 1 191) а) гг > О, — — л — » б) о > О,— 2 Г(лы) ' 2 Г(аы) з 1 192) (и! < 1, —.—,. 12 соз»»' Глееа П1. Снециальнае функции 456 ен нх 193) и > О, В ~ —, — ). Указание.
Сделать замену 1= Ф8 —. 2 Ьг 7Г 194) а ф —, й Е 14... Указание. В интеграле 2 в)п(и совз а) задачи 187 положить и = 1 — пь, 2гн — 1 = сов 2а и сделать подстановку 1 = 18х. 195) а > О, — з. Указание. Сделать подстановку Ф8 — = 11— 2 Ч1+й 2 пь+1 1 /пь+11 196) — >О, — Г~ и~-( 197) р > -1, Г(р+ 1).
— л' сов кр 2 198) 0 < р < 1, Указание. Данный интеграл в1п ир является производной по р от функции В(р, 1 — р). вш 200) 0<р<1,ив в1п кр из 1+в)п аи 201) (а! < 1,— 8 сова + 202) ис18ир. Указание. Доказать возможность предельного перехода при е -+ О+ под знаком интеграла Г(1+ е) Использовать формулу Г(е) = и применить правило Допиталя. 203) и!п и кО -2 ж 204) — 18 —.
Указание. Сделать замену е е* = 1 и исполь- 2Д 2Д зовать результат задачи 202. !'ланга !П. Специальные фугглциц 224) — Сз -1- —. 2 ' 24 л 223) — — Сэ . 2 ~ х ~ | ~ ~ ~ ~ ~ |~ ~ ~ ~ ~ ~ о ~ ~ ~ ~ и ~ ~ 2 л ~ ~ ~ ~ ~ ~ о ~ ~ и н е 2 ь ~ 2 хз) ~-~ !ггг(и+ )г+ 1) ~-' 4/г!Г()г+ и+!) 225) а) — Сэ! 6) — Сэ; в) — — (Сэ+2 !и 2); г) Гп(!) = Сзз+ —; лг 4 6' ~Ггл 1 з лз1 д) — ~(Сэ + 21п 2)з + — ~. 8 2~ ,/л Г (и) Г'(д+ 1) Г'(р+ 1) 226) —. 227) — — —— 2 г (г+') г(у+1) г(р+1) ' Г(о+1)Г(ф+1) Г(о+1+1)Г(о+Ф+1) Г(о + )3+ 1) ' Г(о + 1)Г(о 4 !7+ 7+ 1) ' г( 2-)гй) в) !п, г) 1п 18 —. Указание.
В интеграле п. 6) г (-;) г (~+') 1 сделать замену х = 1, положи гь, у = —,. В интеграле п. в) 2 положить )! = 1 — а. гг (2п — 1)В / 1 1 229) — ~1 — — + — — .. — — — !п 2 2 (2п)В (, 2 3 2п Указание. Продифференцировать по о данную формулу. К полученному результату применить формулу Гаусса (см. формулу (16) гл. П1) н положить 2о — 1 = 2п. лЯ 230) —. 3 (з) з(! ) 231) —. м; —.2 . зм -. Указание. Использовать ~/4 Гз( — ') ' га Г ( г ) формулу Лежандра (см, пример 12 гл.
1П з 5). азГз( г ) "') 3пзг("з) 234) Сходится. 235) Сходится. 236) Расходится. 237) Сходится. 238) Сходится. 239) 1. 240) Г(о). 241) Указание. Вычисляя каждое из трех слагаемых в уравнении для функции у(х) = 1,(х) имеем; 459 Ответ«1, решения, указания 1, ( — 1)" (н+ 2Й) (2) -1„'= ~ х " 4((!Г(((+ и + 1) «(и+ 21()(и+ 2й — 1) (х1 4й!Г(((+ и+ 1) ~2~ Учитывая, что Г(т+ н+ 1) = (т+ и)Г(т+ и), показать, что Е Х 1 о+2~«-2 Ст — коэффициент при сложении рядов при ~ —,) для т ) 1 равен (-Ц~ ( — 1)~н2 ( — 1) (и+ 2т) (т — 1)!Г(т+и) 4т(Г(т+н+1) 4т(Г(т+н+1) + + ( — 1)™(н+ 2т)(н+ 2т — 1) ( — 1)"' + — х 4тТ(т+ н+ 1) 4тТ(т+ н+ 1) х ( — 4т(т+и)-н~+н+2т+(н+2т)(н+2т — 1)) =О, рз и н(и — 1) 4Г(н+ 1) 4Г(н+ 1) 4Г(н+ 1) Для определения радиуса скодимости рядов применить признак Даламбера.
оо (, . -«+2« 244) Указание. Показать, что 1 „= 2 ', 2, и в ИГ(й — и+1) ' «=« этом ряде ввести новую переменную суммирования 1 ~я~э«+ -1 Г((()Г(((+ и+ 1) ~2/ 1 ~ х 1 2(+«+1 Г(1+1)Г(1+(и+1)+1) ~2l = — («+1(х). Решение п. б) проводится аналогично. 2 246) 12(х) = -А — 1о,' х 4 4/2 Уз(х) = -(2 — А1 = — ~- — А — Уа — А; 1'лаьа !П. Специальные функции 460 24 — хз 6 уо(х) = 1з — —.7ь г 248) Указание. Проверить.
что функция а 1 Г у„(х) = — ~ соя(пр — ха)п~р) сйа о удовлетворяет уравнению Бесселя и начальным условиям 1 уо(0)=1, у„(0)=0, уо(0)=уа~ы(0)=0, пЕИ у1(0)= —; использовать результат задачи 243 н свойство единственности решения дифференциального уравнения. 251) Указание. Использовать результат задачи 249. 252) Указание. Используя результат задачи 250, выписать интегральные представления для ао(х), а1(х), Уз(х), аз(х) н применить метод математической индукции. 253) Указание. Применить формулу ) 1гь(1 Г(й + и + 1) Г (к + -') Г (н + -'),/ вытекающую из равенства В(х,у) =, и после под- Г(х)Г(у) Г(х+ у) становки Г(п+ н+ 1) в ряд для а'„(х) изменить порядок суммирования и интегрирования.
254) Указание. Выписать ряд для 1о(х) и оценить остаток, используя то, что остаток есть ряд типа Лейбница: ! г ао(х) — 1+— 4 64 255) Указание. Воспользоваться ридами для определенив функций у~„(х). 256) Рассмотрим уравнение Бесселя и сделаем замену у = о(х) / и = —, тогда получим уравнение на + ~1 — о = О. ~/х хз,/ Это уравнение есть частный случай уравнения он+ (1+ о(х))и = О, Ответы, решения, указания 461 / 1 1 где а(х) = О ~ — ), х — у +оо. Положим в(х) = 7вш(х + б), 2)1 и' =.усов(х+ б), где.у(х) и б(х) — некоторые функции, причем у(х) ф О ни при каком х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
