И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Отметим, что множества Й(а, Ь) и Йг(а, Ь) частично пересекаются. Действительно, если неограниченная функция 1" Е Й(а, Ь); то (г не обязательно интегрируема па [а; 6], на- 1 пример, 1(х) = — на (О;1). Для ограниченных на (а,Ь) ~/х функций из интегрируемости ( на [а; Ь] следует интегрируемость 1~ на [а; 6], но из интегрируемости (~ на [а; Ь] не сле- 1 дует ннтегрируемости 1 на [а; 6], например, ((х) = — — Р(х) 2 ( 1, х — рационально, на [О; 1], где Р(х) = «( — функция ( О, х — иррационально Дирихле. Множество Йг(а, 6) представляет собой линейное пространство.
Интеграл ~,((х)у(х) с1х определен для любых двух а функций из Вг(а,6). Его можно рассматривать как скалярное произведение в В (а, 6) н ввести соответствующую норму: ь г/г [[.([[= / ~'(*) б* а ь 11г Отметим, что фукционал /,(~(х) Нх не удовлетво- а ряет всем требованиям, предъявляемым в определении нормы линейного пространства; именно, если ( Е Вг(а, Ь) и множество М = (х, х Е [а, '6], ((х) уь 0) является множеством меры Гласи П.
Ряди Фурье. Преобразование Фурье 222 цню и1 — собственной функцией задачи, соответствующей собственному значению Л. Предположим, что существует последовательность (Л;) различных собственных значений задачи. Покажем, что система и;(я) = иь,(я) соответствующих собственных функций ортогональна на [а; Ь]. Действительно, во-первых, из непрерывности и отличия от тождественного нуля функции и,(я) следует неравенство ь иь(я) й: > О.
Во-вторых, интегрируя по частям, получаем а равенство Л; / ьч(я)и (я) Ня = ~(и," + ди,)и Ня = а а ь ь ь ,ь ,ь = а~ ди; иу Ия + и[из [ — 1 и[ну Ия = / оиь ау ь(я — иь и~ [ + а а а а а ь ь ь + / пьн Ня= / пь(п + дну) Ня = Лу ~ и;пу <Ь' ь и так как Л; уь Лзч то отсюда следует, что / щи дя = О. а Пример 2.Пусть О <сь <сз <сз « ...с; < ...— последовательность корней уравнения ськя = я. Покажем, что система (соефх)) ортогональна иа [О; 1). 1 Действительно, во-первых, соя~(( я)пя > О. Во-вторых, если 1 ф у, то 1 / ' ~ 2 ~, ( — ~ (, ~ у совари)совая) Нх = — ~ ~ + ~ ) = 1 /ля~пф — б ) яьпф+ ~ ) 1 ь ь + 1 о 1 ((ь сьев(; — ~1 сааб(в) = О.
Ь 1. Ряды Фурье 223 Определение. Пусть (ф;) — ортогональная система на [а; 6) и,1 б К (а,6). Числа ь 1 с; = с;(~) = — / 1(х)4ь(х) Их ьгl называются коэффициентами Фурье функции 1' по системе (яч) Определение. Пусть (уч) — ортогональная система на [а;6), ~ б Ек(а,Ь). Ряд ~~~ с,4,(х), где с; = с;(у) — коэффи~=1 циенты Фурье функции ~ по системе (ф;), называется рядом Фурье функции у по системе (фД. В дальнейшем, говоря о коэффициентах или ряде Фурье функции у по системе (фД, постоянно будем иметь в виду, что ~б А (а, 6) и система (уч) ортогональна на [а 6), не оговаривая этого специально. Если функция ~ представляет собой многочлен по ортол гональной на [а; 6) системе (4;); у = ~~ Пф;, то, очевидно, ь а=! с; = — / ~(х)ф;(х) Нх = ~ '=[М / ' =1 О' >.
а Таким образом, любой многочлен по ортогональной системе является своим рядом Фурье по этой системе, все коэффициенты с; которого равны нулю, если 1 > и, где и — степень рассматриваемого многочлена. Для коэффициентов Фурье с; = с;(у) функции ~ по системе (ф;) справедливо неравенство Бесселя: ь с; ОЩ ()Я = /~ (х)Их. в=1 Если для системы (ф;) выполнено условие 1пГ)Щ > О, в ! частности, если система (ф;) ортонормированная, то из неравенства Бесселя следует, что последовательность с;(1) коэффициентов Фурье функции по системе (16;) бесконечно малая. 224 Глава 11.
Ряды Фурье. Лреобразование Фурье Определение. Последовательность (1„), 1в Е В~(а,Ь), называется сходящейся по норме, или сходящейся в среднем, к функции 1 б В~(а, Ь), если [[Ą— 1[[ — ь О, и -+ оо, т. е. ь (1о(Я) — 1(Я))~ <1л -+ О, и -+ оо, а Пусть (1„) — последовательность, сходящаяся в средяем к 1; (с„д), (с;) соответственно — коэффициенты Фурье функ- ций 1 и Функции 1 по системе (у;). Из неравенства Бесселя следует, что 1пп со,' — с; о -ь ьь для любого 1. Определение. Ортогональная система (ф;) называется полной в В~(в, 6) (или полной на [а; 6)), если для любой функции 1 Е В~(а, 6) и любого числа е > О существует такой полив ном Тв(ф;) = ~~ афь по системе (ф;), что [[1 — Т„ф;)[[ ( е. в=1 Если система (бч) полна в В~(а, 6), то неравенство Бесселя превращается в равенство Парсеваля ь с;[[ф;[[ = [Я = /1 (л)дв.
с=1 л Если выполнено равенство Парсеваля и все коэффициенты Фурье функции 1 по системе (ф;) равны нулю, то получаем, что [[1[[ = О; следовательно, функция 1 эквивалентна тождественному нулю на [а; 6). Итак, если ортогональная система (ф;) полна в В [а, 6), то каждому классу эквивалентных функций из В [а, 6] взаимно однозначно соответствует последовательность (с;) коэффициентов Фурье этих функций по системе (ф;). Коэффициенты Фурье с,(1") = с; функции 1' по системе (ф;) обладают экстремальным свойством: для любого полинома Тв(ф;) степени не выше и по системе (уч) имеет место неравенство [[1 — Т„(ф;)[[ ) [[1 — ~ ~с;фД. Отсюда следу- ю=! ) 1.
Ряды Фурье (1с!) = (1, ап х, сов х, еш 2х, сое 2х,..., и!и пх, сое вх,...), вб1Ч, на отрезке [ — х; и). В силу периодичности входяп1их в нее функций зта система является ортогональной и полной также на любом отрезке [а;а+ 2х]. В основном, тригонометрическую систему рассматривают на отрезках [ — я; я] и [О; 2и]. !х Линейная замена ! = — переводит тригонометрическую и О) . систему в полную ортогональную систему (у,. ): яих соя —, ! р(0(х) = ! = 2и — 1, и Е 1ч ! = 2в, явх в(ив на отрезке [ — 1; !) или [О; 2!]. Ряд Фурье функции У Е Й~[ — 1, !] (О по системе (р,. ) записывается в виде оо у хпх , ипх~ Х вЂ” +~ ~а сов — +Ь а(п — ) л ! о 1)~ ю=Ь где 1 Г ипх ае = — з! У(х)сое — Ых, 1 Г . япх Ь„= — [ Г(х) еш — с(х, ! -с в=0,1,2,..., и обозначается ~г~(Г) ( <г„(Г) будем одозначать просто а(Г) так же, как систему (р; ) — просто (~р;)).
Равенство Пар(а! ет, что если система (4ч) полна в В~[а, Ь],'то [[à — Я„]] -+ О и и -+ оо, для любой функции Г Е В [а, Ь), где Я„= ~ ~с;ф!— вья частичная сумма ряда Фурье функции Г по системе (1Ь;), т. е. ряд Фурье функции Г по системе (1Ь!) сходится в среднем к Г. Простейшей полной ортогональной системой является тригонометрическая система 226 Глава 11. Ряды Фурье. Преобразование Фурье севаля для системы «!я! ~) имеет вид: СЮ о, ~;-«а~, Ьэ) / ~з«х)дх «=1 -! Как и для любой ортогональной системы,многочлен !г ао хпх 1гпх1 Т(х) = — + ~ ~аи сов — + 11„вгп — ) по системе «1о; ) является своим рядом Фурье по этой системе.
Из ограниченности тригоыометрических функций следует и более общее утверждение. Если тригонометрический ряд аа т / япв" 1гпх1 — + у «а„сов — +!у„вш сходится равномерно ыа [-1;1] к функции,Цх), то этот ряд является рядом Фурье функции 1 по системе «!р! ). 10 Будем говорить, что функцыя Дх) на отрезке [а; Ь] представляется тригонометрическим рядом или раскладывается в тригонометрические ряд по системе «уг; ), если существуют такие две последовательности «а„) и «Ь„),что Дх) = — + ~~! (а«сов — +Ьивш — ) для х б «а; Ь] ~ М, где М вЂ” конечное множество.
В силу полыоты системы «гр; ) в А~[ — 1, 1] для любой функции ~ б Й [ — 1, 1] справедливо равенство 2 ао ™ г япх . !гнат -! «=1 г« = ы $Лг! — (-"+~'( - — *.~И ' — ))/ =о, «=1 где а! и Ь! есть коэффициенты Фурье функции у по системе «у1! ~). Это свойство формулируют так: любая функция 1 1. Ряды Фурье 227 у б Вз[-1,1] представляется своим рядом Фурье, щ(У), в смысле сходимости в среднем. Однако, поскольку.
сходимость в среднем последовательности (У»), У» Е В [О,Ь], к функции У б В~[а, 6] не влечет поточечной сходимости У„(х) к У(х) на [а; 6], даже если все функции У„и У непрерывны на [а; Ь] (см. задачу 1 гл. И Ь 5), то вопрос о поточечной сходимости ряда щ(У) требует специального исследования. Определение. Точка хо из множества определения функции У называется регулярной точкой этой функции, если существуют пределы: 1пп У(х) = У(хо + О), 1пп У(х) = У(хо — О) и (2) У( о) — (У( о+О)+ У( о — О)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
