И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Несобственные интегралы и ряды Фурье (1111809), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть семейство функций 7(х,1), х Е [а;ы), 1 Е [с; <7], удовлетворяет условиям: 1) функции ~(х,1) п,<<(х,1) непрерывны на [а;<л) х [с;<7]; и 2) интеграл / 7 (х,1) <1х сходится хотя бы прн одном зпаа чении 1 Е [с. <(]. 3) интеграл / Д(х,1) <(х сходится равномерно на [с; <(]. а и Тогда интеграл / 1(х,1) <1х сходится равномерно на [с;<(] к О непрерывно дифференцируемой на [с;<1] функции У(1) и л (1) = = /'Л(х<1) <1х Я В силу локальности существования и величины производной получаем Следствие.
11усть семейство функций <"(х,1), х Е [а;ы), 1 Е [с;<1], удовлетворяет условиям: 1) функции <'(х,1) и Д(х,1) непрерывны на [а<ы) х [с; <1]; 2) интеграл / Дх,1) ах сходится равномерно на [с; <7<] для а любого И<, с < А «7; 3) интеграл / Д(х,1) «х сходится равномерно па любом < отрезке [дб Б] С (с; <7).
88 1'аппп 1. Нгсобсглпспный ипспеерпл Тогда функция У(1) = /1(х,1)г(х непрерывна на (с;сК), а 02 дифференцируема вв (с;г() и,/г(1) = ~Д(х,!)21х для всех 1 Е (с;21). а Это следствие позволяет применить дифференцирование по параметру для вычисления таких интегралов/ 1(х,1) г(х, а для которых функция л(1) не явлвется непрерывно днфференцируемой нв соответствующих отрезках изменения параметра, н, тем самылц семейство у(х,1) заведомо не удовлетворяет условиям теоремы о дифференцировании по паралаетру. .~-С;О 2 Пример 53, Вычислить интеграл / е '* сов1х2)х, а > О, 1 с К.
о Решение. Функции 2 -а ~(х,1) = е ' совЫ и 12(х,1) = — хе '* гйп1х непрерывны на (О;+ос) х К. Если 1 = О, то интеграл +СО +СО +со -«*2 2 Е а* СОВ1Х0(Х = Е а* 21Х = — Е * 2(В д/ о о о есть интеграл Эйлера — Пуассона, вычисленный в примере 51. Таким образом, выполнено второе услоние теоремы о диффе+00 1 ренцированин по параметру и л(0) = / е '* 21х = -~/ —. 21 а +СО +00 о 1 Интеграл хе «а г(х = — / е "пз сходится поэтому не- 2,/ о о 2 равенство (12(х,1)( ( хе ', 1 б В, показывает, что в силу признака Вейсрштрасса интеграл + 00 +00 12(х,1) 21х = — / хе аа в1п1хс1х о о З 3.
Несобственный интеграл, зааисли1ий от параметра 89 сходится равномерно на любом отрезке [с; а) С К. Итак, все условия теоремы о дифференцировании по параметру выпол- +О» а»» иены, следовательно, функция »(1) = / е о* соо1хйх, а > О, о непрерывно дифференцируема па любом отрезке [с;»() С Й, т. е. 1(1) б С'(й) и для любого 1 б Й » УЯ = — )~ хг '* е»п1хах. о Первообразная функции хе '* иш Мх относительно х, если ни а, ни 1 не равны нулю, не выражается в элементарных функциях, но из равенства +ОО 1 ~+' хе " иш1х»1х = — е '* яш1х~ 2а о о +ОО +со — — е 'О соа1хйх= — — / е '* сое1хдх 2а,/ 2а / о о следует, что функция 1(М) удовлетворяет дифференциально- С му уравнению У(1) = — — 1(8).
Из этого уравнения и началь2а 1 /л Р ного условия .7(0) = -~( — получаем, что У(1) = -~ — е 2 у' а 2у' а Если аналитическое выражение функции Дх,1) или Ях,1) не определено при некоторых значениях х б [а;О»), но эти функции могут быть доопределены так, чтобы получились функции, непрерывные на [а»м) х [с; О(] (или [а»ы) х [с; О()), то такое доопределение всегда подраэумеваетса.
При вычислении конкретного интеграла в таком случае проверка возможности доопределения функции "по непрерывности" — обязательная часть решения. +о" » » г е — е Г -О -ОО Пример 54. Вычислить интеграл / 0 ( а с Ь. 00 !'лппп !. !!сспбппвсняый пнзпсерпл е — сз г — ьз Решение. 1'вссмотрнм функцию !'(х, !) = сз Е 1о.. Ес аналитическое выражение пе имеет смысла прн з. = О, Сзюдовательно, нсобходнлю проверить возможность определения значений ((О, !) так, чтобы функция у(х, !) стала непрерывной на [О;+ос) х й. Соотношение Раз — в Ьз з з 1пп =Ь вЂ” ! з-за+ хз показывает, что, положив )(О,!) = Ь вЂ” 1, получим функцию, непрерывную на [О;+оо) х К.
Итак, возможность доопределення опо непрерывностиз функции !(х,!) на [О;+сю) х ЬЬ проверена. Далее, непрерывность функции !с(х,!) = е следует нз ее аналитического выражения. Так как и > О, 4.с з то интеграл / с 'з сьх сходится. Отсюда и из неравенства "— з о 2 — азг 0 < е 'з < е '*, ! Е [и;6], в силу признака Вейерштрас+со г со следует равномерная сходимость интеграла / е '* с!х = а +го +»" з з г с с* — е ь' / уз(х,!) с!х на [и;Ь].
Наконец, / с!х = 0 хз а а прн ! = 6. Итак, все условия теоремы о дифференцировании по параметру выполнены для семейства !'(х, !), х Е [О;+со), -сз 3 -ьз 3 е — е С Е [а; 6], где функция !'(х, !) = л , х ф О„и доопределена апо непрерывности" на множестве [О;+со) х [и; 6]. Сле+со г з — Сз' -ьа г е — е довательпо, функция .!(!) = / с!х непрерывно хз о дпфферезщпруема на [и; 6] и удовлетворяет равенствалк ,У(Ь) = — 0 +во .!-с:о — Сзз ~ — аз У(!) = — с ' с!з: = — — у! е " с!и оз — -~(— 1 3, Несабстослтый интеграл, за«ос«илий ат и«1тлетра 91 (см. пример 51).
Отсюда получаем, что д(1) = ъЯ вЂ” йхь. Окончательно, +««« е — ««с-ь* ах = д(а) = ь/л(~/Ь вЂ” ~/сю) (О < а < Ь). о л" оспах Пример 55. Вычислить интеграл Лапласа /, ь1х. / +.г о сои 1х, — х от1х Решение. Функции,)'(х,г) = н лл(х,ь) =— 1+ хг 1+ хг соа 1х 1 непрерывны иа [О;+оо) х К.
Неравенство — < н г -11 .г +«« йх сходимость интеграла / показывают, что в силу при- 1-1-хг о +00 +«о л соо1е знака Вейерштрасса интеграл / л(х,1) йх = / ь(х г о о сходится равномерно на Ы. Прн любом е> О функция Р(Ь,М) = ь о(п ЬМ = / о(п8х ь1х = — ограничена на [О;+со) х [е,+оо); функо ция д(х,1) = не зависит от 1, монотонна на [1;+оо) и 1+хг 1пп д(х,1) = О. Следовательно, в силу признака Абеля — Ди«-++«« +«О рнхле интеграл / ейп1х — йх сходится равномерно на 1+ хг 1 [е;+со) при любом е > О. Применяя критерий Коши, ви+«« дим, что равномерная сходимость интеграла —.
о(ьл ох йх ./ 1+ха 1 на [е;+оо) зквивалентна равномерной сходнмости интеграла +«« — х сои1х — олп1х ах на [е;+оо). Итак, селлсйство 1(х,г) = .г 1+хи ' о х Е [О;+со), 1 Е [О;+со), удовлетворяет всем условиям след- Глиои 1. Нс<ибсьчвсиный инввесрил 92 ствия теоремы о дифференцировании несобственного инте- грала по параметру, следовательно, функция У(1) = ~ —, Ых сов 1х =/ 1+. о непрерывна на (О;+со), дифференцируема на (О;+оэ) и +СО У(1) = — ~ г Нх о для 8 > О.
При любом 1 Е й интеграл +СО +сю о о хв1п1х расходится, поэтому семейство д(х, 1) = пе удовлетвог ряет условиям теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру. Используем равенство +со х Г в1в1х / — йх, 1>0 2,/ а (см.
пример 49). Складывая его с равенством +ОО .Г'(1) = — / '"',* й, о +00 я Г яп1х получаем, что Г (1) + — = / йх для 1 > О. Ана- 2 / х(1+ хг) о в1п1х литическое выражение не имеет смысла при х = О, (1 + г) в1пгх но соотношение Игп = 1 показывает, что функция *-+а+ х(1 + хг) яп1х гг(х,1) = доопределяется "по непрерывности" нв х(1+ хг) 1 3. Несобствепныя интеграл, заоислщий от парометра 93 [О;+со) х [О;+оо) равенством 1о(0,1) = 1. Функция 1о,'(х,1) = сов 1х непрерывна ва [О;+оо) х [О;+со), интеграл 14 хг =~' ( Г йп1х оо(х,1) Их = / с(х / х(1 рхг совМх ~ 1 сх одится при 1 = О, неравенство 1+ха[ ' 1+хг < — и схо+сю Их димость интеграла / показывают, что в силу при- ,/ 1-~хг о +00 +СО сов 1 е знака Вейерштрасса интеграл / ог[(х,1) пх = / пх 1+и о о сходится равномерно на [О;+оо).
Итак, семейство 1о(х,1), х б [О; +со), 1 Е [О; +со), удовлетворяет всем условиям те- оремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру, следовательно, +ОО +оп уп(1) = (1'(1) + — ) = г/ 1о',(х,1) Их = / — Их = 1(1) о о для 1> О. Итак, функция 1(1) удовлетворяет следующим условиям: 1) 1($) — четная непрерывная функция на й; 2) уп(1) = 1(1) для 1 > 0; +ао Г Их о.
3) 1(О) = /, о Г о1х и 4) )1(1)[ ( / = — для всех М Е й. / 14хг о Из дифференциального уравнения,Уп(1) = 1(1) (условпе 2) следует, что 1(1) = С~с + Сге ~ для 1 > О. Из ограниченности 1(1) на й (условне 4) следует, что Сг — — О. Из непрерывности 1(1) на й и равенство 1(0) = — (условия 1 и 3) 2 1'анен 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
