И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1'лаоа 1. Несобстаеннмй интеграл !82 38. !!усть 1 Е С[О;+оо) и интеграл 1 = /,г(х') Их схоо +оа Ь'2 2 л -., -. г = ° 1 г ((.*- -) ~ г*. ° а ю. Ь > О. о -)-оа Ь\ зу.пу Гео(о;+ ) Р г х( о ! I г —.—— о>0, 6>0, сходится. Доказать, что 1оо — 11 1(1,гх2+4аЬ) Их. а 1 о 38. Пусть 1" Е С(0;+оо) и д(х) = 1'(х" + х 1') )и х, р > О. +оа +со Доказать, что если интегралы 1 — (Ь и 11 1 д(х) !' д(х) (Гх схо/ х / !!х2 дятся, то опи равны нулю. 39.
Пусть для функции 1 Е С(0;+со) выполняется тожде+па 1(х) о)п х ство1(я — х) = 1(х) = 1(я+х) и интеграл! = 11 г!х сходится. Пользуясь равенством — =-.й(-1). ( (° ~ *ьо. ! сдпх х ~Х+ )ГИ Х вЂ” ХИ п=1 о/2 доказать, что 1 = / 1" (х) ((х (формула Лобачевского). о 40. Пусть и„б Н(а; Ь] при любом и Е И и ряд ~~) и„(х) п=1 сходится равномерно на (а; 6) к Я(х). Доказать, что если инь теграл / д(х) (6х сходится абсолютно, то ь ь д(х)Я(х)(ьх = ~ ~/ д(х)ип(х)г(х. п=! 133 "! 5. Теоретические задачи 41. Пусть последовательность (дь„) обладает следующими свойствами: 1) Ьо„б А[ — А; А) при любом А > 0; 2) дь„:$0 на !!1'1 ( — о; — б) при любом Ю > О; л 3) ьь«(х)~(х -+ 1, и-ь оо, при любом А > 0; -А А 4) при любом А > 0 последовательность / [~р„(х)[е(х ограничена.
ь -л Доказать, что если интеграл / )'(х) о(х сходится абсолюта но н хо Е (а; 6) — точка непрерывности )', то !!ш l,[(1)дс (! — хо) Й = У(хо). «-+сю 1 « 42. Пусть 1 ,)(х) = —, д(х) = сов —, х Е [лп(п — 1);ли(и+1)), и Е И. Показать, что хотя,1 монотонна на [О;+со) и 1пп у(х) = О, е-++с« +сю но интеграл / 1(х)д(х) о(х расходится. Какое условие прио знака Дирихле нарушено? 43. Пусть Дх) = в!3п(сов х) , х > О, Показать, что хоч/х тя Йпь ~(х) = 0 и функция Ф(х) = / сов!о!! ограничена е -с ОО +СО 1 на [1;+со), но интеграл / у(х) сов х е(х расходится. Какое 1 условие признака Дирихле нарушено? 44. Пусть функция ~ монотонна на [а;+со) и интеграл у(х)в!ихсан сходится.
Доказать, что !пп Цх) = О. е-++с« а 184 ! 'лаоа !. Легобюпаеииыу ипьчегрил 45. Пусть функция !' монотонна на [а; +<ю) и интеграл Есо у(х) я(п х о!х сходится абсолютно. Доказать, что [Д Е В(а;+со). 46. Привести пример непрерывной, неотрицательной, неограниченной па [О; +со) функции у, для которой интеграл +ою +ою у(х) ьйпхо1х сходится абсолютно, а интеграл / !(х) о!х а О расходится. 47. Пустьфункция!" моиотоннана[а;+со) и 1пп !(х)=0; функция у Е В[а;а + Т], Т ) О, и периодическая с перио+т одом Т.
Доказать, что если / у(а) Их = О, то интеграл а +о: о+т у(х)у(х) о(х сходится, а если / у(х) ах ф О, то интегралы о о +оо +оо у(х)у(х) Нх и ~ у(х) о1х одновременно сходятся или рас- О о ходятся. 48. Доказать, что если У Е С [а; +со)„ !' монотонно возрастает на [а; +сю) и !пп !'(х) = +со,то интегралы о-++оо соя(!(х)) Их и / я(п(у(х)) ах о о условно сходятся. Интегралы, зависящие от параметра (ху, О «,/Г:уз, 49.
Задана функция у(х,у) = ~ ' ' По(2х, ф — уз ( х ( 1. казать, что функция у(х, у) разрывна на [О; 1[ х [О; 1), а функ- 1 5. Теоретические задачи 185 1 ция г(у) = / Дх, у) Их непрерывна на [О; 1]. о 50. Пусть уи — предельнал точка множества Е; )'(х, у) Е Е А[и;6) при любом у Е Е; Дх,у):6ье(х) на [а;6] при у-+ ус, д Е Й(а; Ь) и ]д] Е Я(а; Ь). Доказать, что 1ед Е Й(а; Ь) и ь ь 1зьп )'(х, у)д(х) ь(х = / 1е(х)д(х) Нх. У +Ро,/ а е 51.
Пусть уи — предельная точка множества о',,ь'(х, у) Е Е К[а; 6] при любом 6 > а и любом у Е Е;,)'(х, у) 4 ьь(х) при у -+ уи на[а; 6] для любого 6 > а; ]~(х, у)] < Р(х) при любом у Е Е и Р Е Й(ае +со). Доказать, что +еа .~-оо 1пп 1(х, у) Их = / ~р(х) дх. и-+ио а а 52. ПУсть ~ Е С([а; 6] х [с; И]), Ье Е Й(а; Ь), ]1е] Е Й(а; Ь). ь Доказать, что функция г'(у) = / ьь(х),1(х, у) Их непрерывна на [с;ь(]. 53. Пусть ~ Е С[0; 1]. Доказать, что 1 П- 1 — ', -Рта.=т, и->о ь уз о т.
е. равенство 1 1 Г 1 1' . 1пп/ — е 6т~(х)йх = / 1пп ] — е е 1(х) дх ,'-.l г / и-+о 1,уз о о имеет место только тогда, когда ДО) = О. 54. Пусть 6 > 1. Доказать, что +00 +сю / ь 1) !пп е е~ соахНх =0; 2) 1пп / е ' е(пхдх = 1 а-1+™и+ / а-+О+,/ а и (сравните с задачей 50). Ь 5. Теоретические задачи 187 59. Пусть функции г'(х, у) и г„'(х, у) непрерывны на ь [и;Ь] к [с;д], д Е В(а;Ь), ]д] Е Я(а;Ь), Г(у) = / д(х)~(х,у) дх.
ь а Доказать, что г Е С'[а; Ь) и Р'(у) = / д(х)~„'(х,у) Их. а 60. Задана функция хагсФ6 —, х~О, — 1<у<1; 7(х,у) = хз О, х=О, — 1<у<1. Показать, что 7" Е С([0; Ц х [ — 1; Ц); функция У„'(х, у) определена на [О; Ц х [ — 1; Ц; для любого уо Е [ — 1; Ц фуюсция ги(х, Уо) 1 интегрируема на [О; Ц, а функция Р(у) = ~ 1(х, у) пу опреде- о лена и непрерывна на [ — 1; Ц, но не дифференцируема в нуле. 61.
Пусть функция )(х, у) непрерывна на [а; ы) х [с; д] и интеграл / 1(х, у) Пх сходится равномерно на (с; П). Доказать, а что этот интеграл равномерно сходится на [с; д]. 62. Пусть У(х,уо) Е Я[а;Ь] для любого уа Е М и любого Ь, а < Ь < ы. Доказать, что из равномерной сходимости на М интеграла / Щх, у)] Их следует равномерная сло- и а днмость на М интеграла / г'(х, у) Их. е 63.
Задана функция О, 9=0, х>0, 1 г(х )- 1, у>0, 0<х<-, 1 Р О, у>0, х> —. У +ОО / Цх,у)вшх Показать, что интеграл дх сходится равно- х о Глава й Несебстаеииыд интеграл +оо Дх, у)] всп х] мерно на [О;1), а интеграл Их сходитс в нех равномерно на [О; 1]. 64.
Как показывает результат задачи 63, из условий +Со 1) интеграл / у(х, у) с1х сходится равномерно на М, 2) функция д(х, у) ограничена на [а;+со) х М вообще говоря не следует, что интеграл / у(х,у)д(х,у)с1х о равномерно сходится на М. Какие дополнительные условия достаточно наложить а) на функцию у(х,у), б) на функцию д(х, у), чтобы можно было гарантировать равномерную схо+оо димость интеграла / г (х, у)д(х, у) ах на М? а есо 65, Пусть г' Е Я[0;а] для всех а>О и интеграл / х"Х(х) с(х е сходится при у = с и у = с1, с < с(.
Доказать, что этот интеграл сходится равномерно на [с;с1). 66. Задана функция У=О, х>2, О, увсп 7Гху 1(х,у) = 2 3 — <х< —, 0(у<1, О<у(1, 2 <х< — и — <х. У У О, Показать, что функция 1'(х,у) неотрицательна на [2;+со)х[0;1] +оо и интеграл /,1(х, у) ссх сходится равномерно на [О; 1], хотя для любой функции ср(х), х > 2, удовлетворяющей условию ,с"(гчу) ~( ср(г;), х с [2;+со), у е [О;1], интеграл / ср(х) с!х расходится. г зО 5.
Теоретические задачи 189 67. Задана функция О, у=О, х>0, В1П Х 1 г(х у) — —, 0<у(1, 0(х( —, х у 1 О, 0<у<1, — <х. у Показать, что для любого ув Е [О; 1] функция ~(х, ус) локально монотонна в правой несобственной точке +оо, у(х, у):$0 1 на [О; 1] прн х -+ +со, а интеграл / Дх,у) сйп хдх сходится неравномерно на [О;1].
68. Задана функция О, у = О, х > О, 1 1, 0<у<1, 0<я<-, у(х~у) = У 1 1 — 0<у<1, — (х, ху у Показать, что при любом уа Е [О; 1] функция ((х, уе) монотон- +ОО на на [О; +со) и !пп у(х, уе) = О, а интеграл / у(х, у) яш х Нх О-++ОО сходится неравномерно па [О; 1]. Какое условие признака Дирихле нарушено? +са 69. Пусть интеграл ~ у(х, у) в1п а дх сходится равномер- а но на М и для любого уе Е М функция 7(х,ус) монотонна на [О, '+со) и стремится к нулю при х — ~ +со. Доказать, что у(х, у) при х -+ +оо сходится к нулю равномерно на М.
70. Пусть для любого ус Е М единственной особой точкой функции 7(х, уе) на (а;и) является точка ы. Доказать, что условие Одля любой последовательности (х„), а = хс < < х1 < хз « ... х„ < х„.11 « ... и, 1пп„, х„ = и, О ряд ~~ / Я, у) д1 сходится равномерно на М" необходимо О=1 О 190 1'лаеи 1. Несобстеенныя пни!»врал и достаточно для равномерной сходимостн интеграла 1(х, у) Их на М.
а +»» 71. Показать, что интеграл / е ~" созх!1х сходится нес 2»» равномерно на (О;1), а ряд ~~! з~ е гл совхИх сходится равномерно на (О;1). "=! ъ1» — !П 72. Пусть для любого уа Е М единственной особой точкой функции 1(х, уе) на (а»м) является точка ы. Доказать, что если 7(х, у) неотрицательна на (а;ь!) х М и котя бы для одной последовательности (х„): а = хе < х! < хз « ...
00 <х <х + «... ь!,11п! х =,1 д ) / У(1,у)!!1 »=! сходится равномерно на М, то интеграл ~ 1 (х, у) Нх сходится а равномерно на М. 73. Пусть для любого уе Е М единственной особой точкой функции 1(х, уе) на (а;»!) является точка ы и последовательность (х„), а = хе < х! < хз « ... х„ < х„+! « ... ы, 1пп х„= ы, такова, что функция 7"(х, у) не меняет знака на »-+00 [х» !,х„] х М, п Е И, и ряд ~ / 1(!,у) !11 сходится рав»»! х — ! ю номерно на М. Доказать, что интеграл / ! (х, у) !1х сходится равномерно на М. 74. Обосновать возможность перестановки двух несобственных интегралов в интеграле +»» +»» [.;...1.--.-".,) .. О .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
