И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть 1(х) Е В" ( — оо.+со), В'1'(х) Е В'( — оо,+со), 1 <1<1, х Е И, тогда В[у01] — (1Л)'к[д 1 <1< й 6. Пусть 1'(х) Е В" ( — со,+оо) и В'1'(х) Е В'( — сю,+со) для всех 1 < 1 < й; тогда при ~Л] -ь оо 1р(ли = 7. Если у(х), 1'(х) и 1а(х) абсолютно интегрируемы на (- ю: гоо), то В[1] абсолютно интегрируема на ( — сю;+оо). 8 Если 1(х) Е С (--сю, +со) и В'Дх) Е В ( — оо, +со) при любом 1, то Р'[у('1] Е В'( — оо, +ос) при любом 1, причем [В[110]) убывает при [Л) -+ +со быстрее 1 любой степени —, х Е И.
[Л]" ' 9. Пусть 1'(х) и ху" (х) абсолютно интегрируемы на (-оо;+со). Тогда Щ] Е С'( — со, +со), !пп [(г"[1'])'] = О, 'ЬЛ(-ьоо причем (Р[Л)л = Р[-зхлх)]. 10. Пусть хс у (х) Е В~ ( — сю, +ос) при 1 = О, 1, 2,..., а. Тогда В[Я Е С ( — оо,+со), 1пп [В'Р[Д] = О, 1= 0,1,2,...,х, Я-о во причем (Р[Я)01= Г[( — 1х)'1(х)], 1 = 0,1,2,...,Й. Определение.
Пусть Л(х) Е В ( — оо,+ос)1 Уа(х) Е В ( — оо,+оо), 1 3, Иивьеграл Фурье и преобразование Фурье 275 Функция у(х) = 1 Л($)уз(х — 1) б1 1 /2к н./ (20) называется сверткой функций 71(х) и Ях), если этот интеграл существует. Свертка функций 11(х) и уз(х) обозначается 71 «уз, т. е.
Теорема (достаточное условие существования свертки функций). Пусть 71(х), уз(х) Е Л~( — оо,+оо) н функции 11(х) и,5з(х) ограничены на всей прямой; тогда существует свертка функций 1"1 (х) и Ях) и несобственный интеграл (20) сходится равномерно на ( — со;+ос). Пример 7.
Найти свертку функций ~д(х) = е «~, а > О, 1з(х)=е ь*, Ь>0. Решение. +а« + «« +«« ь« м сь«ь««« е-ь«- — „" -ь«- ~ Теорема. Пусть )1(х), Л(х) Е В~( — оо, +со), Л(х), уз(х) Е С( — оо, +со), "ФУнкции /1(х), ~з(х) ограничены на всей прямой. Тогда; 1) Л ь уз Е С( — оо, +оо); 2) существует М > О, такое, что ((1 «Я ( М; 3) ~1 «,6 Е В'( — оо, +со).
Итак, теорема утверждает, что свертка двух функций )1 (х) 276 !"лава В. Ряды Фурье. Преобразование Фурье н Хг(х), ограниченных, непрерывных и абсолютно интегрнрусьиых на ( — оо;+ос), является функцией, обладающей теми же свойствами. Рассматривая операцию свертки на классе абсолютно интегрируемых непрерывных и ограниченных функций на ( — оо:+со), можно показать, что 1) Л *Ь =Уг*Хг; 2) (Л ь Хг) ь Уз = Л ь (Ь ь Хз). Так как для таких функций свертка абсолютно интегрируема на ( — оо;+со), то существует преобразование Фурье свертки.
Теорема о преобразовании Фурье свертки. Пусть Л(х),Ь(х) е В'( — оо,+ос), Л(х) Ь(х) еС( — сю, +оо), и функции У1 (х), Уг(х) ограничены на ( — оо, +со). Тогда существует преобразование Фурье свертки и Р(Л * Уг) = Р[Л)'Р(Уг). Из свойств преобразования Фурье (п. 6) следует, что при переходе от функции У(х) к ее преобразованию Фурье степень гладкости функции и скорость ее убывания на бесконечности меняются ролями. Естественно найти такие классы функций из В~( — оо, +ос), которые переводятся преобразованием Фурье сами в себя. Определение.
Скажем, что функция У(х) принадлежит классу Я, если У(х) = и(х) + га(х) б С ( — сю, +сю) ) и для любых й и 1, й = О, 1,2,..., ! = О, 1,2,.. о существует постоянная Сьу (зависящая как от функции У(х), так и от чисел /с н!), такая, что (1+ )х()ьфО(х)( < Сь ь х е ( — со',+со). Для любой функции У(х) б Я имеем при й > 2 (У (х)(' « ', 1=0,1,..., откуда следует, что У!1(х) б Я ( — со, +со) н, в частности, Х(х) б В'( — со, +ос). Это означает, что 5 С В~ ( — оо, +оо). 1 3, Интеграл Фурье и преобразование Фурье 277 Теорема. Рассмотрим пространство функций Я и пусть Р[У] = У преобразование Фурье функции У(к) Е 5, Тогда отображение Р; У -+ У определено на 5, причем Р(Я) = Я и отображение Р: 5 -+ Я биективно, Заметим, что если У(я) Е Я,то в силу своиств преобразования Фурье имеем; [УР)(.)] = ( )'Р[У], 2.
Р[я!У(к)] = ~'(Р[У])У1 3. Существует обратное преобразование Фурье Р ~[У] = — / У(Л)еы ИЛ, ]к] < оо, 1 ~/2я ./ где несобственный интеграл сходится абсолютно. Теорема (формула обращения). Если У(л) Е 5, то имеет место формула обращения преобразования Фурье: У(л) = — / Р[У]вы~ аЛ, [я] < оо, 1 ~У2я к./ причем, поскольку У(л)11 Е В~( — оо,+со) для любого 1 > О, то несобственный интеграл понимается в обычном смысле и сходится абсолютно и равномерно по л на ( — оо;+со). Для функций из класса Я справедлива и следующая теорема о свертке функций. Теорема (о свойствах свертки в Я). Пусть Л (я) Е Я, Л(к) Е 5. Тогда существует свертка Л ь Уз, причем 1) Л "Уг Ео'' 2) Р[У1 $ Уз] = Р[У1]'Р[Уз]~ 3) Р[У, Уз] = Р[У,] * Р[Уз].
Теорема (равенство Парсеваля в Я). Пусть У1(е) Е Я, Уз(л) Е о'. Тогда справедливы следующие утверждения; +оа ч-ао 1) / Р[У1]'Уз(я) «л — з~ Л(у)Р[У2] иу 279 1 4. Упрахсяения ~4. 'Упражнения Разложить функцию Г(х) я тригонометрический ряд Фу- рье на заданном отрезке. В примерах 3, 8, 9, 10, 11, 28, 29, 32, 34 указать функцию 9(х), к которой сходится полученный ряд. 1) Г(х) = хвгпх на [ — гг;гг]. 2) у(х) = хсовх на [ — л;л]. х, 0<х< —, 4) Г(х) = я. 2 на [О;гг]. л — х, — <х<л, 2 7) Г(х) = хз на [-л; гг].
8) /(х) = х~ на [О;2в]. 9) Г(х) = х~ на [О; л]. Г х~, 0<я<я, 10) Г(х) = ~ на [ — л; гг]. (-х, — гг<х<0, ГО, -гг<х<0, 11) Г(х) = ~ ' ' на [ — л;гг]. )хз, 0<х<гг, 12) Г(х) = ~ ' ' на [ — л;гг]. Га, ]х]<Л, Га, 0<х<Л, и) У(х) = ~О Л ° [О;2л]. '10, Ь<х<2л, (сов —, [х[ < Л, Я' 14) Г(х)= 2Ь Ьф —, пЕИ, на[ — л;л]. О, Ь<]х]<1г, )в1п —, 0<х<Ь, л 15),Г(х) = Ь ' Ь ф —, и ЕИ, на [О;2л]. О, Ь<х<2л, 16) Г(х) = в18п(в1п х) на [ — л; я]. 280 Глава !1. Ряды г7'урве. Иреобразоваггил Фурье 17) г'(х) = 18) Дх) = 19) Цх) = 20) г'(х) = 21) 7(х) = 22) 7"(х) = 23) Дх) = 24) У(х) = 25) У(х) = 26) Цх) = 27) Дх) = 28) Дх) = 29) У(х) = 30) У(х) = 31) Цх) = 32) У(х) = 33) Х(х) = 34) Цх) = 35) Цх) = ( О, -л<х<0, япх, 0<х(з', < 1 яп-х, 0<в<а, пв [О;2л].
1+сов-х, л(х<2л, 2 < О, — < [х] < л, 2 на [ — л; гг]. созх, ]х] < —, < — з)п х — л < .в < 0 нв [ — гг; л]. х, 0(х<л, -х, -л<х<0, г нв [ — л;л]. — 0<х<л, зш хна[ — л;л]. сов х на [-л;л]. агсзш(сова) на [ — 10в",10л].
агсвгп(яп х) на [бл; 20л]. сЬх на [ — л; л]. в1вх на [ — л;л]. вшх на 2 23 л л1 сов х на ~ — —; — ] . 2' 2] созх нв [О; гг]. < — 1, — с<х<0, 1, 0<х<с, < О, — с<х<0, 1, 0<х<с, х на[ — с;с]. < О, — с<х<0, ]х[ нв [ — с;с]. в 4, Упрахснеиия 281 36) Дх) = х — [х] на [О;3]. 37),г(х) = хз на [ — 1;1].
38) ~(х) = хз на [О;2]. 39) г'(х) = с — х на [ — с;с]. 40) 7(х) =х(сз — хз) на [ — с;с]. 41) 7(х) = (сз — хз)з на [ — с;с]. сов х, х Е '[О;— 42) У(х) = — сове х Š—.и ~2' на [О; л]. 43) г (х) = е~*, а ф О, па [ — гг; гг]. 44) Дх) = совах, а — не целое, на [ — гг;гг]. 45) Дх) = х~сов х на [О; — ~ . '2 Разложить функцию Дх) в рвд Фурье на заданном отрезке по косинусам кратных дуг.
46) 7'(х) = е4пх на [О; гг]. 47) Дх) = х совх на [О; гг]. 48) Дх) = 1 О, 0<в<-, на [О;1]. 2х — 1, — <х<1, ~1 — —, 0 < в <2Ь, 49) 1'(х) = 2Ь' ' на [О;гг]. О, 2Ь<в<к, 50) Дх) = е * на [О;гг]. 51) У(х) = венах на [О;гг]. 52) Дх) = сЬ ах на [О; л]. 53) Дх) = сов х на [О; гг]. 54) 7" (х) = х е4п х на [О; гг]. Ьх 0<в<с, Ь с О<с<1, — (1 — х), с<в<1, 55) У(х) = на [О;Х].
56) г(х) =с~ на [О;гг]. 57) Х(х) = вшах, а — пе целое, пв [О; л]. 58) У(х) = вЬ ах на [О; к]. Разложить функцию Цх) и ряд Фурье на заданном отрезке по синусам кратных дуг. Глава П. Ряды Фурье. Преобразования Фурье 282 Пользуясь формулами совх = — (ег*+е ге), ьйпх = —.(ег — е ' ), 2 2г разложить в трнгопометрический ряд Фурье следующую функцию 59) у = сова'" х, т ~ И. 6О) у=,'""*,, ~у~<1. 1 — 2д сов х + оз ' 2 61) у=, И~<1.
1 — 24совх+ дз' 62) у= "',, )Ч(<1. 1 — 2дсовх+ уз' Разложить в тригонометрический ряд Фурье следующую неограниченную периодическую функцию 63) у =!и )сов — !. 64) у = 1и ~ с$8 —, ! . 65) у= 1п ' С8 — д1, о — гг ( х ( гг. 66) Как следует продолжить заданную в интервале (О; — 1 не- '2/ прерывпую функцию Дх) в интервал ( — гг; гг), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид 7'(х) = ~~г а„сов(2п — 1)х, — я < х < л. о во 67) Как следует продолжить заданную в интервале (О; — ) непрерывную функцию Дх) в интервал ( — гг; к), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид Дх) = ~~г Ь„в)п(2п — 1)х, — и < х < гг.
о=1 68) Пользуясь разложением функции у = вг8п х, — гг < х ( я, в тригонометрический ряд Фурье, найти сулгму ряда 1 284 Глава 1й Ряды Фурьг. Преобразования Фурье и результатов, изложенных в примере 11, почленным инте- грированием получить разложение в грвсонометрический ряд Фурье на интервале ( — «г; «г) функции а) хг+2х; 6) хз 1 хг. в) х4. 74) Доказать справедливость равенства сов(2Й вЂ” 1) х 1 4 — — л(л — 2х)(л +2лх — 2х ), х б (О; л). Ьп! 75) Использун разложение функций у = х и у = хг в ряд Фурье по косинусам кратных дуг, получить формулу Зхг — 6лх + 2«гг ч соз пх 12 2 „г п=1 л — х ьйп пх 76) Исходя из разложения — = У~, 0 < х < 2«г, 2 и п=1 получить формулу для — оо < х < +со х — Е(х), х — нецелое, 1 и 1 х — целое 1 1 2 «г п=1 где Е(х) — целая часть числа х.
77) Исходи из разложения функции у = совах в ряд Фурье (см. задачу 44), получить формулу 1 1 л-и ал ( — 1)п а), = — +2~ ...,, а нецелое; ьйпа«г а«г 2 с (ал)г — (лп)г' п=! в=1 1 1 1 в) с182 = — + ~ ~ +, 2 ф лх, х Е К. 12 — «гп 2+ лп« п=1 78) Исходя из разложений функций у = с)«ах и у = в)«ах в ряд Фурье (см. задачи 26 и 27), получить формулу 1 1 а) — = — + ~ (-1)п 22 + л2п2 ' п=1 ! 4. Упралсмения 287 0 < х < гг. 100) ~~ гг=! 101) Е в=! ( — 1)'*в!пол 1 (лвЬах х1 — гг < х < гг. п(аз+аз) аз ~,2вЬла 2/ ' ( — 1)" сових 1 ~ л сов(х!/2) в. сЬ(х!/2)1 п~ — 4 8 ~ !/2 вгп(л~/2) ь/2 вЬ(лЯ) ~ — гг < х < !г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
