И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 38
Текст из файла (страница 38)
64хе — 80ь и+24хг-1 ортогональны на отрезке [ — 1; 1) с весом р(х) = х/1 — хз.,')ты функции называются ортогонзльными многочленами Чебы- шева второго рода. Выпишем несколько первых их этих мяо- гочленов: 391 у 9. Многочлеиы Чебышева — Лагсрра ~9. Многочлены хХебышева — Лагерра Многочлены Чебышева — Лагерра определяются формулой Ръ(Е л, «) лхи ( 1)а (а(е-азха) (или иногда формулой Ь„(х) = — е' ). Привеп1 лхп дем несколько первых из этих многочленов: Ьо(х) = 1, Х 1(х) = — х + 1, Ьз(х) = хз — 4х + 2, Е з(х) =' — хз + 9х — 18х+ 6, Ь4(х) = х~ — 16хз+ 72хз — 96х+ 24. 1 Функция у(х,1) = — е=' является производящей функ- 1 — 1 цией для многочлепов Чебышева — Лагерра, т.
е. 1а 1а(х,1) = ~ Ь„(х) —,. а=о В приложениях важное место занимают так называемые обобщенные полпномы Лагерра Ь~(х), определяемые по формуле х-а ца(е-гха+а) 1„"(х) = е* в=0,1,2,..., а> — 1. Приведем несколько из этих полиномов: ьо(х) = 1 ь1(х) = 1+'" 1 Ь~ = -((1+ )(2+ ) — 2(2+ )х+ х~). Применяя правило Лейбница для выражения полннома Лагерра и-го порядка, получаем Г(п+ а+ 1) ( — х) ' "' — ~-;Г(й+.+1) и(.
9)$ Глава 1П. Специальные функции 392 Производящей функцией для полиномов Лагерра является функция цу(х 1) (1 1)-а- е т. е. 1 е т-т = ~~ Ь~~(х)1", ф < 1. в=с Для достаточно широкого класса функций справедлива георема разложения функции по системе обобщенных полиномов Ла~ ерра. Теорема. Пусть Дх) определена на (О;+оо), является кусочно-гладкой на любом промежутке (О; а), а > О, и интеграл +оь е ~х"1 (х) их сходится. е ьь Тогда ряд ~~~ С„Ьв(х), 0 < х < со, с коэффициентами в=в +оа и! у( ) -е або( ) Г(и+ а+ 1),у о сходится и его сумма равна Г(х) в точке непрерывности этой 1 функции и равна -[Див+0)+У(хв — 0)] в точке ее разрыва хв.
2 1 Пример 25. Разложить функцию у = е ве, а > -- по 2' системе многочленов Лагерра А„"(х). Решение. Положим, что е '* = ~~~ С„Ь„"(х), тогда «=В и! С„= ' е *е х У„"(х)4х= Г(и+а+1) 2 а +ОО и~ ~' ех в(в(е — вхв+ь) е аее *ха — х-а их = —.-.-. ) ' о $ 9. ~Иногочлены Чебышеаа — Лагерра 393 е а*1е х"+ )1а)1)х = о -(а+1)* +а 1 о Г(п+ о+ 1) 11 1 ])а+а+1 Г(в+ о+ 1) аа Г(п+ о+ 1) аа Г1п+ о+ Ц Поэтому (а+ 1)1+а ~а+1 ) 1 1 е с=с= а+1 1 Полученное разложение можно найти, если в производящую функцию для полиномов Ь„"1х) вместо Ф подставить а+1 394 !'лава П!. Гпециальные финикии ~)10.
Многочлены 'Чебышева — Эрмита 34ногочлены Чебышева--Зрмита определяются формулой ь и 24 е Ни(х) = ( — 1)"е, и= 0,1,2, Выполнив дифференцирование, находим, что Но(х) = 1, Нг(х) = 2х, Нг(х) = 4хг — 2, Нз(х) = 8хз — 12х, Нл(х) = 16х~ — 48хг+ 12, Нь(х) = 32хь — 160хз+ 120х и т. д. В общем виде имеем (,) ~ (-1)"(2х)" '" ' И(п — 2й)! В частности, получаем Нг„(0) = ( — 1)" — и Нги+г(0) = О. „(2п)! и! и !йыстема функций Н„(х) ортогональна с весом е ~ на промежу гке ( — со;+со) (см.
задачу 352). Теорема. Пусть у(х) определена на (-оо;+оо) и удовлетворяет условиям 1) !(х) кусочно-гладкая на любом промежутке ( — е; а); +сю ь 2) / е ~ ! (х) йх существует. Тогда ряд ) С„Н„(х), ~х) ( со, с коэффициентами .=. — / ((х)е ~ Нь(х) их, й = 0,1,2,. 2 й!,!,! ~ и ~ я к функции ((х) в каждой точке непрерывности отой 1 60- и кцнп и к — [((ха — О) + !(ха + О)] в точке разрыва хо. 2 2 10. Многочленлс с/еблсшееа — Эрлсата 395 2 > Пример 26. Разложить функцию /(х) = е ' * по системе Нп(х).
Решение. Имеем е ' = ) С„Н»(х), где 2»п! /л / Так как функции Нп(х) с нечетным и нечетные, а функция е ' * + четная, то Сгп 1(х) = О, н = 1,2,.... Итак, необходимо вычислить Для вычисления этого интеграла зал!спим полипом Пгп(х) его интегральным представлением (см, задачу 349). Тогда имеем Сгп = /! с ! /2" сН /! с ' соа2х!с/х= я(2п)!,/,/ — О> 2 ( 1) 1 -!'11+»') г»,1! л/я (2н)!а,/ о +с» /я(2н)! (1 ! аг)п+!/г / ( 1)и а2» ! ( Цпа2» „!' и+- /я(2п)! (1 ! 12)»1-!/2 >л 2 ! 22»н1(! !,12)п+1/2' В силу того, что оба несобственных интеграла сходятся абсо- лютно, возможно излюнить порядок интегрирования. Итак, 1)паг» е ' = ~~> — — — Нгп(х), !х~ < сю.
22».пс(! + а2) с> "11/2 п=е Пример 27. Разложить функцию /' = епп по системе функций /Нп(х). Глава !П. Специальные функции 888 Решение. Имеем е' = ~ СОНп(х), где =О С. = . ~«';- -Н„(.),«х 2п н! /л ! (-1)" Т «и( ™) е'~ — Их = 2п.и! «л « «хп (-1)- ! « — (.-") ' 2п и!и«л ( «хп-! + ОО !«и' 1(е * ) «!«хп — ! + (-1)" .. Г, = — — ( — 1) а у! е !«х= 2" н! ч«л +СО !«с'1* 2) еь !«х= — 1Гле'. 2пи!,/л «2п н! Итак, е'и =. ет ~п — -Н„(х), !х( ( оо. п=е Полученное разложение можно вывести, используя произвоа дящу!о функц!по для полнномов Нп(х), полагая « = — в ра- 2 венгтве (1) (см. пример 28). Пример 28.
Докажем, что производящей функцией для многочлс нов Чебышева — Эрмита является функция «) 2п1-! т. е. имеет место равенство -- р) -.,— и! п=е С 10. Многочлены Чебышева — Эрлситпа 397 Решение. Разложим функцию е ~ в ряд по степеням С о»(х) н обозначим коэффициенты разложения через и! зш — с ( ) С ( )С С ( )Сз С ., 1»( )С» С (2) 1! 2! и! При С = 0 имеем 1в(х, 0) = 1 = оа(х), т. е. оа(х) = 1; так как 1»,'(х, О) = (2х — 2С)ез" ' ~ = 2х, то ос(х) = 2х. Функция н=а 1»~(х,С) удовлетворяет тождеству ~р',(х, С) = (2х — 2С)х(х,С). Подставляя сюда ряд (2) и приравнивая коэффициенты при С", имеем ос(х)+оз(х)С+ — з( )С + "+ С" + "= 3 з по»(х) „ 3! п! = (2х — 2С) оа(х)+ С+ — С + ..
+ С»+ ос(х) оз(х) з о»(х) „ откуда » + 1 ( о»(х) о» 1(х) (и+ 1)! и! (и — 1)! ' о»+1 х)— т. е. се»+с(х) = 2хм»(а) — 2по»-с(х). Следовательно, функции о»(х) удовлетворяют рекуррентному соотношению а) нз задачи 346, которому также удовлетворяют и полиномы Чебышева — Эрмита.
Поскольку оа(х) = 1 = На(х), о~(х) = = 2х = Нс(х), то все ал(х) равны Нь(х), Ь = 2, 3,.... Иногда за многочлены Чебышева — Эрмита принимают функции зСРЕ з Ь»(х) = (-1)»еег, н = 0,1,2, Выпишем несколько первых из этих полиномов; Ьа(х) = 1, Ьс(х) = х, Ьг(х) = х — 1, Ьз(х) = хз — Зх, Ь4(х) = х~ — бх + 3, Для многочленов Ь»(х) имеет место рекуррентная формула (3) Ь»ас(х) = хЬ»(х) — »Ь» с(х).
! лига ПЬ Спсциальныг функдиа 11ример 29. Докажем, что производящей функцией для и фУнкцнй Ьп(х) ЯвлЯетсЯ фУнкциЯ сы ', т, е, 1и 'л = Е Ьп(х) —,. п=а Решение. Разложим функцию р(х,М) = егл л в гт~ппно(х) ной ряд по 1 и обозначим через коэффициенты эгого и! разложения ы ~ ( )+ ~х1(~) + оз(х) з оп(х) и (! 1! 2! и! При 1 = 0 имеем !и(х, 0) = 1, !и~(х, 0) = х, т. е. аа(х) =- 1, о~ (х) = х.
Функция у(х,1) удовлетворяет тождеству ду(х, 1) = (х — 1)1и(х,1). Подставляя в это тождество ряд (4) и приравнивая коэффициенты при 1", имеем оп+1(х) хоп(х) оп-1(х) и! и! (и — 1)! откуда о„+ г (х) = хоп (х) — по„~ (х) . Следовательно, функции оп(х) удовлетворяют рекуррентно. му соотношению (3), которому удовлетворяют и полнномы Чебышева — Эрмита Ьп(х). Поскольку оа(х) = 1 = Ьа(х), п ~ ( с) = х = Ь|(х), то все оп(х) равны Ьп(х).
[т 399 6 11. Аси44птотические оценки иногсеролоа ~11. Асимптотические оценки интегралов -у(ХО)е-Лу(аа) 2к о) 1(х)е о( ) ах а при Л 4+со При вычислении интегралов 1~ 1(х)ео~о(~) 4(х при больших а значениях Л пользуются следующей теоремой. Теорема 2. Пусть функции 1(х) н д(х) дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [а;6], н пусть на (а; 6) функция д(х) имеет единственный экстремум в точке хо Е Е (а; 6), пРичем ди(хо) ф О, 1(хо) ф О. Тогда при Л -++со справедлива аснмптотическая форму- ла ь ..,Г=.е ) ЮО(а) а) у( ) ((ЛО(аа)4а/4а1р~ О" (аа)) (2) а Решения многих прикладных задач находятся в виде некоь торых интегралов ~ 1(х, Л) ох, зависящих от различных паа раметров, и часто надо знать поведение таких интегралов при Л -++со. В этом параграфе приводятся пскоторыс результаты о поведении этих интегралов на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
