И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 33
Текст из файла (страница 33)
н -+со Так как иэ равенства )пп би (х) = д(х), т Е ( — гг; гг), следует, что 1пп сг„(х) = д(х), х Е ( — л; л), то г(х) = д(х) на ( — я-, гг). 25. Решение. Пусть Яа(х) = —, Я„(х) = — + ~ ~(а,„соя!их+ Ь яп! тх) 2 Глава 11. Ряды Фурье. Преобразооаггие Фурье В силу теоремы Фейера 1пп о«(х) = 1 (х) для всех х Е ( — л; гг) . « -+ 00 Из Равенства 5«(х) — о«(х) = — х т(а«, сов тх+Ьы вгп тх) п+1 па=1 1 получаем, что О < [5„(х) — о„(х)[ < — ~~~ т[[а [+ [Ь [], и+1 т=! откуда в силу условия а = о ~ †), Ь = о ~ †), т -э оо, следует, что 1пп (Я„(х) — о(х)) = О.
Отсюда получаем, что «-+со 1пп Я„(х) = 1пп о„(х) = Дх) для всех х Е ( — л; л). ЗЗ1 з 1. Интегрил вероятностей Глава 1П. Специальные функции ~1. Интеграл вероятностей Так называется функция (функция ошибок) ег1'(х) = — ~ е вг. о В теории вероятностей используется функция Лапласа (х) = — 1.--'* а, Ят з' о которая также иногда называется интегралом вероятностей. Функции егЦх) и Ф(х) хорошо изучены, и для них, а также связанной с ними функции 1р(х) = — е в ~/2х составлены подробные таблицы. На рис. 13 а), б) приведены графики функций у = егЦх) и у = Ф(х). '5 2. Интегральные функции ззз ~2.
Интегральные функции (синус, косинус, логарифм и показательная функция) Люпегральный синус и косинус соответственно определяются формулами р егп(, р сое( В((х) = / — г(1; Сг(х) = — / — г(1, х > О. ,/ с 6 с Вместо функции ог(х) можно рассматривать функцию 81(х): 1 51П4 61(х) = — / — Й, при этом %(х) = 61(х) + —. 2 Графики функций ог(х) и Сг(х) приведены соответственно на рис. 14 а) и 6). Бг(гг) 1,85 Б1(4е) 1,49 Я(2е) 1,46 Я(5е) 1,63 Б1(эе) 1,67 Я(6гг) 1,52 Рис. 14а !"лава !!!. Специальные функции 334 Рис. 14б №ппееральные лоеарифль и показательная функция соответственно определяются формулами й Г е' Ь((х) = / —, х > О, Е1(х) = / — й, х < О.
в -со Прн этом для х > 1 в определении функции Ь1(х) интеграл понимается в смысле главного значения, т. е. в 1+с Графики функций Ь1(х) и Е1(х) приведены соответственно на рис. 15 а) и 6). Глава )Л. (,'иециалонм« фуивцвв ЗЗ6 ~3. Синус- и косинус-интегралы Френеля Так называются соответственно функции о(х) = ~ — ~ в)п1 с)1 и С(х) = )) — ~ сов)ой.
Бг 11ри х -+ +оо каждая из этих функций стремится к пределу: Я(+ос) = С(+ос) =;. 1 2 Графики этих функций приведены на рис. 16. '3 4. Эллиптические интегралы 337 ~4. Эллиптические интегралы Так называются интегралы ~ 17(х, у) йх, где ес — рациональная функция от х и у = я/Р(х), Р(х) -- многочлен третьей или четвертой степени, т.
е. ) Их. (2) Вообще говоря, интегралы (1) и (2) не всегда могут быть выражены в элементарных функциях в конечном виде, кроме некоторых частных случаев. В частности, эти интегралы выражаются в элементарных функциях, если многочлен Р(х) имеет кратные корни.
Приведем еще примеры, где Р(х) не имеет кратных корней, но соответствующие интегралы выражаются в элементарных функциях: 4хз+ 30хг 4х+ 7 <(х = х4+ 1бхз — 2хз+ 7х — 51 +С; 1„1 4 +С; — /Г:Р ~/Г: ' Их = х~/4хз + 1 + С 10. 3-1-1 Д з+1 Прежде всего отметим, что интеграл (1) приводится к интегралу (2) подстановкой х — хз = 1з (или х — хе = — ез), где хз — действительный корень многочлена Р(х) = ахз+ + Ьх + сх + И: я (*, лл з ь, -,-.*.,-б 4)я* = =/А(1 +хо,1 ) 21Й.
1'й(ьва П!. (3)е((валы(ые функции 333 Следовательно, достаточно рассматривать лишь интеграл ви- да (2). Поскольку ах~ + бхз + схз+ Нх+ ) = а(х~ + рх+ д) (х + р) х + д) ), то можно показать, что найдется такая линейная (х = 1+ о) р1+ г'( или дробно-линейная подстановка х = /, которая 1+1/ уничтожает в обоих квадратных трекчленах х + рх + д и х + р)х+ д) линейные члены. Сделав такую замену, мож- 2 но (с точностью до слагаемого, которое представляет собой элементарную функцию) привести ингеграл (2) к виду дд(1з) (ц А(1+ аР)(1+ )ЗР) а затем с помощью замен к виду Р,( г),1 Л:*'Т~: е *') (3) где й (О < й < !) — некоторая константа.
Выделяя из рациональной функции Л)(х ) целую часть и разлагая ее пра- 2 вильную часть на простейшие дроби, можно показать, что в общем виде интеграл (3) приводится с помощью элементарнык подстановок и с точностью до слагаемого, являющегося элементарной функцией, к следующим трем стандартным интегралам: ((х (1 — *))О:")) ' хз ((х ~(1-*')(1-~' ')' где О < й < 1 и число а, вообще говоря, комплексное. Эти интегралы, как показал Лиувилль, не выражаются через элементарные функции. Лежандр назвал их эллиптическими интегралами соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода.
1 4. Эллиптические интеералы 339 Из них особую важность и частое применение имеют пер- вые два. Сделав в первом из них замену к = Б(пФБ, 0 < )е < —, 2' приведем его к виду йр Такая же замена к = Б(п )а приводит второй интеграл к виду Б(п )рЙр '1 - 1 . Наконец, третий интеграл при указанной подстановке пере- РР ходит в интеграл Р Р Б.Р ' Р) Р Р- РА ФР Л жандра.
Интегралы 11~7:РЫРрР, называются соответственно эллиптическими интегралами 1-го и 2-го рода в форме Лежандра. Тем самым определены функции Лежандра Ра,.)= )' (4) 1 — 1 )ЕФ Е(й, И = 1 — йзиъп2 4Р1Ф. е Для этих функций составлены таблицы их значений при различных )а и я ()Ц < 1) (параметр й называетси модулем).
В них параметр )р, рассматриваемый как угол, выражается в градусах, а модуль й рассматривается как синус некоторого угла й', который также выражается в градусах. При )р = —, 2 Глава !!!. Специальные у>ункппи 340 эллпптнче|кне интегралы (4) и (5) называются полными эллн|п нческимп ннтегралал|и и соответственно иногда обознача|отся !4(Ь) и Е(/|). Для полных эллиптических интегралов у|цсствук>т особые таблицы их значений как функций аэ Эллиптические интегралы (4) и (б) довольно хорошо изучены, для ннх установлен ряд формул и они применяются на равных правах с элементарными функциями.
Пример 1. Привести к эллиптическим интегралам инте|(г )!х грал у! о Решение. Сделаем замену х = сов)о. Тогда )!х = — |йп рс6р, >)> — * = >>)> — *))>.>*) = ) т 2 — )> — . ) = . г =вшу 2 — в)п~)р= >|2в>пх ! — — в|п )о. 2 Поэтому >>/в |/г Ф /) х4 у2 !) о !г гв|п р =л0' г,— '..., 1' )-,— '...) — à — — — !г Пример 2. Привести к эллиптическим интегралам интеь )гх ,))*+ >) о.~ |)* "'" а) 0 <а <Ь; б) — 3 < а < Ь < — 2.
Решение. а) Положим х = г, тогда Нх = 2! Й, .т(т+ 2)(х+ 3) = г~(г~ + 2)(1~ + 3) 341 В 4. Эллиптические интегралы ь зз з(х 2 ззз ! > О. ДЫ+Щ*.ззн з ДРззЗзп.зц' Положим теперь | = Й Ьдзр, тогда ~й = ~/2. Изр, 4~+ 2 = 2(Ь~~ зр+ 1) =-— 1 в в 2 СОВР ЗР савв у' 2 в1п~ зР+ 3 совз зР 3(1 — '-'-"в— е) з~ + 3 = 2 $~~ зр + 3— СОВ ~Р СОВ ф 2й 2 /' за О<р<-, „ЗЗЗ=.ЗЗЦУ.ЗЗ) ЗЗЗ з З,;,Р зз Рз В ВЗЗЗ где у1 = агсф~ з/ —, взл — — агонии ~ —. )/2' Ч 2 б) Положим х = — з~, тогда з(х = — 21 Й, ( + 2)( + 3) = -Р'(2 — Р)(3 — Р) = Р(Р— 2)(3- Р) и Положим теперь взп зр = ~/3 — зв, О < ьз < —, 2' тогда ь / з'Р з зз з*.з зь — 1й сов~оз6р =— =,3-Р чз — з= з, з=ЗЗ вЂ” ~ з 342 !'лево Ш.
Снепио южные функции — 2М /' 2гоь уды ,ле — 2)(3 Р) ! ...,Я:./Р-, 2 И1е зф-т г где О ( ~р ( —, ~р~ — — агссйп ч/3+ а, рэ = агсяп ~/3+ 6. 2' Пример 3. Свести к эллиптическому интегралу интеграл ~(х (хл + х)(хл — х+ 1) Решение. Сделаем дробно-линейную подстановку ,п1 + и 1+1 ' тогда (п1+ и) + (д1+ и)(1 + 1) х +х— (1+ 1) (дл 4- р)1л 4- (2ди 4- и 4- д)1 4- ил 4- и (1 + 1)л (ф + и)э — (д1 + и)(1 + 1) + (М + 1)э х + 1— (1 + 1)2 (дэ — д + 1)1л + (2ди — д — и 4- 2)Х 4- (иэ — и 4- 1) (1 + 1)г Иэ условия 2ии+и+д =О, 2ри — д — и+2 = О находим 1 — ~/3 1+,/3 и= 2 ' 2 д= Тогда подстановка (1 + /З)1 + (1 — /3) 2(1+ 1) г 4. Эллиптические иитеералы 343 дает зЫ~~зз1г+ з-гз з ар+За)1г+ (3 2д) 2(1 + 1)г х — х+ г Нх— 2(1 2(1+ 1)г (1+ 1)г Поэтому + ~ГЗ)1+ ~/З Л'+ 1.
1 /' (1+г/3)1+~/3 ~/3+ 2г/З э' вычисляется с помощью подстановки г~ = з в элементарных функциях. Интеграл а1 ~аззтгз: —.е где 2 г/3 — 3 3+ 2гГЗ сводится к эллиптическому интегралу с помощью замены 1 = = —, р Е (О, -) (у Е ( —, х~). 1 — а =а131г (й+ 1)г з1г+ з г г (1+ 1)г + г/3)1 + 2и'3 Интеграл /' (1+ гГЗ)й В самом деле, ар созг 1е 3 1г+ 1 2 (1+1)г' (1 + ~ГЗ)1 + ~/З !'лава !И. Г.'пецип <ьпмг я)упкцип ое О" + <'оя )<) О + 1 — а(п (<) Гг 1 +1 <оаэ р сочв (и сояэ е< <Г! а а)п у<Ге!соя)«соя х Л" .«)(е — ") ! ' «<«' » < — <» < 1 /' <Г(() Пример 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
