И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 25
Текст из файла (страница 25)
2х > 44 вгп — сов — > вш следовательно, !и . л >1п 2 > — 1п4, 1 1 — 2д сов х + де 2вш 2 43!п2 и л откуда получаем неравенство О < гр(х,4) = !и 1 — 24совх+42 2 1 2 <1и . +!в 4 4 2вгп й < 3 2г 4 — < [4[< 1, О < [х[ < 2агссов — ) . 3) 1 Так как функция !п~ . + !и 4 интегрируема на [О;я) 2 вши ии в смысле несобственного интеграла, то отсюда следует, ччо дяя любого числа е > О найдется такое 3, О < 6 < и, для которого неравенство / ег(х,д)г!х < — верно при юобом д, о 3 3 — < 4 < 1. Зафиксируем такое Ю, найдем такое уе > —, что е гР(х, 4) ях < —, 4 б (4а, 1).
б Окончательно, для д б (де,1) в силу четности функций у 1. Ряды Фурье сходится к 1(х) в среднем на [ — гг; я), а ряд яв — + у ~ — сов ох — — вгпих и уже равномерно на [-гг; гг) сходится к Р(х). Таким образом, получаем, что ряд Фурье по системе (грг(х)) независимо от того, сходится он равномерно на [ — гг; гг) или иет, допускает почленное интегрирование. Обратно, если 2в-периодическвя функция Р(х) является обобщенной первообразной функции 1(х) Е Л [ — н,я), то ряд Фурье о(1) являетсл почленно продифференцированным рядом Фурье «г(Р). Так как коэффициенты Фурье функции у образуют бесконечно малую последовательность, то в этом случае коэффициенты Фурье функ- /1~ ции Р имеют порядок о д, п -+ со.
Продолжая это рассуждение по индукции, получаем утверждение: Если функция Р Е Сг [ — гг; х), пг Е Я, Р1 1 6 В [ — гг, гг] и РОО( — я) = РВ1(в), О < у < ш — 1, то коэффициенты ряда /11 Фурье гг(Р) имеют порядок о ~ — ), и -+ со. пег Аналогичное утверждение имеет место и для любой системы (1в(1(х)). Пример 11. Напишем тригонометрический ряд Фурье фУнкции 1(х) = а на отрезке [ — гг, в). В силу нечетности данной функции получаем, что и„= О, и = О, 1, 2,..., и 2 Г б„= — ~ хв1ппхдх= в г 2( 1)в+1 — -х сов их ~ + / сов пх дх яп ~ в .г и о Так как для любого х Е ( — л;гг) условие признака Дини вы- полнено, то равенство ( цп+1 я=2~) вшах и «=1 Глава П. Ряды Фурье.
Преобразование Фурье 248 верно для любого х Е ( †!г;и). Непосредственно видно, что ( ц«+1 в точках х,„= (2гп+ Цн, гп Е л., ряд 2 $ в!пах в 1(х — 0) +1(-и+ 0) сходится к 2 = О. .2 Функция Р(х) = — является первообрвзной для Г(х) = 2 2 на [ — и; в]. Следовательно, как разобрано выше, ряд Ав ( — Ц« — + 2 ~ сов пх 2 вз «=1 является рядом гг(Р), равномерно сходящимся к 2юпернодической функции Р', совпадающей на [ — !г; х] с Р. Значение коэффициента Аз находится по общей формуле 2 газ !гз Ае = — / — дх = —. гг/ 2 3 в Итак, для всех х Е [ — !г; !г] имеем равенство 2 2 '»» ( ц» — = — +27 сових.
,-6 Е„, «=1 х2 1г2 Очевидно, функция «р(х) = — — удовлетворяет условию 2 6 у»(х) «(х = О и одной из ее первгюбразных является нечетная .В, 2 ( — ц«, функция Ф(а) = . Следовательно, ряд 2~ в!и пх 6 пз «=1 является рядом а(Ф) (Аа — — О в силу нечетности Ф). Так как 2 ««( Ц«+1 ряд — 2 вш нх есть ряд в (у), где у = —, то ряд 3 ~"' н 6 ««1 " ( — ц« ~ взп'1 — ~2 — — ~ в!иве есть ряд а(С), где С(х) = —.
ив ~ 3 6 «=! Функция Ф ЕС [ — гг; х] и удовлетворяет условиям Ф( — в) = = Ф(гг), Ф'( — к) = Ф»(г'); согласно вышеприведенному утверж- $1. Рлдм Фурье 249 /1'1 девию, ее коэффициевты Фурье имеют порядок о ~ — ~, и -+ оа и Котя функция С также бесконечно диффереицируема ва [ — гг; гг), во ва концах этого отрезка привимает различные значения. Этим обстоятельством и объясвяется, почему коэф/й фициевты Фурье функции С имеют порядок о [ — (, и -+ со, 1 и а ве о —, п -+ оо. Непосредственно проверяется, что каждая из систем: огг(х) = сов(г — 1)а, грг(х) = вш гх, г Е 1Ч, ортоговальва ва [О;гг). Если функция у Е В~[О,я], то для функции у, совпадающей с у ва (О; гг] в являющейся четным продолжением у с (О; и] ва [ — гг; 0), трвтовометрический ряд ао Фурье имеет вид — + ~ а„сових.
2 в=1 Из сходвмости в среднем этого ряда па [ — гг; я] к у следует, что ва [О; гг) этот ряд сходится в среднем к ~, т. е. в ь 3 ~( ао [ у(х) — — — ~~г а„сов пх Их -+ О, й — ~ оо, о в=1 что показывает полноту системы уг(х) = сов(г — 1)х, г Е М, в У[0, я]. Точно так же, только используя вечетвое продолжение функции с (О; х] ва [ — я; 0), показывается полнота системы грг(х) = вш ох, г Е Я, на Йз[0, и].
Одвовремевво видно, что для рядов Фурье по каждой из этих систем сохраняет силу условие Дини поточечвой сходимости. Коротко задачу разложения функции в ряд Фурье по этим системам, а также и полученных из вих линейным переносом ва отрезок [О;1], формулируют так: найти разложевие фувкции ,г' Е В~[0,1] в ряд Фурье по косинусам (сивусам) кратных углов. При этом кгоффициевты искомого ряда находятся по формулам (4) или (5) соответствевво, а четное или нечеткое продолжение подразумевается. Глава П. Ряды Фурье. Преобразование Фурье 250 Пример 12.
Найти разложение функции у = 2х — хз по косинусам кратных углов на отрезке [О; 2), По общему правилу получаем, что 3 з 3 3' о а» = / ~(х) сов — дх = 2 о з ггпх ) япх хвгп — — 2 / (1 — х) в1п — дх о 2 о з 8. япх г хпх — (1 — х)сов — + ~ сов — дх о 4 — и = 2й, взйз' О, п=2в — 1. В силу условия Дини равенство 2 4 ч сов2впх 2х — х (2п) верно для всех х Е (О; 2).
Из вышесказанного вытекает, что сумма равномерно сходящегося на всей числовой прямой ря- 2 1 сов 2япх да — — — ~ равна функции у*(х), полученной из 3 ггз по »=г функции Дх) = 2х — хз сначала четным продолжением на [ — 2,"0), а затем периодическим с периодом 4 продолжением на всю числовую прямую (рис. 9). Пример 13. Найти разложение функции у = сов х по синусам кратных углов на отрезке [О; гг).
По общему правилу получаем, что для и ф 1 2 г 6„= — ( сова в(ппхдх = о $1, Ряды Фурье 251 Рис. 9 л 1 У = — / (ош(и + 1)а + огп(и — 1)я] Ыя = о 1 ~сов(и+ 1)л соо(и — 1)я1 ~' + гг ~ и+1 и — 1 О, и=2й — 1, 2 1 1 1 4и + —, и=2й, л и+ 1 и — 1/ л(из — 1) 2 1 ог — — — ~ сов я 91пх г1я = О.
о 8 ив1п2ия В силу условия Дини равенство сов л = — ~ вер- .2- йи «=1 но для всех я 6 (О; л); если а = лй, й Е К, то непосредственно видно, что сумма полученного ряда равна соо(0+ 0) + сов(л — 0) 2 В заключение скажем о некоторых вопросах, выходящих за рамки курса математического анализа. Мы рассматривали представление интегрируемой с квадратом функции,1 Рядом Фурье по системе, состоящей из тригонометрических функций. Справедливо утверждение, если тригонометриче- 252 Глава йй Ряды Фурье. Лреобразоаание Фурье ае г яне . япех ский ряд — + ~ ~а«сое — + 6„еш — ) сходится к функции ~ б В [ — 1,1] для всех е б [ — 1;1] ~ М, где М вЂ” не более чем счетное множество, то этот ряд есть ряд Ш(~) функции 1.
Таким образом, на множестве кусочно гладких функ- 59 ций представление функции ее рядом Фурье по системе (р,. ) является единственно возможным представлением этой функцив тригонометрнческим рядом. В то же время сумма сходящегося всюду на [ — я; з] тригонометрического ряда ОО (о«соева+ 4, е1п пи) может быть функцией не интегри«=1 руемой с квадратом на [ — я; и] (и даже не входящей в класс ٠— я, и]; см. задачи 22 н 23 гл.
11 1 5), т. е. такой ряд не является рядом Фурье никакой функции 1 б й~[ — я, я]. Вопрос о характеристике класса функций, являющихся суммами всюду сходящихся тригонометрических рядов до сих пор не имеет полного решения. Как показывает результат задачи 19 гл. 11 з 5, даже для непрерывных функций у ряд о(1) может расходиться в некоторых точках.
Более того, известны примеры непрерывных функций у, для которых ряд е(1) расходится на множестве мощности континуума. В то же время известно, что для всех функций 1 б Я [ — з, я], в частности, для всех непрерывных на [ — и; и], ряд о (1) сходится к 1 для е б [ — и; и] ~ М, где М— множество меры нуль. Но известны также примеры тригонометрических рядов ~ (о«сое не + ф„в(п не), содержащих «=0 отличные от нуля коэффициенты и сходящихся к нулю всюду, кроме некоторого множества меры нуль. Таким образом, если требовать в задаче представления функции тригонометрическим рядом поточечную сходимость этого ряда к данной функции всюду или за исключением не более чем счетного множества, то задача не имеет решения даже для некоторых непрерывных функций.
Если же ограничитьсл требованием сходимосги всюду, кроме множества меры нуль, то задача решается неоднозначно. 1 х. Испольэовокиг Лпдккииб комплекского пергмгикого 253 ~2. Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексного переменного Пусть ряды 1 — де+ э д„,согтх, 2 ю=1 дп, э(п тх (6) п1=1 1 —,де +,)' Чп г п|=1 (7) На окружности Ц = 1, т. е. при г = е1*, этот ряд сходится, кроме, быть может, конечного множества точек.
Следовательно, ряд (7) сходится всюду при ~г) < 1 и его сумма 1 И'(г) = И'(1 Е**) = — де+ ~~' Чюг™ ел=1 при 0 < )г) = г < 1 есть аналитическая функция. Тогда по второй теореме Абеля, если ряд (7) сходится, то 7'(х) + 1д(х) = 1пп я(ге1 ) = И'(е1 ). (8) Найдя функцию И' в явном виде и вычислив ее значение И'(е1*), тем самым найдем и суммы рядов (6).
Пример 1. Найти сумму рядов я1п тх н Е т тл=1 ю=1 Решение. Первый ряд сходится для х ф 2пк, и Е,'Е, второй сходится для всех х Е Н. Оба ряда являются рядами Фурье для определяемых ими функций Дх) и д(х). сходятся на отрезке (О; 2к] соответственно к Дх) и д(х), кро- ме быть может конечного множества точек. Рассмотрим сте- пенной ряд с теми же коэффициентами, расположенный по степеням комплексной переменной г: Глава П. Ряды Фурье. Преобразование Фурье 254 пв Рассмотрим ряд "! —. Его сумма го(е) равна — 1и(1 — в), гп ы«! 1 т.
е. равна 1и —, Ц < 1. Следовательно, 1 †» 1 у(х) + гд(х) =!и г, х б (О;2гг). Поскольку 1 — сов х + ! в1и х 1 — сова — !вйих (1 — сове)з+в!и х в!их 1, соек +! + !' з 2(1 — сов х) 2 2 в!и кз 1 — е' 1 2 1 ~~вш — + гсов-) = 2вшз ~ 2 2) = — (сов ( — — -) + ! в!и ( — — -) ), то 1 х .гг — х 1и . = — 1п 2в!и — + ! —.
1 — егп 2 2 Таким образом, л )=Š— "'„"'= п«1 «=! — 1и2вш 2' х б (О; 2гг), !г — х 2 х б (О; 2я). пэ пп 2 + ~ сов гих н ~~1 в!и!их. пв=! пв«! Отметим, что для применения изложенного выше метода обязательно надо быть уверенным в сходимости рядов (6), чтобы определять их сумму с помощью предельного перехода (8). Одно существование предела в правой части равенства (8) еще не позволяет сделать заключение о сходимости рядов (6). Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим ряды 2 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
