И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а Р 136 ! 'лаза 1, йггабгтаенный интгграл 1 552) /(1+х+. +х" '))1)п — гЕх, М = (0,1,2,...). 1 а 553) / — зе **тЫх, М = (1,2,3....). .3 1 554) ~( г)х, а) М = (О;1); б) М = (1;+оо). о+1 ох +х а Исследовать равномерную сходнмость интеграла относительно параметра о на множестве М. 555) / х~ 1(1 — х)Л ' Их, М = [ио', +со), па > О. о 1 556) ха '(1 — х)" '6х, М = [оа',+со), оа > О. а 557) К г*, М=а:4),Р)0. *и -Ф) а 558) Нх, М = ( — 1;1), )3 > О.
/ з 11г а 559) / е *~ ~, 0<,9<1, М =[О;+со). а 560) 1 з зНх, Д>0, М =[ма,+со), оа>0. аз+ з а соз хо 561) / — Ых, 0<Р<1, хл а а) М = [оо', +со), оа > 0; б) М = (О;+ос). 137 В 4. Упражнения Доказать равенства. 2 г!х 562) !Пп / в = 1. О,Г (ахв+ 1) /х о +со +о« Г 81пх Г в!и х 563) !Пп / — е "*г!х= / — г!х. ачо+ ~Гх / ~/х а о +о« .1-оо +о« 564) !Пп е ~*Г(х)г!х=/1(х)г!х, если/ Г(х)г!х сходится. ачо+ ! а а а 565) 1ип / е "*в!пхг!Х=1. ача+,1 а 566) 1ип / е «совхг!х= О. -+О+ 1 о / совх е1Х 567) !пи — = О.
' ~ч+,1 ~Гх 1+ агхг 1 +С« +о« 1 г 568) 1ип / вьп(хг) агсвцахг2х = — / в!пх г!х. «ч+о« ! 2,/ о о /' агс16 ах гг 569) 1ип / г!х = —. «ч+оо Г Хг,/~2 1 Г сова~ гг 570) 1ип / —, г!х = —. а-+ог. / 1+хг 2' о +о« г(х ' 1 гг 571) 1'ип ачо+ Г 1+ (а+ хг)2 2 Я о (а+ хг) ггх 572) 1ип о !'лини !, !!есобственный интеграл !' в1пх г х -" Р в)пх 1 — с" ! Б1пх 574) Иш / вт х с!х = (! — с!х. и-++сю Х 575) !ип 1, с!х = О.
576) 1ип 1, с(х = О. и — «+ос ! ф — Х и-о+' у Фп2х и/2 577) 1ип ! хНх = О. 578) 1ип ! = 1. и-осо ! ф х~ -ссо ! ! + ха» о о 579) 1ип ~ е * с!х ос 1, о с з 580) 1ип ! о~е " е4п х о!х = О. а-со+ / а з о, 1 581) 1ип ! оое вгпхс1х = —. а-++со у 2 а гс( + „) 1ип ((х+ а) + 1ип !(х — о) 582) 11гп о а а ии = н.
о2 ! и2 2 583) 1ип о ! с оа агс18хбх = —. а-+о+ ! 2 о Исследовать па непрерывность в укаэанном множестве М следующую функцию Р(о). 584) Г(о) = /, М = (2;+со). х с!х 10 — 4х+ ха ' о 142 1'лава й Негобгтвенныя интеврал Найти множество М точек дифференцируемогтн функ- ь ции г"(а) = 1(х,а) ох и проверить, справедливо нли нет ь равенство Р' = /,)'„'(х, о) вх для а Е М. в ге 616) г (а) = / — в1п — <(х. ~ггх х о 1 1 г(х 617) Р(а) = 1 сов —.
л з+(,„(+2 1 в(пахдх 618) Р'(а) =,/ х о О, а=О. 619) Пусть 1(о) = ~ г1х, где функция 1о(х) непрерыв- Г 1о(х) г(х о на вместе со своей производной на [О; а). Доказать, что при фО) 1 ьо'(х) вх О < а < а справедливо равенство 1в = — + ~ о +ОО 1 620) Пользуясь равенством / е ' о1 = —, а > О, вычислить о интеграл ~ хзе * г(х. о 1 1 621) Пользуясь равенством / х" ' вх = —, вычислить инте- 1 о грал ~ х" 1и™ х г(х. о З 4.
Уврлхсненил Нх 622) Пользуясь равенством = —, а > О, вычи/ хз+с 2.„/а' +оо а Нх слить интеграл +„, в Е И. (~з+ )о+1' о 623) Пользуясь равенствами +оо +со соаРхоЬ г' о1 е 'в)в~Ухйхоа з г ог+11г' оз+)уг вычислить интегралы: 1 624) Пользуясь равенством / х" о)х = —, вычислить инте- о гралы 625) Пользуясь результатами задачи 624, вычислить интегралы: +оа — о оо а) Ых; о а) ~ хе "~е)охах; е +аа в) ~ х еоо е4пхоЬ; о +оа д) / х е "*в1вхдх; о б) / хе "о соа х Лх; о г) / х ее "* соз х Нх; е +со е) / х е " соахдх. о 1'лова 1.
Несобственнььй интеграл Используя значение интеграла Дирихле зьп ах ьг Ых = — з)8п а х 2 о (см. пример 49, З 3), вычислить интеграл. +00 626) / — )1х. х ,/ х о о +аа .з / х о о +со +оа 630) ~ 3 Нх. 631) / „Ых. о о +оо +00 632) Нх. зьп(х ) 1 с4пах с4пДх 633) ~ )1х. х х о о +аа +00 634) выл ах сов )ух 7' зьпахз)п)бхсов7х ь)х.
636) з~ ь)х. х х о о +а +оо зп * 'пР пух 1 зьпахсовфхсоз ух 636) з Их 637) уь )1х. о о +00 вьп хсозах 638) дх. х о 145 Г с4пах с4п х о б41) ) хз о з1п х соо ах г, х (6. о с4п х — х соз х з хз о 640) 642) Используя значение интеграла Пуассона +Оо 2 /й 2 о (см. пример 51, З 3), вычислить интеграл. +сю 648) / е * 1х а>О. о 644) 1 а с ~Ы, пЕИ, п>0 о 645) / хз"+е "~ Их,а>0.
а 646) / — 1вк~+зле+о) з О 72 647) / (а~х~+2Дх+с~)е 1"~ +~в~+')Их, а> 0 ас — ф~ >О. а о г 648) / е ~ ~Ох,а>0, 6>0. о 649) е ~ сЛфхах, и > О. 1'лава Ь Несобственный ннтеерал 650) хе а ~ вЬ13хо1х, а > О. о 651) / хг"е ~ сЬ2рхдх. о 652) / хг" 'с ' вЬ2,6хИх. о 653) / е ~ ' соз2фхдх, а > О. о 654) / е ~'вЬ(Д/х) Ых, а > О. о 655) / хге соз2хИх. о 656) /* "е сов2РхЫх, и ЕИ. о в 657) / хе ев.в1пфхде, а > О. о г -г -*~ 658) / хг" ге * в1п2фхНх, и Е И. о Используя значение интеграла Лапласа соз ах я 1.1- хг о 147 5 4. Упражнения (см.
пример 55, г 3), вычислить интеграл. +оа +со Г с4п х х в1п ах 659) / гНх, а>0. 660) / г дх. о о +оа +оа о о сов ах г 663) е(х, а > О, ас — Ь > О. ,/ ахг+ 2Ьх+ с Г хг — аг в1пх 664) / — Нх, а > О. / .г4 аг о ,( (1+ хг)г о Используя значение интегралов Френеля +аа +оа в(п(х ) е(х = — ~ — и ~ сов(х ) а х =— 2 у'2 ./ 2Ч2 о о (см. пример 52, г 3), вычислить интеграл. +оо +со 666) / в4п(ахг+ 2Ьх+ с) Нх. 667) / сов(хг) сов 2их Их.
668) а~ в(пх сов2ахйх. Применяя метод дифференпирования по параметру, вычислить интеграл. 1 г -г Р-г 669) / Нх, а > О, )3 > О. 1пх о 148 /'лоос !. Несобстееиньюй ива~серах р 7 с ~* — сов13х 670) / бх, а >О, ~У>0. о Г 1 — с""' 671) / сов хЫт, и > О. х о +сю е е — е с -ае -фт 672) / сов тххх, и > О,;3 > О. а 1 е-пе 673) / отхйх, и > О.
о е е — е — ах -Ре 674) / в~птх<Ь, ю>0, ф>0. а о 67о~( . †.)Ю*, 'О,ф>0. о +со Ген* — е 676) / сЬ, а>0, Р>0. а +со з о Р е "' — е о* 677) / Их, а > О, )3 > О. х о о а се "е — е 678) /, Нх, а>0, ф>0. хв о и9)~( ) и, >О,д>0. о впо фх сав 7х 680) / е ~* Их,а>0,~>0,7>0, а ~ 4.
Упражнения 149 681) е Нх, а>0, ф>0, г>0, х о 682) ~ е "*ох, а>0, ф>0, 1>0. о 'г1 683) / Их, а>0. хе* о о л +<~~ ~,4. -ю й 685) / '=' Нх, ~ ~А;=О, а;>О. о г=1 Г е ри — е ае — х(а — ф)е а* 686) / , Нх, а > Р > О.
/ о +00 Г е ео)подах о Г е-ая опгг рх о 690) / е ~ дх, а>0, Д>0. о)п 1Ь х о +СО 691) / е йе, а>0, ~3>0. о~по Рх г о 160 1'ново !. Несобстоенный интпегрол хг с1 хг о 1 693) ~ Нх, )а)<1. /' 1п(1 — агхг) / г. /1 хг о 1 694) / Нх, )а! < 1. 1 )п(1 а г) /~ хг о 1 1 о о +оо 696) ( Их, а>0, ф>0. 1' 1п(1+ агхг) 1 1 фгхг о 697) / Нх, а>0, 13>0. 1 !п(1+ агхг) ,ог 1 хг о 698) У Нх, а>0, 13>0.
Г !п(аг + хг) рг «-хг о 1 х(1 1 фгхг) о +со /' 1п(1+ агхг) агс16,3х Их, а>О, )У>0. о 702) / ~ 1п(1 1- а'х') 1п(1 -1- Ргхг) с1х, а>0, )г>0. х~ о з 4. Упражнения агония ою агсо~,дх их, о>0, 17>0. о 704) / !п совохИх, о > О, Ь > О, с > О. аз+ хо о у х(1+ хз)з о г1+ хз)з а а +оа /' 2хФв1п2/7х+ сов2)7х — 1 з,* а 709) / е " вгпь/тхг1х, о > О. о 1 агония х 710) Вычислить | Нх следующими способами: о 1 агс$д х 7' ло 1) используя равенство ,/ 1+паха' о 1 агония ха 2) рассмотреть функцию 7(о) = ~ Их и примеа нить метод дифференцирования по параметру.
!'лава I. Нггаб)г н)ае)г)гы)1 иа)лн 1)а.г 1г)2 711) 1басслгатрнвав производные функций, ставших в правой и левой частл)х, проверить справедливость равен)"св) О -)-ОО а) О~с' г11=е* / е ' вш2хлМ; а о б) (1,.-'*бб) о а +ОО 0 Г 1п(1+а*) я l !п1 в) / 1+х' 4 01х = — 1п(1 + а ) — ~ — г11, а > О; / 1+гг о о О +оо Г гл 1 Г гбейп21х г) / е ' г11 = — / е )11. о а 712) Используя равенства 1 /' 1+ба 7 1+гг — / е *'вшх)1х, — = / е *гсов хг1х, доказать равенства / вшхггх а~ е о о +00 +00 /' совхг(х /' 1е " Преобразование Вейерштрасса Ф(р) функции Я) определяется формулой Ф(р) = — е 10 01 Я) г)1.
,гй,( Найти преобразование Вейерштрасса функции 1'(1). 713) г'(1) = 1. 714) )'(1) = 1г. б) 1(1) = сгаг, 716) 1'(1) = сов о1. 153 1 4. Упрахсненил Преобразование Лапласа Р(р) функции )'(1) определяется формулой казать, что интеграл р и(х,1) = — / ~(()е с. с1( — 2.,(Я l 1 дги — — и аз дхз ди удовлетворяет уравнению теплопроводности — = д1 начальному условию 1пп и(.с,1) = 7(х). с-се+ Пусть м — особая точка функции 7" н м Е (а; Ь).
Тогда 7Ч(р) = / е "~Я) с11. Найти преобразование Лапласа функции Д1). 717) 7'(1) = 1. 718) Я) = е '. 719) Я) = з)п/М. 720) У(1) = еое1Й. 721) ~(1) =1", и Е И. 722) ~(1) = ~А. 723) Я) =Ье с. 724) ~(1) = з)п(оФ) 1 — е 725) 7(1) = 1, 1=0. 726) Пусть 1'(х) ограничена на й и интегрируема на любом конечном отрезке. Доказать, что при х > О функция и г ху(х) Их удовлетворяет уравнению Лапласа / '+(у- )' дзи дги — + — = О.
дхз ду~ 727) Пусть 7(х) абсолютно интегрнруема на (-оо;+со). До- Ответы к главе 1 155 Ответы к главе 1 1 1) При о ) 1 сходится к а', при о ( 1 расходится. о — 1 1 2) Сходится при о < 1 к 10г ", при о > 1 расходится. (6 а) г-а 3) При о < 1 сходится к, при о > 1 расходится. 1 — о (6 а)1-а 4) При о < 1 сходится к, при о > 1 расходится. о — 1 1 л 1 1 л 5) Расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
