И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пп об< шогнкмй аялктрол следует, что Сх = —. Иа четности У(1) (условие 1) следует, что .у(1) = — с Р1, 1 Е 1к, С'ледовательно, 2 сое ая — а У( ) -1а1 е 1й 1+х2 ' 2 а Заметим, что функция у (1) = — — е 1)е1кп1 = — як 2,/ 1+ ~~ о дифференцируема нрн всех 1 > О, хотя интеграл (( ье) о е расходится. Этот факт показывает, что теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру дает только достаточное, но не необходимое условие дифференцнруемости функции.
Внимание) При вычислении несобственного интеграла с помощью дифференцирования или интегрирования но параметру проверка выполнения достаточных условий соответствующих равенств являечтя существенной частью решения. Отсутствие или не~юлнога такой прощрки — грубая ошибка. Формальное вычисление в таком случае не представляет репснив. 1 4, 5'нригхис иия ОО ~4.,у'пражн ения Несобственные интегралы, независящие от параметра / пх о ь 4) (Ь х)а а +00 х б) ~ .
Их. а Нх 1) / —, а)1. / ха' а ь Их 3) )~ (х — а)'* а 1 5) (1 — х) (2х — 1) ' о з О) ~ 2хих -з хнах ) / г+4х+3' о 13) 2хг — 4х + 11' 15) (хг + иг)г' 16) ( г + ог)(хг + Ьг)' о 8) 2х Их )~ (хг 1)г ' з 10) / г,, афО, ЬфО. Нх ог+Ьгхг ' о 12) Их ) l х'+4х+3 хо+ Ох — 7 аЬфО. В следуиииих примерах непосредственно установить сходимость интеграла, и в этом случае найти сто величину. или установить расходимость. +оо 1а /,и>аа /. //гго6>сн>г>е>гнь>й нк>неграх Исследовать сходи>ность интеграла от неотрицательной функции.
.а-1 68) / г/е. 1+х х 70) ) г/х. +а> 67) / —. г/х, 2)2 О г О >ни л' ».'1) = — г/.> . О 1 Г/2: 55) Я вЂ” х.2/,1 — г>2х2) и 57) х~lха — 1 1 Г>9) ~ — ., г/>. 1 1 1+:е 61) ~ х /и >/х. О 63) ~ е * а>н ~Зх г/х. О 2 >г 2я >г 1 6>1 / (2* 22 х х2) О 66) / хе ' (2х — 1). 1 Л Г>4) /!дхг/х. О г/х 56) >/2;2 — 11аах2 — 1) 56) ) Г 60) / . г/2.
О 62) / с аесоа/3х>/х. О 64) ) хе *а>их>/х. О 1 4. Упражнения +со +со агс$8 4х Г агсй8пхахс$8фх 108) Их. 109) / 1/хо+ 2х а о +со +ао х 1 1/4+ х" о о 1/О +ао 112) сЬ'' 1И) а о ,) х1п (1+х) о о +со е 114) / — — — 11х. 115) / о 1 е 1 116) / с1х. 117) о а 1 Г! .Ф-1 118) / ~ Их, а>0, ф>0. 1пх а 1 119) / хо '(1 — х)Р ~)1пх)дх. 120) / х" 1па — с)х." а а +со / 1пх 122) ) 11х. ) / р1 а 1 сСР-) 1 о +со +ао с)х 123) ,/ х)1п х)о 124) l ,у х1пх) 1п!ах)а о 1ОО +оа +аа о 1 а е Г /' сЬ 127) / — Их.
128) ~ ) 1пх)р а 1 Рааса Н Несобственный интеграл 104 Исследовать сходимость (абсолютную и условную) интеграла. 168) йх, а > О. у х+о о Г совх 170) / — вх. .а о +О» ~/ха+ За о Г х+1 174) / вш х с(х. х' о 176) ~ Г 1пхйх 76) ./ 1 -хо Ч >О о 169) — йх. а у 1+в» о о 175) / 1(х. +О» в+10 о 178) / — вш х 1(х, где Р (х) и Р„(х) — целые многочле- ГР (х) ,/ Р» (х) о ны и Р„(х) > 0 при х > О.
+О» +»О 179) ох, д > О. 180) 1 (1пх)" — 11х. 1+хо у х о 1ОО +О» +»О Г и„» в(П2а В1П Х 181) / еи»О — '1(х. 182) ~ — агс18хох. 1 о Г - вшЗх Г е'в1пх 183) / е~» — 11х. 184) / ох. х» ./ х(е +1) о о 2 4. Упрахсненил 105 185) / 11х. а 187) / зш(Х2) Их. о Г савв 189) / — *Не, о з/2 191) / зш(зес х) 11х.
п 193) / (е +х)84пе Кв. о .195) / саз(х+ хз) 11Х. о Г 81п(х+х ) ХР а Г 81П (х+ -) ХР о Их 201) / 84п)1пх)о —, д > 0 а +оо 20а 1 — ( — ) 1 205) / зш(Х2+зшх)Нх. о Г сиз —, о 188) / саз(х ) 11Х. о 1 Г 81П— а 192) / хз соз(е*) Их. о 194) / ф 81пе Их. / ° ' ' +оо 196) соз(х+ х ) о +оо 2 198) Нх.
саз(х+ х ) 2 200) / х сов(х — х) Их. о Г 8!Пх о 81П Х 204) / е~~., 12Х. Х+ 81ПХ 1 206) / соз(хз + зш 2х) Их. о 3'лаеи 1. Пгсабспчееииьпг иитеерпл 106 З1П и 207) ~ е"о .— й:. о ( 1)аа+1 208) [ /(х) 1(х, У(х) =, х Е [и — 1; и), и Е 74. и о +се 209) ~ ( — 1)1 111х, о 211) / Нх. г 1 [-.') х х с1х 213) 1 д . и)0, 13>0. .у 1+ гр[зшх[ о хи с1х 214) г, о>0, )3) О. у 1+ хяз1п х + ОО 215) з1п[ ) х г 1 + )пг( -1- 1) о 210) л~ Нх. ' (-1)И 1 Г емй (3!п(з1в х)) о +Оа [ )э 216) 1+ 1пг(х + 1) о Установить, собственным или несобственным является интеграл, и, если он несобственный, то исследовач ь его сходи люсть, Е /1 218) / ~ — — ансс18 х с!х.
1 1 217) ( ~ — — с18 х Нх. г / 1хг а 1' 1и (2 — -) а'хх 209) у1 , " с18,,1 †' 7х, а ~ О. / з1н(х — а) 11 а о При помощи сравнения с рядами исследова'п, сходимопп следующих интегралов. 1 4. Уп12охеиения 107 7 е — (1+3)* 221) / - «Ь хв!и х а 1 х — 6 220) / — )п Их. .+6 1О 17з 222) )п(1 + х + хг) + )п(1 — х + хг) хз/2( к 1) о Г хз 223) / (3 '14-« — 1) «(х. (хг + 1)г а 1 2 1 1е* — е * — 2х 224) / х!п)п — Нх. 226) 1 . — Их.
х х — 343 х а о 2 2 еУЗ вЂ” е 6е — 2фх ~ е'~ — е '«е — 2 /х 226) . «1х. 227) ~,, — Нх. /х 31п /х ' фх 313 ««х а о г е~* — е е — 2фх 228),, Их. хг!3 31пхг/3 а 229) 1 16 хх — (1 — 6хг + 4хз) 31п хх 4 4 )п4 о 230) 16 хх — (1 — 6хг + 4хз) 31п ее з х41п х 231) бц тх — (1 — 6хг + 4хз) вп« вх з хз!п х о 5 232) й:.
31п(вш х) — х~/à — х~ Л«««пР' а 233) «(х. 31п(313 х) — х4Г:хг «««*' о 108 Гласа !. Пезабсзнаснноз0 иззнзгграл .з 1пх) (1+ хо) о 234) Нх. о 235) яи(в!пх) — хЯ:хо Их. ,г*з' з зз*' о о с*~ * зз — Ф* *-' 236) з 7 з (е' — е) 1и з х о ';гл: з з з - Ж*- 237) з 7 о з7х. (е* — е) !и ~ х о +со 1о о (е * — е)1п ~ х о 2 'Зз-7зз- з " 239), Ых. (е* — с) 1и х о 240) зз азз*-;-з*'г-;-за — ц' — зНа зз з о /' (1п(1 + Зх+ Зхо)о+ 3(х — 1)о — 3)з/хо+ 4 ЗзозР* о зо ~ (!п(1 + Зх + Зхо)о + 3(х — 1)о — 3)~/хо + 4 ФЗзз з- Р~ о (!и(1 + Зх + Зхо)о + 3(х — 1)о — 3) ~/х3+ 4 'зЗзз з о 1 (1+ х~)*+ — е* 1п(1+ хо) о 1 4. Упрахсненил 274) 1„ = / с О хв" Нх.
о 273) 7Π— — / е *х" Нх. о 278) о 276) 1О(ти) = х"!и хИх, п1 Е И. с 277) 7О(т) = / х" '(1 — х) ' с/х, гн Е И, о +ОО +ОО 278) 7О ОО / х"е в!их О(х. а 1 а ,1 (Лхз+2Вх+С)"' 279) 1О ОО / х"е солям. а к/2 282) 7„= / 1псовх сов2пхс)х. е +ОО сов(2п — 1)х 283) 1„= 1 е ~~ ' О(х, а>0. сов х о +ОО О сов(2п — 1) х 284) 7ООО е ОО ' -Нх, а>0. сов х е 11рименяя формулу интегрирования по частям, получить рекуррснтную формулу для нигеграла 1„, и е И, и найти его значение. !'лооп !.
!!есийгиоснный интеерпл 112 Г х241 285) !„=- / с/х. 286) Д! ':г о 1 Г .2и 287) !„= / с/х. 288) / /! г о -1-со с/х 289) !„= / ,/ х(1+ х)... !и+ х) !„= / (!в х)" 1!х. о с/х ! = сЬп х о +со е ос/х 1 1 12 123 2+ 2 4 + к+и и п2 пв п4 о +!-1)"-" „'+! — 1)' — „,', й, 0<9<1. /и — 1) ! 'и! Доказать равенства.
«/2 и/2 и/2 291) / 1п вгп х с!х = / !в сов х Их = — / — с/х. ,/ 28х о о о 1 1 Г 1п х Г агсф8х 292) / с/х = — / с/х. /1+ г / о о 1 1 293) ( с/х = — / с/х. о о +со +ос хг и/2 1г/2 +со 1 Г !их Г !их 298) / — /х=-/ г /х. / 1+ г / 1+ 2 1 о 1 290) Доказать, что сугпествует М > О, такое, что при а > М справедливо равенство 2 4.
Упрахснемил 113 +оо +оо .1" оо х'о/х Г /х 1 1+хг 296) 6) ( = / — — / о/ . 1+ Х4,/ 1+ Х4 2 / 1+ Х4 а е о о/2 о/2 +оо 297) о~ — = / 1/~уокер = 2 ~ —. о 1 о/2 298) / НХ = / Еао 1/Х. о а +оо 1/,/оо 299) о21-=-~~в1 =' Г /8-=:18 — -~*.*~ +оо 1 81П Х Г 1 — х 300) 4 о(х = О. 301) соех 1п о/х = О. / 11Х4 / 1+х -оо -1 1 1 х о/х Г )п(1+ ) о/х. 302) 1 — ( е а 1 1 1 303) / — о/х = / 1п х Г 1п(1 — х) Г 1п(1 + х) о/х = — 2 / 12Х. 2 3 «-1 о=а вычислить следующие интегралы. 305) / о/х. х а Г е+1 307) / !и — 1/х. ео — 1 а 304) / ( )о( е 1 306) / 1п — о(х.
1 1 — х 8 Используя разложение подынтегральной функции в ряд и равенства 1 4. Уирпхсиеиия 330) 334) 338) 326) г Нх 327) „2(.,:... ~) а +СО х !их 328) / Ы~, еи> — 1. + хгпъ+г о и/г 329) / 1пв!ихе/х. о а 331) / х !и в4и х Их. о 1 333) ~" '"*~ . о 1 (1 — хг) !и х Нх 335) о 1 337) / (1 хг)з/г ' о в/г 339) Их. з!п х савв х о к 341) /!Пз!Пх.сових~/х, пЕ14.
о хг о !п(1+ агхг) — !п(1 4 ~Згхг) .г о в з сиз — х г Нх. ~/%' *=м о «/г !и сов х е/х. о !п(1+ хг) хг /х о 1 1и х /1г о !п хдх 1 — х о "("-') о с4и пх сов х Нх, и ЕИ. з!п х о +"» а э е-а к е-в ~ Ых. г о Глова Н Несобственный интеграл 116 346) ! — ох.
Г агсббх / ~/х о ,/ х~/х о в1п" х 347) / — йх, и ЕИ, р / хон+2 о +е е1пг +г о ЕИ, п>2р+1. 349) 1 ( — ) ы*. о Используя теорему Фруллани, вычислить интегралы. +СО г ~-~~ е-Р~ 351) / г)х, о>0, Р>0. о 352) ~ 1п —, р>0, д>0, о>0, )1>О. р -1- де а* о агс15 ох — агой фх вх, о>0, ф>0. о 350) Доказать теорему Фруллани: а) если существует 1пп Г(х) и для любого о > 0 имеем е-го+ +оо Г(.) — Г Г(-*) - Г(Д ) — Е В(а, +со),то ~ йх сходнтся для любых о > О, ф > 0 и равен Г(0+) 1п —; Ф, б) если существует 1пп Г(х) = А и для любого а > 0 Ф-Ф+еа +со имеем — ) Е гс(О,а), то / йх сходится для о а любых о > 0 и )г > 0 и равен А 1п-. Ф' 1'лсн и 6 !О агой нносннл~й нанн;рпл- 366) Доказать формулу: А~сова1х+г1гсовагх+ -1 Анспванг нх =- о = — (А11па1+ Аг1иаг+ + Ан!ион), а; > О, ю' = 1, 2,..., и ..11 .1- г1г 6 -1- Лн = О.
о ви1 нх ьии а1х 81п онх ах, о а > О, а; > О, 1 = 1,2,...,п, а>) а;. ~=1 гйх 374) / (нйиах — в1п17х) —. хг ' о Вычислить. о сонг'+' а х — сонг" +1 )гх 368) нх, а>0, (1>0. п661. о х о Г в1п ах 370) ~ сов11хс(х, а > О, 6 > О. о / ви ахни /3хв1п7х и > 0,,9 > О, 7 > О, а = азах(о, (7, 7) г 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
