И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ряды Фурье. Преобразования Фурье 312 151) —. /8 аЛ (Лг +,„г)г ' 1 1 ((Л вЂ” ьг)г+ 1 (Л+ьг)г + 1 1 1 153) — гл/2л лг гЛ ,е 154) — Яе И. 155) — — е Л 4л/2гге 2Ял(Лг 4Л + Лг+ 4 (Лг+ 1)г 158) — Ле л 159) е + сЬаЛ. 4 160) -- — е оа еое ь4п + — — е о» вгп — +— гГл Г2 /1 4 вгп л 1 161) — ~( — е «(ЛсЬ1 — вЬ1). 162) ~/— Л у' 2 Ч )Л Л 163) Г2 1 — сов а 164) 2 в)п ггЛ Цн Ч 1 — Л ,„л-1 гг (1п'5-1- Лг) ' )г' 2 Г(Л)в1п гл 167) — !п(1 + Лг).
168) е г, 1'1 1)в2а 169) — — — — . Указание. — = — + г Яу Л 2вЬЬ вЬа а, аз+кгпв 170) — . 171) — СЬ Л. 1 1 1 е'гавел — 1 л/2иЛ л/2в 172) 1.Ь Л вЂ” — 1 "10предевение и основные свойства функции Г(в) см. гл. П1 1 в. Опгвеплм к главе Н 313 173) 2" вГ и — — Л' ",У„(Л)'1, 1Ъ ,7„— функция Бесселя (см. гл. 111 1 6). 174) 2" "Г р+-) Л ~Н„(Л), 1Л „(,) С- (-1)" И)"""" .) ( ) ~ гГ( +в)Г( + +в) 175) —. — Ле л.
176) — е 27'2 2 178) — (2 — (2+ )ЬЛ))е ~~~)) в48п Л. 179) —, 0<Л<1; — —, Л=1; О, Л>1. 180) (1-Л')'7', О <Л<1; О, Л>1. г ' 182) 1/ у ' 22(сов г — 1) Г2 Лв)пз'Л л-л 186) )/ —,„*1. 186) ~/ — !п " 2 Г(Л) сов ф 1 187) — е л/2 188) е а, / Л ггЛ ~/2~г 189) )/ — е 77 в)п ~ — + -) . 190) — е '". )/2 ~Я 4) ' 2а 191). —, 0<Л<1; -~ —, Л=1; О, Л>1. 192) — сов Л, 0 < Л < и; О, Л > к. 193) 1, 0<Л<1; О, Л>1.
194) (1 — Л~)'г~, 0<Л<1; О, Л>1. гя1 -л 177) ~( 2 Ьг "1Онределенне н основные саойогвафункпнн Г(к) см. гл. П1 1 в. 314 Глава П. Ряды Фурье. 11реобраэаванил Фурье егьа с-Сао 209) в) Указание. Заменить ып оа равенством 21' Дифференцируя по х и используя формулу обращения преобразования Фурье, получить равенство +СО ср (х) = его~с'(о) до = ((х), где 2(2и д +ОС О 1 ( г Р(о) ср(х) = ~ ег —, Но, откуда ср(х) =~~(() щ — 10(А). 1/2~г „г го — С:О л б) Указание.
Формула 6) получается нз формулы а) дифференцированием по параметру. +00 2 215) а) Указание. В интеграле ~ сов — (во+ хв) дг сделать за- 2 о мену 2 = х + и; использовать значения интегралов Френеля. в) Указание. Использовать значение интеграла +оа +СО Г2 ( сов1 Рс(х) — ))г / сов хи ыи / Й ~я о а (см, задачу 74 гл. 111 1 12); показать, что +00 2 — / Рс(е) сов хвдв = сгх. о г) Указание. Использовать значение интеграла +Оа +СО ( ьбп1 вгп ув: дх ! — 011 (см. задачу 75 гл. И1 1 12).
о а д) Указание. Использовать значение интеграла +00 2 Г совгх (в х' дв = )г —, (см. задачу 222 гл. 111 гг 2' )) 2 Г(в) сов — "' а 1 12) и формулу приведения для функции Г(х). е) Указание. См. пункт д) настоящей задачи. 216) Указание. Вычислить косинус-преобразование Фурье функции, укаэанной справа в доказываемом равенстве. 315 Огаеепгм к главе П 220) Указание.
Вычислить синус-преобразование Фурье 1 функции и использовать значение интеграла ез« + 1 Дирикле. 221) Указание. Вычислить косинус-преобразование Фурье ((! — х')"-'!з, ° б [О; 1), функции 1(х) = с' ' Разложить О, х > 1. функцию сов гх в степенной ряд и использовать значе- 1 ние ~г~ (1 — с~)" !гааз= — Г~ и+ -) Г1п+ — ).*! 2 (~ 2) ~, 2) о Г21, Л! 222) ~/ — — в(п -~.
Ъ х!Л! 2~' 1 229) а) — (е '!с '! — е «!«+«!) для х > а; а~гс2х 1 — (1 — е '! +'!) для )х) < а; 0 для х < — а. а~/2х б) О для ф>2а; для ф<2а. 2а — )х) ~/2х а+Ь+Ь вЂ” х в) Если 0 < Ь < Л, то 0 для х > а+ Ь+ Ь, ~/2яяЬ Ь для а+ Ь < х ( а+Ь+ Ь, для а+ 6 < х < а+Ь, ~/2хЬ х — а для а ( х ( а+ Ь, 0 для х ( а. Если 0 < Ь < Ь, то 0 ~/2яиЬ а+Ь+Л вЂ” х для х > а+Ь+Ь, для а+Ь < х(а+Ь+Ь, ЛпяЛ 1 х — а — для а+Ь < х < а+Ь, для а ( х < а+Ь, 0 для ~/2к /2Ы х ( а. 3) )""' )х"п' ) — ' О 1 — хз ! — хз х 1+ха 232) е , х > а.
'!Определенно н основные свойства функпнн Г(с) см. гл. П! Ь 5. 316 Глава П. Глды Фурье. Преобразование Фурье ~5. Теоретические задачи из 1. Занумеруем множество чисел —, 1 < вз < 2е — 1, 2е' озн д Е И, и обозначим через — элемент этого множества с 2е у вз» х нз„ номером н.
Пусть ~„~ —,~ = 1 в точке —, з'„(х) = О ~2е 1 2ч" ' '2»" 2е" '~ [2е" 2е" [тн 1 тн1 [изн та 1 на на отрезках ~ — — —; — !!, ~ —,— + — (см. [2е" 2е"-''2е"!' [2е" '2е" 2е рис. 1!). Рне. М Показать, что последовательность (Да(х)) расходится в каждой точке отрезка [О; 1], но Ез(х) Нх -+ О, в -+ +со. а 2. Пусть (ф„) — - ортонормированиая система на [а;6]; З' Е Аз(о, 6) и ян(х) — частичная сумма порядка в ряда Фурье 3 5.
Теоретические задачи 317 функции у по системе (ф„). Функция к„(1, к) =~ 1р1(()ф;(к) называется ядром порядка н системы (ф„). Показать, что со(к) = Х(()Кп(1 к) д(. 3. Система Хаара состоит из следующих функций: Хе( = 1; 1, *Е О;— 1 О, 2' х(1)— Хо — 1, яб —;1 для АХЕИ и 1 < д(2 2*, Хт (я) О, Х('1)(О) = Х(е) ~ — ), Х(е)(1) = Х(е) 1 — —, в тех точ- ках интервала (О; 1), где значение Х(ое) не определено предыдущими условиями, это значение равно полусумме значений Х(е) на прилегающих интервалах. Проверить, что система Хаара ортонормирована на (О; 1).
4. Пусть К( )(1, ) = Х(')(1)Х(')(.)+ Х(')()Х("(.) + + Х1 '(1)Х1 '(к) + "-+ Х(е)(()Х(~)(к), где Х1 (*) — функции Хаара, определенные в задаче 3, т. е. (з) ядро системы Хаара соответствующего порядка. Обозначим Глава П. Рле)ы Фурье. Преобразование Фурье. 318 через („) квадрат (О; 1) х [О; 1]. Разделим его горизонтальными и вертикальными прямыми на 22" равных квадратов Я;"~, ОУ 1 1 < 1 ( 2, 1 ( у ( 2, занумерованных первым индексом слева направо и вторым — снизу вверх.
При этом считаем, что квадраты, не прилегающие к границе Я, открытые, а прилежащие к границе Я включают соответствующий интервал этой границы (например, квадрат Яа з включает интервал (2) 1 3 — <1< —, в=О ). Таким образолц при любом фиксиро- 2 4' ванном н каждая точка Я либо принадлежит одному из Я2 (и) 1 ( 1 ( 2", 1 ( 2 ( 2", либо лежит на общей границе двух или четырех этих квадратов.
Показать, что а) Ко" (1 .) = 1, (1, х) Е () б) К„2 ((,х) = 2" 2", ((,х)бЦ4"„), (=1 О, ((,х)ЕЯ~"), 1(г~2и, 1(у(2", гну, г" ' а значение К„, в точках общей границы двух или четырех квадратов Я; равно среднему арифметическому ее значе(и) ний на этих квадратах; в) функция К„в, 1 < д < 2", совпадает с функцией К„, (2) и (2" ') во всех точках Я, не принадлежащих замыканию квадратов Я.2 . 1 ( 2 ( а, лежащих на главной диагонали ф если ( ) 1(,х) Е ф;, 1(1(д,то К(и)1(, х) = 2" Ка 1 — — .2"; х — — 2" в тех точках, лежащих на границах квадратов Я2 , где (и+1) значение К(в) не определено предыдущими условиями, это значение равно среднему арифметическому значений К(в) в прилегающих квадратах.
319 1 5. Теоретические эидичи 5. Пусть | Е Рс~(0, 1). Пользуясь результатами задач 2 н 4, доказать, что в любой точке яе непрерывности функции у ее ряд Фурье по системе Хаара сходится к )'(ее). ( — 1)" /Б'+ 1 с("(1 — хд)" Многочлен Р„(я) —, называется и!2" +'lд Ых" нормированным многочленом Лежандра порядка и. б. Показать, что нормированные многочлены Лежандра Р„(я) образуют ортонормальную систему на [ — 1; Ц. 7. Доказать, что система нормированных многочленов Лежандра полна на [ — 1; Ц.
8. Обозначим через А„множество всех многочленов П„(е) степени и со старшим коэффициентом 1. Доказать, что 2дч+д(и()д --1"'-(.)'ее(.) '. )И" ". 9. Обозначим через В„множество всех многочленов П„(х) 1 степени не выше и, удовлетворяющих условию ~ Пд (я) Ыя (1. и Доказать, что шахП~(0) = ~~д Ре(0). в. 10. Пусть 21-периодическая функция 1 Е Й~( — 1,1). Для 4 Е И обозначим чеРез а„ы Ьед коэффициенты ФУРье фУнкции ~ по системе (у; ) и через атл, 6т д — по системе (дде ). (О [дб ДОКаэать, ЧтО ЕСЛИ ди = Вд, тО ити — — ил, Ьтн — — Ь„М а ЕСЛИ т не кратно о, то атл — — О, 6„, д —— 0; т. е. ряд ид(у) совпадае г с рядом одд(1').
11, Пусть функция д', определенная на й, удовлетворяет условиям: 1 Е В~[ — л,л); 1(я+ л) = — у(я). Показагь, что ,д' является 2л-периодической, и найти, какой особенностью обладают ее коэффициенты Фурье а„, 6„по системе ( р;). 12. Пусть у — периодическая функция 7 Е гсз[ — л, л] и а„, 6„— ее коэффициенты Фурье по системе (ддд). Какими особенностями обладают последовательности (а„) и (6„), если график 7 симметричен а) относительно оси ОУ и точки ( —; О); 320 1'лала П. Рлдн Фурьгь 11реобразоеааие Фурье б) относительно оси О'г' н прямой х = — — ? 2 13.
Показать, что системы (сое2их) н (ейп(2и — 1)х), п Е И, являются полными ортогональными снстемамн соот- ветственно на [О;я] и [О,я/2]. 14. Пусть 1 — 2я-периодическая функция,Г" Е А~[ †,я]. Функция бог(Ь, 1') = епр б Щх+Ь) — 7(х)] г?х называется О<]Ь)<б-е à — е интегральным модулем непрерывности 1. Доказать, что ]а„] < — юг (-,~), ]Ь„] < — гог ( —,~), и Е И, где а„, ܄— коэффициенты Фурье 1 по системе (гоб), 15.
Пусть 1 — 2х-периодическая функция с ограниченным изменением на [ — я; л] и Ьг -- ее полная вариация на [ — я; х]. Доказать, что ]а„] < —, ]Ь„] < —, И 2и' " 2п' где а„, ܄— коэффициенты Фурье 1' по системе (грг). е1п 1гх 16. Доказать, что семейство функций Ф„(х) = ограничено в совокупности на [-х;х]. 17. Пусть соя их сое(п+ 1)х сое(2и — 1)х Я(х, п) — + + + п и — 1 сое(2п+ 1)х сое(2п+2)х сое3их + + + Используя результат задачи 16, доказать, что существует такая постоянная С, что ф(х, и)] < С для всех х е [ — х; я] и всех и б И. 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
