И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Несобственный интеграл 200 24. Решение. Так как Ф Е С[0;+со), то для любого отрезка [а; о] С (О;+ос) имеем ь/г ь Ф(2х) — Ф(х) /' Ф(1) бг (" Ф(х) и*= 1 — à — и.= а а/2 а а ь — е(х — / — Их = )п2 [Ф(6) — Ф(6)), Ф(х) Г Ф(х) х а/2 Ь/2 где с1 б ~-;а), сг б (-;о . Так как Ф(х) имеет предел 2' ' 1,2' при х -+ +со, то для любого е > 0 найдется такое С, что е [Ф(хг) — Ф(хг)[ < — для всех х1, хг, х1 > С, хг > С; следо1п2 ь Г Ф(2х) — Ф(х) вательно, если а > 2С и о > 2С, то ( 1/х < е.
а В силу критерия Коши отсюда следует сходимость интеграла +аа 1 Ф(2х)-Ф(х) Г Ф(2х) — Ф(х) 1/х. Сходимость интеграла / йх х ,/ х 1 о доказывается точно так же. Гг+ г 25. 1) Следует из неравенства [Гв[ ( 2 2) Следует из неравенства (/ + у) < 2(Г + У )' 3) Следует из 1). 26.
Решение. Возьмем число е > 0 и найдем такое Ь, о е О < /1 < 1, что 0 < ~Х(х) Йх < — для всех 2/, О < 1/ < /2. Если о е О < х < ппп /1,, то 2 [ Я) 1/1/ ь 1 ь 1 и 0 < х/ — Й = х / — 111+я ~ — й < / Я) е(1+ - ( е. Г Г(1) Г / (2) Г 1 (2) Г е — 1 Ошееп1м, решения, укозоиия 201 Следовательно, 1пп х / — 1!! = О. г ~(к) . +О, 27. Указание. Применить к интегралу у(х) Ых, 0<с<1, с формулу интегрирования по частям и использовать результат задачи 26. 28.
Решение. Равенство 1 1 — Их = Р(о) [ !по[+ /,!(х) [ !и х[ Их, 0 < о < 1, Р(х) х а а показывает, что требуемое утверждение зквивалентно выполнению условия 11ш Р(о)[1по[ = О. Для любого е > 0 а-+О+ 1 1 Р(х) в силу сходимости интеграла ~ — 1!х найдется такое Ь, ь О Г Р(х) 0 < Ь < 1, что 0 < у! — 1!х ( — для всех и, 0 < и < Ь а в сих 2 О лу непрерывности Р на [О; 1) найдется такое 6, 0 < Б < 1, что Е Р(х)[1пЬ[< — для всех х, 0<х<б. Если 0<о<аз = ш!п(Ь,Б), 2 то в силу монотонности Р на [О; !) имеем ь е !' Р(х) — > / — 1!х > Р(о)(!пЬ вЂ” !по) = е = Р(а) [ 1п о[ — Р(о) [ !и Ь[ > Р(о) [ !п о[ — —. Отсюда следует, что 0 ( Р(о)[!по[ < е для всех о, 0(а<ее, т. е. !пп Р(о)[!по[= О.
а-+О+ 29. Решение. Покажем сначала, что если р > ! и д = р р-1' ОР ЬО то для любых а > О, Ь > О имеем неравенство ОЬ < — + —. Р Действительно, функции О = и" и и = ОО ' взаимно обратны; площадь фигуры, ограниченной осью Ои, кривой О = и" аг [ и прямой и = а, равна —, площадь фигуры, ограниченной р 202 Глоел й Несобственный иитеерал ЬЯ осью Ои, кривой и = еЯ ' и прямой е = 6, равна —, сумма Д этих площадей не меньше площади прямоугольника [О;а) х (О;Ь] (см. рис.
4). Рис. 4 Щх)( )д(х)) Положим и— ,уя, 6— (9 П/9 < ь 1'9 /ь И(хн «х~ ~~)у(х)!-- х а а ая 6а-' Из неравенства и6 ( — + †(д — 1) получаем, что Я ь 1/я ь !У( )у(хИ=иЬ /1Х(х)(Яйх ~ЫхИа- йх ( а а ! ~(х)!9 !я(х)!9 1 / !Дх) !я Нх ) !у(х) /а-1 Нх ~ ~ | х 9 ~ < ~ | > х ~ ~ 9 ~ ~ | ~ х а а ь ь л 1 ° <)'яии *) <)" ~м~~ *1) а а Ответы, реиьениц указания 203 Это неравенство показывает, что Щх)д(х)! й Й(а;Ь). Инте- грируя по промежутку (а;6), получаем: ь ь ь у Я(х) ~о дх Яу(х) ( -' Нх Щх)у(х) ! Ых < — + (д — 1) ' х й ,„„,-„„.) й й ь — ь й-! ° (~а*о й*~ ~~м*о=й*) й й ь ь =(~~л*о *~ (~ю*о= *~ й й 30. Решение.
Возьмем число е ) 0 и найдем такое Ь, о 0 < Ь < 1, что / Щх)~о Нх < ео для всех и, 0 < и < Ь. Если о 0 < х < Ь, то применяя неравенство Гельдера (см. задачу 29), )! льй й () ~л*)йй*) * й о о Таким образом, !пп х -' / Я) й = О. ' й-+о+ о 31. Указание. Провести рассуждение, аналогичное решению задачи 30. 32. Решение.
Возьмель число с ) 0 и найдем такое Ь, о 0 < Ь < 1, что / хуз(х) дх < е~ для всех и, 0 < и < Ь. Если о 0 < х < Ь, то, применяя неравенство Гельдера (см. задачу 29), получаем неравенство 1 1 и /~но !й ~со !+~ "~',"лй й й л й /'лава й Несобственный интеграл 204 Ь з 1!2 < ! 1 1/3 < г< [! очам) (!' — ) <к<,/~~ *~. 1 Хаким образом, !пп ! у(1) <11 = О. б! — О. 33. Решение.
Так как г'(х) Е С[0;+со), то из неравенства з рг( .1 0 < г' (х) < ', х > 1, следует сходимость интеграла Р (х) Ых. Отсюда следует, что !пп хР' (х) = 0 (сравните с задачей 2). Обозначим через (ав) такую монотонно возрастающую неограниченную последовательность, что ав Гз(ав) -а О, й -+ сю. Из равенства ав «в ~вв г'~(х) е(х = хг ~(х)~ — 2 Р(х)/(х)х <!х о о о получаем, что Ов ав 0 < / Рз(х) бх < ввРз(аа) -! 2 / г (х) Щх) [х Их. о а П именяя неравенство Гальдера (см.
задачу 29), получаем от- Р сюда, чго а< Рз(х) е(х < аврз(а„) + 2~~ хзРз(х) Цх гз(х) е!х о а о и,переходя к пределу при й -+ оо, получаем требуемое неравенство. / 11 34. Указание. Представить / ~ 1 х — — ) вх в виде х 1 и в первом слагаемом сделать замену х = — —. Отееты, решения, указания 205 35. Указание. В обоих интегралах сделать замену х = ее~. 36. Решение. Так как функция Дх~) четная, то зз( г),1 1 2,/ Ь Сделан в этом интеграле замену х = а1 — —, получаем +Х г о = -'.
~ г [(. - -') ) -' ~ г(( - ') ) ",. о а Сделав во втором интеграле замену 1 = — —, получим аи =-,'.)'у((. -')'),',.~у((..-')') .= а — ОО =-й(--) ) ' и в силу четности подынтегральной функции имеем требуе +00 г Ь\ -*"-- = ~ ((--) ) ' — со то Ь| 37. Указание. Представить 1 в виде ~ у' [ ах+ — ) <(х+ +00 Ь'1 а Ь +Я..+-) ..:...— ----'.н- "*+-, х' за Ь н в каждом из слагаемых сделать замену ах+ — = ~/1г + 4аЬ. х 33. Указание.
Представить луч (О;+со) в виде (О;1) 0 0 [1;+оо) и в интеграле по промежутку (О; Ц сделать замену 1 1 = —. х /' лава 1. Несобственный интеграл 206 39. Решение. Представим интеграл / в виде «/2 Г Г(х) вгп х г/х + х о «и 1(2»+г) «-и Г Г Г(х) в)п х Г Г(х) вгп х п«м «12»-г) «и 1г/2 Г(х) вгп х г/х + о 1г/2 1 1 + ~~г / ( — 1)п ~ + Г(х)вгпхг/х. (х+ яп х — яп1 »«и о Так как функция Дх) вш х ограничена на (О; — ~, то ряд 1 1 ~( — 1)п ~ + — Дх)вшх ~х+яп х — нпг псо сходится равномерно на (О; — 1, следовательно, «/2 1 1 ( — 1) + /(х) вгп хггх = 1Х+ ггп х — хп) «/2 1 1 ~( — 1) + Г(х) вш х г/х, ~х+ нп х — нп/ о и в.силу равенства 1 1 и( 1 1 — = — + ~~г (-1)п ~ +, х ф О, вгпх х х + ггп х — 3Гп1 п=г получаем «/2 «/2 ~=/'(г() "(-+й(- г) — - )1) ~ =/'гп) * о « п=1 о Ооавееаы, реиаенив, указания ! 40. Указание.
Показать, что Я(х) Е В(а; 6] и у Я Е К(а; 6), ь « затем оценить / у(х)$(х) а[х — ~~а / у(х)иа(х) а[х . а а 41. Решение. Пусть А ) О и [ — А;А] С (а — хо',6 — хо). ь В силу условия 1) несобственный интеграл ~ ~(а)у«(а — хв) а[а » ь-«» определен для любого хв б (а; 6) и равен / У([+хе)[в«(а) аа[. а-»» Ь В силу абсолютной сходимости интеграла / Д(х) а[х и услоа вия 2) имеем -А ь я+хе)ар (а) а[[ < впр ][в«([П / ]Ф)]в[я=о(1) ав[а-«о,-А[ а « — «а и -ь оо, Ь-«о Х([ + хе) ар„([) Й = о(1), аа -+ оо.
Следовательно, достаточно доказать, что [апа У([ + хв)[в»([)а[а = а'(хе). «-+а« -А Из условия 3) получаем, что ~ [в„([) а[1=1+в„, где в„-ь О, и -ь оо. Следовательно, У(1+ хе)[ „(6) [1- У(хе) = -А А = / (У([+ хе) — 1(хе))Р«([) а[[ — в» У(хв) -А 208 Глаиа 1. Несобственный интеерал Возьмем число с > О. В силу непрерывности б в точке ха е найдется такое б, 0 < б < А, что )Я + ха) — 1'(ха)! <— А 4М для всех 1, )1! < б, где М = апр 1 (~р„(х) ( ах (см.
условие 4)). и Отсюда получаем: ! ~(л *и-л*а.<а !. < / У(1 +,) — 1(*а)) р„(1) й1 + -А А + /(У(1+ ха) У(ха))Ю (1) Н + б б + ~Х(1+ха) — У(хаНЮ (1) б11 < -б (~ 4 Бпр (~Ри(1)) / ~У(х)(пх+ [- А, А] \ (- б;б) а В силу условия 2) и условия е„-+ О, п -+ оо, найдем такое Е Ж Е И, что )еиб'(ха)( < —, и > Н, и 4' е !ри(1П < 8) /~(*)(йх а Для и > Н получаем окончательно е х е ,((1+ ха)р ~(1) й ~(ха) < + + = е, 4 2 4 -А чем и завершается доказательство.
Ответа, решения, указания 209 42. Не выполнено требование ограниченности функции ап(п+1) С(х) = / д(1) г((. Указание. Рассмотреть / 1'(х)д(х) г(х а ап(в-1) ав(п+1) и / д(х)г(х. ггв(п-1) 43. Не выполнено требование монотонности )'. Указание.
оп+в Рассмотреть / г (х) сов х г(х, и б И, и использовать резульап- о тат задачи 11. 44. Решение. В силу монотонности у, не ограничивая общности, можно считать, что !'(х) > О, х > в. Если не выполнено условие !нп )"(х) = О, то найдутся такие числа а-++со с>ОиС>а,что((х) >с,х>С. Если2кй>С,то гвп+а гк у(х) в(пег!х > 2с. Отсюда в силу критерия Коши следу+оп ет расходимость интеграла 1(х) вгп хе(х. Полученное проа тиворечие показывает, что )пп у(х) = О. а-г+оо 4б.
Решение. Из результата задачи 44 следует, что !пп ("(х) = О. Не ограничивая общности, можно считать, а-г+оо что )(х) > О, х > а. Так как в силу признака Дирихле +со интеграл / у(х) сов 2хг(х сходится, то соотношение у(х) > а 7(х) ("(х)сов2х > г(гс(х) в1пх! > 1с(х) в1п х = — — показывает, +оп +со +со что интегралы / )1(х)(г(х = / 1(х)г!х и / Щх)вгпх(г)х а а а одновременно сходятся или расходятся. Глава 1. Несобствепиьгй интеграл 2!О 46. Например, 1 11 О, ХЙ [ ) [2яп — —;2ягг+ — ), г2' ")' а=г 1 линейна на отрезках 2лп — —; 2лп п2' ! 11 2лп; 2пп+ — ~, п Е Ы. п2~ ' П)еа авт 47. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
