И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если / д(х) г(х = О, то функция С(х) = = / д(1) гй ограничена на [а;+ос) и интеграл / 1(х)д(х) ггх а а+Т а сходится в силу признака Дирихле. Если / д(х) г(х = А ф О, то равенство +00 +со +00 А А1 Цх)д(х) г1Х = — 1 1(х) г1Х+ 1 1(х) ~д(х) — — ~ г(х т,7' т') аа совЦ(х)) г(х / сов(1(х)) ггх + / (со81)хг гг2 21аа) +го +со показывает, что интегралы / У(х)д(х) гГх и / 2(х) г2х одно- а а временно сходятся или расходятся. 48. Решение, Из условия следует существование такого ха > а, что функция 1 строго возрастает на [хе, +со) и )(гп 2(х) = +со. Пусть х(1) — функция, обратная к 1 на [2(ха);+ос), тогда х(1) монотонно возрастает на [1(ха);+ос), 1пп х(1) =+со и х', монотонно стремится к нулю при 2-++ос Г-а+во на [Т(хв);+со). Делая замену х = х(1), получаем, что Глава 1.
Несобственный интеграл 212 +»» +»» »» Ь-1 -»» ахь е '* в(пх/1х= / Цх)в)пхдх= Дх»)/в(пх(1х, ь»г Е (х»~+со). Отсюда получаем, что (/.~= ///(),*/,;./1' /(,).;,*/,$= о » »» ЬХ(х ) 1 х((х < 2ЬУ(х ) = = 2Ьай(агх,)ь )е (»»"> < 2ЬаЬН, ь-1 — аЬ»„ где постоянная Е = шакг~ 'е / не зависит от а. Полученное />о неравенство показывает, что !пп 1, = О. Решение в пункте 2 »-+в+ проводится точно так же. ь 55. Указание.
Показать, что интеграл / Дх, у)у(х) ((х сходится равномерно. » 58. Указание. Применить метод математической индук- ции. 59. Указание. Показать, что выполнены все условия те- оремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру. 61. Указание. Написать условие критерия Коши равно- мерной сходимости интеграла на (с;(г) и перейти к пределу при у-+ с+ и у-+ Ы-. 63. Решение. Возьмем число е ) О. Так как интеграл +»о Огн Х вЂ” Ых сходится, то найдется такое число В ) 1, что для х ь, ) 1 В!ПХ любой пары чисел Ь), Ьг, В < Ьг < Ьг, имеем у — е(х < е.
х ь, 213 Ответы, реи«ения, указания 1 Если 1 > у > — илн у = О, то для любой такой пары В в«п х Г(х, у) — ««х = 0; ь, 1 1 если же 0 < у < —, то для любой такой пары или В < Ь«( —, В' У тогда Ь, (Ьь~) япх ) Г япх .Г(х«У) ««х = (««1х < е« х ],/ х ь, ь, Ь« 1 Г япх или В < — ( ь«, тогда ~ Г(х, у) — ««х = О. Следовательно, ,/ ' х ь« +со япх в силу критерия Коши интеграл / Г(х, у) — Нх сходится равномерно на (О; Ц. Для доказательства неравномерной схо- +ПО Г Г(х у)(8«пх( димости на (О; Ц интеграла ~ ' «(х прежде всего о заметим, что при любом у б (О; Ц этот интеграл сходится, так как подынтегральная функция отлична от нуля только 1 на конечном интервале. Пусть у„= —, и б 1«1, тогда 4кп' 4 пи 4ПП П - ..1 Г(х,у„) Нх = / Ых > — «(вшх(«1х= —, (вшх( Г (в«пх( 2п Г, 1 х,Г х зпП 2««п о что в силу произвольности и б И и показывает неравномерную скодимость рассматриваемого интеграла на (О; Ц.
64. а) Интеграл / (Г(х, у)] «(х сходится равномерно на М; а б) Функция у(х, ув) монотонна на [а;+со) для любого ув Е М на (а; Г4]. 214 Елово А Вссобстоенный онтеерол 65. Решение. Интегралы 1 1 хо Г(х) дх .= / х" '(г')'(х)) ~Ь о о х" Г(х) дх = / х" (х Г(х)) ь(х сходятся равномерно в силу признака Абеля. бб. Решение. Неотрицательность Дх, у) следует из ее 5 1 определения. Если х > 5,то О « — — и 2х 2 5'! 5 опр Г(х,у) >Г х,— ! = —. го!ор! ' 1, ' 2х) 2х1п х Следовательно, если Г(х,у) < у(х), х б [2;+оо), у Е [О; Ц, +ао 5 то оо(х) > для х > 5 и интеграл ог(х) Нх расходит2х!пх г ся.
Покажем, что интеграл / Г(х, у) о1х сходится равномерг но на [О; Ц. Возьмем число о > О и найдем такое В > 2, что 1 3 2 1пВ> —. ПустьВ<Ьг <Ьг. Если1>у> — илиО<у< —, е 1 г ьо 2 3 то / Г(х, у) Их = О. Если же — < у < —, то Ь, Ь, ' ьч л л ь, у у у о!в яху 1 Г ,Г(х,у) Их < / о1х < — / уяп лхуо1х < 1пх 1пЬг Г ь, ыох(ььл) зо 1 1 Г 1 < —.— / яп1Й « — с.
!пВ и/ !пВ Итак, в силу критерия Коши данный интеграл сходится равномерно на [О; Ц. 215 Ответы, решения, указания 61. Решение. Локальная монотонность функции 1(х,уо), уо Е [О; Ц, в правой несобственной точке+со следует из определения; равномерное стремление у(х, у) к нулю прн 1 х -а +со — из неравенства Щх,у)[ < —, у Е [О;Ц. Пусть 1 у„= —, п Е И, тогда 4хп' 4гп 4ги е / Узшх 2п У,з 1 у(х,у)ашхг1х= / гЬ> — 1 згп хг1х= —, х 4 хи,г' 4' что в силу произвольности п Е И и показывает неравномерную сходимость рассматриваемого интеграла на [О; Ц. Функция уа(х) = у(х, у) монотонна на (б(у), +оо), и б(у) зависит от у (ср. с примером 46 гл.
1 з 3). 68. Решение. Монотонность на [О;+со) и стремление к нулю г(х, уо) при х -++со для любого уо Е [О; Ц следует из апре+00 деления. В силу признака Дирихле интеграл з[ у (х, уо) а)п хЫх а сходится при любом уо Е [О; Ц. Положим Вг = 2ггв, Вз = 1 1 = х(2п + 1), уа = , п Е И, тогда Вг < Вг < 2я(п+ 1) ' уа и, следовательно, У(х,уа) = 1 для * Е [В~',Вз). Отсюда поп. ~1зн+г) лучаем, что / У(х,уо)а)пхг)х = / а)пхг)х = 2. Так как в, зян уо Е [О; Ц, а Вг может быть сколь угодно большим за счет выбора п, то полученное равенство показывает, что +оэ у(х, у) а1п х гЫ сходится неравномерно на [О; Ц. о Функция У(х, у) неравномерно стремится к нулю на [О; +со).
69. Решение. Не ограничивая общности, можно предполагать, что 1'(х, у) ) О на [О;+оо) х М и, следовательно, 1(х, уо) монотонно не возрастает на [а;+оо) при любом уо Е М. Если у (х, у) при х -+ +со сходится к нулю неравномерно на [О; Ц, Глава й Несобственный интеграл то существует число ео > 0 такое, что для любого и Е И найдутся у Е М и хп > я(2п+ 1), удовлетворяющие условию Х(хп, уп) > го.
Так квк 1 (х, уп) монотонно не возрастает, то, не ограничивая общности, можно считать, что 1'(х, уп) > ее для всех х < я(2п+ 1). Отсюда получаем, что 2»п+» Дх,уп)в)пх))х > ео ~в)п хая = 2ео, откуда следует неравномерная сходимость интеграла +оп у(х, у) в1п х )1х на М. Полученное противоречие доказы- а вает, что у(х, у) л 0 на М при х — ь +оо. +со 70. Решение. Необходимость. Пусть интеграл у(х,у))1х и сходится равномерно на М и (хп) — последовательиостьп удовлетворяющая данному условию.
Возьмем число е > 0 и найдем такое В > а, что для любой пары Ьы Ьз, В < Ь1 < Ьз, ь, ~О ')*,»)п~» ° *ь»м. в ь ь, сти последовательности (хп) и условия 1пп хп »»ы найдется такое )»' б И, что х,„ ) > В для всех т Е И, т > Н. Тогда для всех у Е М и любых натуральных чисел р и т > Ф имеем т+р +» 1 УР,и)ю/= 1 У)~,»)п» п=гп » -1 Оп и в силу критерия Коши ряд ~~) ~,1(1,у)й сходится равномерно на М. п»п и Достаточность» Предположим, что интеграл / з (х, у) ))х а сходится неравномерно на М. Построим такую последовательность (хп), удовлетворяющую заданным условиям, что Ответы, решения, указания 217 оа ряд ~~ / Я, у) Й будет также сходиться неравномерно а=1 в„ на М. Возьмем некоторую последовательность (с„): а = св < < с1 < сз «...
с„«... и, 1пп с„= а). Так как интеграл а-+оа у'(х, д) <1х сходится неравномерно на М, то существует таа кое число ев > О, что для любого В > а найдутся числа в1, вз, ьэ в < р, < р, <,, р, р в, д р * ~1 !)*, р) р* р ь, Положим хе = а и найдем х1,хз, а < х1 < хз < в), у) Е М так, вэ 1 !)д,р)рр~ р *,. и в, = )*„,) ° ад.
вр хз, х4, В1 < хз < х4 < ы, Уз Е М так, что ~У(1!Уз) Й > ео. вэ Продолжая этот процесс, получим последовательность (х„) и последовательность уа таннер что 1) уа Е М для любого и Е И, 2) в = хз<х1<хз<хз<х4« .. хзт 1<лет«... )в, 3) сар-1 < хэт-1 < хз,а для любОГО !и Е 1)1, д)) 1' !)рр )д! рад 6 рв вэ — 1 Свойства 2) и 3) показывают, что 1пп х„= в), т. е. после- а-рао довательность (х„) удовлетворяет условиям формулировки оо задачи, а свойства 1) и 3) — что ряд ~ э( У(),у) <11 схоа=1 ! дится неравномерно на М.
Итак, получено противоречие с требованием равномерной сходимости этого ряда прн любой последовательности (х„), удовлетворяющей этим условиям. Полученное противоречие заканчивает доказательство. Глава!. Негобстеенный ин1леграл 218 +00 71. Решение. Сходимость интеграла / е "* сое л 1(л на о (О; 1) следует из признака Дирихле, а неравномернал сходимость на (О; 1) — из расходимости этого интеграла при у = 0 (см.
задачу 61). Так как функция (е(() = (е ь', Ь ф 0 на (О; Ц неотрицательна, принимает наибольшее значение — при 1 йе (= — и Ь 2»»~ — 2» е — 2» ~2»»* е " ссекал = (еьп* — успел)~ 1» „г 2»(»-1)* 2»(»-1)2 — ) О е (1 — е ) уг. 1 + у2 то 2»»~ 0( / е "'соехь(е< уе г'"(" ') < 3 1 2ке(п — 1)2 ' 2»(»-1)з у б (О;1). В силу признака Вейерштрасса полученное неравенство дока- 2»» зывает, что ряд ~~1 / е "~ сое л Ие сходится равномер- " 12»(»-1)' но на (О; 1). 72. Указание. Если я» 1 < Ь1 < Ьг ( е, то ьг » О < / 1(е, у) Ие ( ~~ ~ Т'(1, у) 1((.
ь, 1»» ТЗ. Указание. Если е„1 < Ь1 ( Ьг ( е„„то величи- ь, )'1[*.ЕЬ~. °... „° а.. ».-...... ь, 219 Огяветы решения, укизамил величинами: т /' ~~1,„~~1, в=и Т вЂ” 1 74. Указание. Обоснование производится так же, как обоснование перестановки двух несобственных интегралов при вычислении интеграла Френеля (см. пример 52 гл. 1 ~ 3).
220 Глава 11. Ряды Фурье. Преобразование Фурье Глава 11. Ряды Фурье. Преобразование Фурье ~1. РЯДЫ «.ЬУУРЬЕ Определение. Функция (г [а; 6] -+ й называется функцией с интегрируемым квадратом на [а; 6], если ( е Й(а, Ь) и (~ Е Й(а,6). Множество функций с интегрируемым квадратом на [а; 6] будем обозначать Йг(а, 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
